Bài 3. Các phép toán trên tập hợp

Toán 10 — Chương I. Mệnh đề và Tập hợp

Bài giảng trình chiếu trên lớp

Tài nguyên bài học (dành cho giáo viên)

Tài liệu	Mở
Phiếu khởi động (PDF)	C1B3-0-PhieuKhoiDong.pdf
Các dạng bài + luyện tập (PDF)	C1B3-B-CacDang.pdf
Phiếu bài tập số 1 (10 bài, theo bài giảng) (PDF)	C1B3-C-PhieuBaiTap.pdf
Phiếu bài tập về nhà số 2 (kèm QR đáp án) (PDF)	C1B3-C-PhieuBaiTap2.pdf
Đề kiểm tra cơ bản 15 phút (PDF)	C1B3-D-KiemTra15p.pdf
Bài nâng cao (PDF)	C1B3-E-NangCao.pdf
Bản đầy đủ kèm lời giải (PDF)	C1B3-BaiGiang-DayDu.pdf
Bài kiểm tra tương tác online (trắc nghiệm + đúng/sai + kéo thả)	/T10/LuyenTap/C1B3.html

Khởi động — Ôn kiến thức Bài 2 (1/2)

Ôn lại Bài 2 (tập hợp, khoảng/đoạn) để bước vào các phép toán!

Câu 1. Liệt kê các phần tử của hai tập: \(A=\{x\in\mathbb N\mid x\) là ước của \(12\}\); \(B=\{x\in\mathbb N\mid x\) là ước của \(18\}\).

\(A=\{1;2;3;4;6;12\}\); \(B=\{1;2;3;6;9;18\}\).

Câu 2. Điền \(\in\) hoặc \(\notin\): \(3\ \ldots\ A\); \(5\ \ldots\ A\); \(9\ \ldots\ B\).

\(3\in A\); \(5\notin A\); \(9\in B\).

Câu 3. Viết mỗi tập bằng khoảng / đoạn / nửa khoảng: a) \(\{x\in\mathbb R\mid -2\le x<3\}\); b) \(\{x\in\mathbb R\mid x>1\}\); c) \(\{x\in\mathbb R\mid -4\le x\le0\}\).

a) \([-2;3)\); b) \((1;+\infty)\); c) \([-4;0]\).

Khởi động — Ôn kiến thức Bài 2 (2/2)

Câu 4. Điền \(\subset\) để hoàn thành dãy bao hàm các tập số: \(\mathbb N^*\ \ldots\ \mathbb N\ \ldots\ \mathbb Z\ \ldots\ \mathbb Q\ \ldots\ \mathbb R\).

\(\mathbb N^*\subset\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R\).

Câu 5. Cho \(A=\{1;2;3;6\}\), \(B=\{2;3;5\}\). Chỉ ra: a) phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\); b) phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\).

a) \(2;3\); b) \(1;6\).

Vào bài

Việc "lấy phần chung", "gộp lại", "bỏ đi phần chung" ở Câu 5 chính là các phép toán trên tập hợp: giao \(\cap\), hợp \(\cup\), hiệu \(\setminus\) và phần bù — nội dung Bài 3.

A1. Phép giao \(A\cap B\)

Giao của hai tập hợp

Giao của \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\cap B\), là tập gồm các phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\): \[A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{và}\ x\in B\}.\] Với khoảng, đoạn trên \(\mathbb R\): vẽ lên trục số rồi lấy phần chung (chú ý đầu mút đóng/mở).

Miền cam \(=A\cap B\) (phần chung của hai tập).

Ví dụ 1. \(A=\{0;1;2;3;4\}\), \(B=\{2;3;4;5;6\}\); \(P=(-1;3)\), \(Q=(0;5]\). Tìm \(A\cap B\) và \(P\cap Q\).

Lời giải. \(A\cap B=\{2;3;4\}\); trục số cho phần chung \(P\cap Q=(0;3)\) (hai đầu đều hở).

A2. Phép hợp \(A\cup B\)

Hợp của hai tập hợp

Hợp của \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\cup B\), gồm các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \(B\) (gộp lại, phần tử chung chỉ kể một lần): \[A\cup B=\{x\mid x\in A\ \text{hoặc}\ x\in B\}.\]

Miền cam \(=A\cup B\) (toàn bộ hai tập).

Ví dụ 2. Với \(A,B,P,Q\) như Ví dụ 1: tìm \(A\cup B\) và \(P\cup Q\).

Lời giải. \(A\cup B=\{0;1;2;3;4;5;6\}\) (không lặp); trên trục số hai khoảng phủ liền nhau nên \(P\cup Q=(-1;5]\).

A3. Phép hiệu \(A\setminus B\)

Hiệu của hai tập hợp

Hiệu của \(A\) và \(B\), kí hiệu \(A\setminus B\), gồm các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\): \[A\setminus B=\{x\mid x\in A\ \text{và}\ x\notin B\}.\] Nói chung \(A\setminus B\ne B\setminus A\) (phép hiệu không giao hoán).

Miền cam \(=A\setminus B\) (chỉ thuộc \(A\), bỏ phần chung).

Ví dụ 3. Với \(A=\{0;1;2;3;4\}\), \(B=\{2;3;4;5;6\}\): tìm \(A\setminus B\) và \(B\setminus A\).

Lời giải. \(A\setminus B=\{0;1\}\); \(B\setminus A=\{5;6\}\) — hai kết quả khác nhau.

A4. Phần bù. Quy tắc De Morgan

Phần bù \(C_A B\), \(C_{\mathbb R}A\)

Khi \(B\subset A\), hiệu \(A\setminus B\) gọi là phần bù của \(B\) trong \(A\), kí hiệu \(C_A B\). Đặc biệt phần bù của \(A\) trong \(\mathbb R\): \(\;C_{\mathbb R}A=\mathbb R\setminus A=\{x\in\mathbb R\mid x\notin A\}\).
Quy tắc De Morgan (trong tập \(E\)): \(\;C_E(A\cup B)=C_E A\cap C_E B\;\) và \(\;C_E(A\cap B)=C_E A\cup C_E B\).

Ví dụ 4. \(E=\{1;2;\dots;9\}\), \(A=\{1;2;3;4\}\), \(B=\{2;4;6;8\}\). Tìm \(C_E A\), \(C_E B\), \(C_E(A\cup B)\) và kiểm chứng De Morgan.

Lời giải. \(C_E A=\{5;6;7;8;9\}\), \(C_E B=\{1;3;5;7;9\}\). Vì \(A\cup B=\{1;2;3;4;6;8\}\) nên \(C_E(A\cup B)=\{5;7;9\}\); mặt khác \(C_E A\cap C_E B=\{5;7;9\}\) — trùng nhau, đúng De Morgan.

Điểm dễ sai

Kí hiệu \(C_A B\) chỉ dùng khi \(B\subset A\); nếu không thì chỉ viết được \(A\setminus B\). De Morgan đổi \(\cup\leftrightarrow\cap\): \(C_E(A\cup B)=C_E A\cap C_E B\).

A5. Số phần tử của hợp hai tập

Công thức số phần tử

Với hai tập hữu hạn \(A,B\), kí hiệu \(n(A)\) là số phần tử của \(A\): \[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B).\] Nếu \(A\cap B=\varnothing\) (rời nhau) thì \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)\).

Ví dụ 5. Một lớp có \(25\) HS giỏi Toán, \(23\) giỏi Lí, \(14\) giỏi cả Toán và Lí, \(6\) em không giỏi môn nào. Sĩ số lớp?

Lời giải. Giỏi ít nhất một môn \(=n(A\cup B)=25+23-14=34\); cả lớp \(=34+6=\) \(40\) học sinh.

Điểm dễ sai

Đừng quên trừ phần giao: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\). Phân biệt "giỏi cả hai", "giỏi ít nhất một", "chỉ giỏi một môn".

Bốn điểm dễ sai của bài

Ghi nhớ để tránh mất điểm

Giao/hợp trên khoảng – đoạn phải vẽ trục số; cẩn thận đầu mút đóng \([\,]\) hay mở \((\,)\).
Kí hiệu \(C_A B\) chỉ dùng khi \(B\subset A\) (nếu không, chỉ viết \(A\setminus B\)).
De Morgan: \(C_E(A\cup B)=C_E A\cap C_E B\) (đổi \(\cup\) thành \(\cap\) và ngược lại).
Số phần tử: đừng quên trừ giao — \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).

Dạng 1 — Phép giao hai tập hợp

Phương pháp

\(A\cap B\) gồm phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\). Với khoảng/đoạn: vẽ cả hai lên cùng một trục số, lấy phần được tô hai lần; giữ đúng đầu mút đóng/mở.

Luyện tập 1.1. \(A=[-5;3)\), \(B=(1;+\infty)\). Tìm \(A\cap B\).

\(A=[-5;3)\) (trên), \(B=(1;+\infty)\) (dưới): phần chung là \((1;3)\).

\(A\cap B=(1;3)\) (đầu \(1\) hở do \(B\) hở, đầu \(3\) hở do \(A\) hở).

Luyện tập 1.2. \(A=\{x\in\mathbb R\mid x+2\ge0\}\), \(B=\{x\in\mathbb R\mid 5-x\ge0\}\). Tìm \(A\cap B\).

\(A=[-2;+\infty)\), \(B=(-\infty;5]\Rightarrow A\cap B=[-2;5]\).

Dạng 2 — Phép hợp hai tập hợp

Phương pháp

\(A\cup B\) gộp mọi phần tử của \(A\) và \(B\) (phần tử chung kể một lần). Với khoảng/đoạn: lấy phần được tô ít nhất một lần; chú ý hai tập có phủ liền nhau hay không.

Luyện tập 2.1. \(A=(-\infty;-1]\), \(B=(-2;+\infty)\). Tìm \(A\cup B\).

Vì \(-2<-1\) nên hai tập phủ liền, không hở khoảng nào: \(A\cup B=\mathbb R\).

Luyện tập 2.2. \(A=[-2;7)\), \(B=[1;9]\). Tìm \(A\cup B\).

Hai tập giao nhau nên hợp thành \([-2;9]\) (đầu \(9\) đóng do \(B\) đóng).

Chú ý

Hai tập rời nhau (không phủ liền) thì hợp là hai mảnh, ví dụ \((-\infty;-2]\cup[3;+\infty)\) — không gộp thành một khoảng.

Dạng 3 — Phép hiệu và phần bù

Phương pháp

\(A\setminus B\) gồm phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\). Phần bù \(C_E A=E\setminus A\) (khi \(A\subset E\)). Cần \(C_E(A\cup B)\) hoặc \(C_E(A\cap B)\) có thể dùng De Morgan.

Luyện tập 3.1. \(A=\{2;4;6;9\}\), \(B=\{1;2;3;4\}\). Tìm \(A\setminus B\).

Bỏ khỏi \(A\) các phần tử \(2;4\) (có trong \(B\)): \(A\setminus B=\{6;9\}\).

Luyện tập 3.2. \(A=(2;+\infty)\). Tìm \(C_{\mathbb R}A\).

\(C_{\mathbb R}A=\mathbb R\setminus(2;+\infty)=(-\infty;2]\) (điểm \(2\notin A\) nên thuộc phần bù).

Luyện tập 3.3. \(A=(1;5]\), \(B=(2;7]\). Tìm \(A\setminus B\).

Bỏ \((2;7]\) khỏi \((1;5]\) còn \((1;2]\) (điểm \(2\) vẫn thuộc \(A\), không thuộc \(B\)).

Dạng 4 — Số phần tử của tập hợp

Phương pháp

Dùng \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\); mở rộng cho ba tập bằng biểu đồ Ven, đặt ẩn cho từng miền (bắt đầu từ tâm \(A\cap B\cap C\)).

Luyện tập 4. Lớp \(10\)A có \(45\) HS: \(25\) giỏi Toán, \(23\) giỏi Lí, \(20\) giỏi Hoá; \(11\) giỏi cả Toán–Lí, \(8\) giỏi cả Lí–Hoá, \(9\) giỏi cả Toán–Hoá; mỗi em giỏi ít nhất một môn. Số em giỏi cả ba môn?

Đặt \(x\) là số HS giỏi cả ba môn (miền tâm).

Bao hàm–loại trừ: \(45=25+23+20-11-8-9+x=40+x\Rightarrow x=5\).

Dạng 5 — Kết hợp nhiều phép toán · Tham số

Phương pháp

Thực hiện lần lượt (ưu tiên trong ngoặc). Với tham số: biểu diễn các tập lên trục số, dịch điều kiện đề bài thành bất phương trình; luôn kiểm tra tập khác rỗng trước.

Luyện tập 5.1. \(A=[-2;2]\), \(B=[1;5]\), \(C=[0;1)\). Tìm \((A\setminus B)\cap C\).

\(A\setminus B=[-2;1)\); giao với \(C=[0;1)\) được \([0;1)\).

Luyện tập 5.2. \(A=[m-3;m+2]\), \(B=(-3;5)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để \(A\subset B\)?

\(A\) luôn khác rỗng; \(A\subset B\Leftrightarrow m-3>-3\) và \(m+2<5\), tức \(0

Chú ý bài tham số

Khoảng \((m;m+6)\) mở: để \(-2\in(m;m+6)\) cần \(m<-2\) (dấu ngặt), không lấy dấu \(=\).

Ghi nhớ

Chốt lại bài học

Giao \(A\cap B\): vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\). Hợp \(A\cup B\): thuộc \(A\) hoặc \(B\).
Hiệu \(A\setminus B\): thuộc \(A\), không thuộc \(B\); \(A\setminus B\ne B\setminus A\).
Phần bù \(C_A B\) (chỉ khi \(B\subset A\)), \(C_{\mathbb R}A=\mathbb R\setminus A\); De Morgan đổi \(\cup\leftrightarrow\cap\).
Số phần tử: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\) — nhớ trừ giao.
Khoảng/đoạn: luôn vẽ trục số, giữ đúng đầu mút đóng \([\,]\) / mở \((\,)\).

Bài sau: Ôn tập chương I. Mệnh đề và Tập hợp.

Về nhà

Nhiệm vụ của em

Làm Phiếu bài tập số 1 (10 bài, theo bài giảng): C1B3-C-PhieuBaiTap.pdf
Làm Phiếu bài tập về nhà số 2 (kèm QR đáp án): C1B3-C-PhieuBaiTap2.pdf
Làm Bài kiểm tra tương tác online (trắc nghiệm + đúng/sai + kéo thả): /T10/LuyenTap/C1B3.html

Toàn bộ tài liệu bài học (dành cho giáo viên)

Phiếu khởi động: C1B3-0-PhieuKhoiDong.pdf
Các dạng bài + luyện tập: C1B3-B-CacDang.pdf
Đề kiểm tra cơ bản 15 phút: C1B3-D-KiemTra15p.pdf
Bài nâng cao: C1B3-E-NangCao.pdf
Bản đầy đủ kèm lời giải: C1B3-BaiGiang-DayDu.pdf

Bài sau: Ôn tập chương I. Mệnh đề và Tập hợp — hẹn gặp lại!