Bài 5. Bất đẳng thức

Toán 10 — Chương II. Bất đẳng thức và bất phương trình

Bài giảng trình chiếu trên lớp

Tài nguyên bài học (dành cho giáo viên)

Tài liệu	Mở
Phiếu khởi động (PDF)	C2B5-0-PhieuKhoiDong.pdf
Các dạng bài + luyện tập (PDF)	C2B5-B-CacDang.pdf
Phiếu bài tập số 1 (10 bài, theo bài giảng) (PDF)	C2B5-C-PhieuBaiTap.pdf
Phiếu bài tập về nhà số 2 (kèm QR đáp án) (PDF)	C2B5-C-PhieuBaiTap2.pdf
Đề kiểm tra cơ bản 15 phút (PDF)	C2B5-D-KiemTra15p.pdf
Bài nâng cao (PDF)	C2B5-E-NangCao.pdf
Bản đầy đủ kèm lời giải (PDF)	C2B5-BaiGiang-DayDu.pdf
Bài kiểm tra tương tác online (trắc nghiệm + đúng/sai + kéo thả)	/T10/LuyenTap/C2B5.html

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền (1/2)

Ôn lại hằng đẳng thức và tính chất \(a^2\ge0\) để bước vào bất đẳng thức!

Câu 1. Khai triển: \((a-b)^2=\ldots\); \((a+b)^2=\ldots\). Với mọi \(a,b\), biểu thức \((a-b)^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng số nào?

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\); \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\); \((a-b)^2\ge 0\).

Câu 2. Chứng tỏ \((x-2)^2+3\ge3\) với mọi \(x\). Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu, tại \(x\) nào?

Vì \((x-2)^2\ge0\) nên \((x-2)^2+3\ge3\); GTNN \(=3\), đạt tại \(x=2\).

Câu 3. Không dùng máy tính, so sánh \(a=2\sqrt3\) và \(b=3\sqrt2\) (gợi ý: so sánh \(a^2,b^2\)).

\(a^2=12<18=b^2\) và \(a,b>0\Rightarrow a

Khởi động — Kiểm tra kiến thức nền (2/2)

Câu 4. Viết \(a^2-2a+1\) dưới dạng một bình phương rồi cho biết dấu của nó.

\(a^2-2a+1=(a-1)^2\ge0\).

Câu 5. Cho \(a\ge0,\ b\ge0\). Xét \((\sqrt a-\sqrt b)^2\) và chứng tỏ \(a+b\ge2\sqrt{ab}\). Dấu "=" xảy ra khi nào?

\((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge0\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\); dấu "=" khi \(a=b\).

Vào bài

Bất đẳng thức vừa gặp ở Câu 5 chính là bất đẳng thức Cô-si — một trong những công cụ trọng tâm của bài học hôm nay: bất đẳng thức và cách dùng nó để chứng minh, tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất.

A1. Bất đẳng thức và các tính chất

Khái niệm và tính chất cơ bản

Với hai số thực \(a,b\): \(a>b\) nghĩa là \(a-b>0\) (tương tự cho \(a\ge b,\ abất đẳng thức. Với \(a,b,c\) thực:

Bắc cầu: \(a>b\) và \(b>c\Rightarrow a>c\).
Cộng cùng một số: \(a>b\Leftrightarrow a+c>b+c\).
Nhân với số dương/âm: \(c>0\Rightarrow(a>b\Leftrightarrow ac>bc)\); \(\ c<0\Rightarrow(a>b\Leftrightarrow acđổi chiều.
Cộng hai BĐT cùng chiều: \(a>b,\ c>d\Rightarrow a+c>b+d\).

Ví dụ 1. Cho \(a>b\). So sánh \(3-2a\) và \(3-2b\).

Lời giải. Nhân hai vế \(a>b\) với \(-2<0\) (đổi chiều): \(-2a<-2b\); cộng \(3\): \(3-2a<3-2b\).

A2. Một số bất đẳng thức nền tảng

Các bất đẳng thức cần nhớ

Với mọi số thực \(a,b\): \[a^2\ge0;\qquad a^2+b^2\ge 2ab;\qquad (a+b)^2\ge 4ab.\] Ngoài ra, nếu \(ab>0\) thì \(\dfrac ab+\dfrac ba\ge2\). Các dấu "=" đều xảy ra khi \(a=b\).

Ví dụ 2. Chứng minh \(a^2+b^2\ge2ab\) rồi suy ra \((a+b)^2\ge4ab\).

Lời giải. \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\), dấu "=" khi \(a=b\). Cộng \(2ab\) hai vế: \((a+b)^2\ge4ab\).

A3. Bất đẳng thức Cô-si (AM–GM)

Cô-si cho hai số không âm

Với \(a,b\ge0\): \(\quad\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\quad(\text{tức }a+b\ge2\sqrt{ab})\), dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\).
Ba số không âm \(a,b,c\ge0\): \(\ \dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\), dấu "=" khi \(a=b=c\).
Điểm rơi: tổng \(a+b\) không đổi thì tích \(ab\) lớn nhất khi \(a=b\); tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi \(a=b\).

Ba hình chữ nhật cùng nửa chu vi \(a+b=6\): tích \(ab\) lớn nhất \(=9\) khi \(a=b=3\).

Ví dụ 3. Tìm GTNN của \(y=x+\dfrac1x\) với \(x>0\). Lời giải. \(x>0,\dfrac1x>0\); Cô-si: \(x+\dfrac1x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac1x}=2\), dấu "=" khi \(x=1\). Vậy \(\min y=2\) tại \(x=1\).

A4. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai cặp số

Với mọi số thực \(a,b,x,y\): \[(ax+by)^2\le (a^2+b^2)(x^2+y^2),\] dấu "=" \(\Leftrightarrow ay=bx\) (tức \(\dfrac xa=\dfrac yb\) khi \(a,b\ne0\)).
Hệ quả (cộng mẫu): với \(x,y>0\) và mọi \(a,b\): \(\ \dfrac{a^2}{x}+\dfrac{b^2}{y}\ge\dfrac{(a+b)^2}{x+y}\), dấu "=" khi \(\dfrac ax=\dfrac by\).

Ví dụ 4. Cho \(a+2b=2\). Chứng minh \(a^2+b^2\ge\dfrac45\).

Lời giải. Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp \((1;2)\) và \((a;b)\): \((a+2b)^2\le(1^2+2^2)(a^2+b^2)=5(a^2+b^2)\). Vì \(a+2b=2\) nên \(4\le5(a^2+b^2)\Rightarrow\) \(a^2+b^2\ge\dfrac45\), dấu "=" tại \(a=\dfrac25,\ b=\dfrac45\).

A5. Dùng bất đẳng thức tìm GTLN – GTNN

Quy trình hai bước

Để tìm GTNN (hoặc GTLN) của biểu thức \(P\):

Chặn một phía: chứng minh \(P\ge m\) (hoặc \(P\le M\)) bằng một bất đẳng thức phù hợp;
Chỉ ra dấu "=" xảy ra (điểm rơi): tồn tại giá trị của biến làm \(P=m\) (hoặc \(P=M\)). Khi đó mới kết luận \(\min P=m\) (hoặc \(\max P=M\)).

Thiếu bước điểm rơi thì chưa kết luận được GTNN/GTLN.

Ví dụ 5. Tìm GTNN của \(y=\dfrac x2+\dfrac{18}{x}\) với \(x>0\).

Lời giải. Hai số \(\dfrac x2>0,\ \dfrac{18}{x}>0\); Cô-si: \(\dfrac x2+\dfrac{18}{x}\ge2\sqrt{\dfrac x2\cdot\dfrac{18}{x}}=2\sqrt9=6\), dấu "=" khi \(\dfrac x2=\dfrac{18}{x}\Leftrightarrow x=6\). Vậy \(\min y=6\) tại \(x=6\).

Ba điểm dễ sai của bài

Ghi nhớ để tránh mất điểm

Cô-si chỉ áp dụng cho các số không âm; Bu-nhi-a-cốp-xki phải gom đúng dạng \((ax+by)^2\). Áp dụng khi chưa đủ điều kiện là sai.
Muốn kết luận GTLN/GTNN phải chỉ ra dấu "=" xảy ra (điểm rơi tồn tại), không chỉ chặn một phía.
Khi cộng nhiều bất đẳng thức, dấu "=" của kết quả chỉ đạt khi mọi dấu "=" thành phần xảy ra đồng thời — phải kiểm tra lại.

Dạng 1 — Chứng minh BĐT bằng biến đổi tương đương

Phương pháp

Đưa BĐT về dạng tương đương mà vế trái trừ vế phải là tổng các bình phương hiển nhiên không âm. Thường dùng \((a-b)^2\ge0\) hoặc \((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0\). Luôn nêu dấu "=" xảy ra khi nào.

Luyện tập 1.1. Cho \(a,b,c\in\mathbb R\). Chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\).

Nhân đôi: \(2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\ge0\); dấu "=" khi \(a=b=c\).

Luyện tập 1.2. Cho \(a,b\in\mathbb R\). Chứng minh \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\).

Nhân đôi và chuyển vế: \((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\ge0\); dấu "=" khi \(a=b=1\).

Dạng 2 — Chứng minh bằng Bu-nhi-a-cốp-xki

Phương pháp

Khi có ràng buộc tuyến tính \(ma+nb=k\) cần chặn tổng bình phương, gom về dạng \((ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)\). Chọn hai cặp số hợp lí rồi thay ràng buộc. Dấu "=" khi \(ay=bx\); kiểm điểm rơi thoả ràng buộc.

Luyện tập 2.1. Cho \(3a+4b=7\). Chứng minh \(3a^2+4b^2\ge7\).

Bu-nhi-a cho \((\sqrt3;2)\) và \((\sqrt3\,a;2b)\): \((3a+4b)^2\le7(3a^2+4b^2)\Rightarrow49\le7(3a^2+4b^2)\Rightarrow3a^2+4b^2\ge7\); dấu "=" khi \(a=b=1\).

Luyện tập 2.2. Cho \(2a+3b=5\). Chứng minh \(2a^2+3b^2\ge5\).

Bu-nhi-a cho \((\sqrt2;\sqrt3)\) và \((\sqrt2\,a;\sqrt3\,b)\): \((2a+3b)^2\le5(2a^2+3b^2)\Rightarrow25\le5(2a^2+3b^2)\Rightarrow2a^2+3b^2\ge5\); dấu "=" khi \(a=b=1\).

Dạng 3 — Chứng minh bằng Cô-si (trọng tâm)

Phương pháp

Nhóm các số dương thành cặp/bộ rồi áp dụng \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) hoặc \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\). Với biểu thức đối xứng thường ghép theo vòng rồi cộng lại. Luôn kiểm điều kiện số không âm và chỉ ra dấu "=" (thường \(a=b=c\)).

Luyện tập 3.1. Cho \(a,b>0\). Chứng minh \(\dfrac1a+\dfrac1b\ge\dfrac{4}{a+b}\).

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\) và \(\dfrac1a+\dfrac1b\ge2\sqrt{\dfrac1{ab}}\); nhân hai vế dương: \((a+b)\!\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)\ge4\Rightarrow\dfrac1a+\dfrac1b\ge\dfrac{4}{a+b}\); dấu "=" khi \(a=b\).

Luyện tập 3.2. Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \((a+b)(b+c)(c+a)\ge8abc\).

\(a+b\ge2\sqrt{ab},\ b+c\ge2\sqrt{bc},\ c+a\ge2\sqrt{ca}\); nhân ba BĐT dương: \((a+b)(b+c)(c+a)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\); dấu "=" khi \(a=b=c\).

Dạng 4 — Tìm GTLN – GTNN (trọng tâm)

Phương pháp

Dạng "số hạng + nghịch đảo" dùng Cô-si hai số (tách để tích không đổi); tích hai thừa số có tổng không đổi dùng \(\dfrac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\). Sau khi chặn phải tìm điểm rơi và kiểm dấu "=" đạt được.

Luyện tập 4.1. Tìm GTNN của \(y=\dfrac x2+\dfrac{18}{x}\) với \(x>0\). \(y\ge2\sqrt{\dfrac x2\cdot\dfrac{18}{x}}=6\), dấu "=" khi \(x=6\); \(\min y=6\).

Luyện tập 4.2. Tìm GTLN của \(y=(x+3)(5-x)\) với \(-3\le x\le5\).

Parabol \(y=(x+3)(5-x)\) quay bề lõm xuống, đạt đỉnh \(y=16\) tại \(x=1\).

Hai thừa số \(x+3\ge0,\ 5-x\ge0\) có tổng \(8\) không đổi \(\Rightarrow(x+3)(5-x)\le\left(\dfrac82\right)^2=16\), dấu "=" khi \(x=1\). Vậy \(\max y=16\).

Dạng 5 — Bài toán ứng dụng thực tế

Phương pháp

Đặt ẩn cho đại lượng cần tối ưu, lập biểu thức theo ràng buộc thực tế (chu vi, thể tích, diện tích…), rồi dùng Cô-si tìm cực trị. Đối chiếu điều kiện thực tế (độ dài, diện tích \(>0\)) và kết luận kích thước tại điểm rơi.

Luyện tập 5.1. Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi \(40\) m. Tìm diện tích lớn nhất và hai kích thước khi đó.

Hai cạnh \(a,b>0\), \(a+b=20\); \(S=ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2=10^2=100\) (m\(^2\)), dấu "=" khi \(a=b=10\). Diện tích lớn nhất \(100\) m\(^2\) (hình vuông cạnh \(10\) m).

Luyện tập 5.2. Rào mảnh đất hình chữ nhật dọc bờ sông thẳng (cạnh giáp sông không rào) bằng \(100\) m lưới. Tìm diện tích lớn nhất.

Cạnh song song sông \(x\), hai cạnh vuông góc \(y\): \(x+2y=100\). \(S=xy=\dfrac12(2y)x\le\dfrac12\left(\dfrac{2y+x}{2}\right)^2=\dfrac12\cdot50^2=1250\) (m\(^2\)), dấu "=" khi \(x=50,\ y=25\).

Ghi nhớ

Chốt lại bài học

Cô-si (2 số): \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) với \(a,b\ge0\), dấu "=" khi \(a=b\). Nhớ điều kiện không âm.
Bu-nhi-a-cốp-xki: \((ax+by)^2\le(a^2+b^2)(x^2+y^2)\), dấu "=" khi \(ay=bx\) (hai bộ tỉ lệ).
Điểm rơi: tổng không đổi \(\Rightarrow\) tích lớn nhất khi các số bằng nhau; tích không đổi \(\Rightarrow\) tổng nhỏ nhất khi bằng nhau.
GTLN/GTNN: chặn một phía và chỉ ra giá trị đạt được (điểm rơi) mới kết luận.

Bài sau: Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Về nhà

Nhiệm vụ của em

Làm Phiếu bài tập số 1 (10 bài, theo bài giảng): C2B5-C-PhieuBaiTap.pdf
Làm Phiếu bài tập về nhà số 2 (kèm QR đáp án): C2B5-C-PhieuBaiTap2.pdf
Làm Bài kiểm tra tương tác online (trắc nghiệm + đúng/sai + kéo thả): /T10/LuyenTap/C2B5.html

Toàn bộ tài liệu bài học (dành cho giáo viên)

Phiếu khởi động: C2B5-0-PhieuKhoiDong.pdf
Các dạng bài + luyện tập: C2B5-B-CacDang.pdf
Đề kiểm tra cơ bản 15 phút: C2B5-D-KiemTra15p.pdf
Bài nâng cao: C2B5-E-NangCao.pdf
Bản đầy đủ kèm lời giải: C2B5-BaiGiang-DayDu.pdf

Bài sau: Bài 6. Bất phương trình bậc nhất một ẩn — hẹn gặp lại!