Mạch A · Giải tích — Lớp Toán 12 ôn thi Đại học
Bấm phím mũi tên → (hoặc chạm mép phải màn hình) để xem từng bước, giống như trên lớp.
| A1 | Ngôn ngữ hàm số — TXĐ, đồ thị, đơn điệu, parabol ⟵ hôm nay |
| A2–A4 | Gia đình hàm mới: lượng giác · mũ · lôgarit (+ lãi kép) |
| A5–A7 | Dãy số → giới hạn → đạo hàm |
| A8–A10 | Đạo hàm ra tay: đơn điệu, cực trị, GTLN–GTNN, khảo sát |
| A11–A13 | Nguyên hàm → tích phân → ứng dụng |
Mỗi bậc đứng trên bậc trước — hôm nay ta đổ móng:
toàn bộ Giải tích lớp 12 nói bằng ngôn ngữ hàm số.
(Sau Mạch A là Mạch C — Hình học, rồi Mạch B — Xác suất & Thống kê.)
…và một góc đặc biệt: "Một câu hỏi — bốn kì thi" — cùng một nội dung, TN THPT / HSA / TSA / SPT sẽ hỏi em bốn kiểu khác nhau thế nào.
Số tiền \(y\) phụ thuộc đại lượng nào?
Biết quãng đường \(x\) rồi, số tiền \(y\) có xác định duy nhất không?
Hàm số có thể cho bằng công thức (cước taxi), bằng bảng (giá vàng từng ngày), hay bằng đồ thị (điện tâm đồ) — cùng một bản chất: mỗi đầu vào, một đầu ra.
Nhân vật chính của buổi hôm nay: \(f(x)=x^2-4x+3\). Trả lời nhanh và ghi nhớ — đây là "viên gạch" cho mọi ví dụ phía sau (bấm → để hiện đáp số từng câu):
| 1 | \(f(0)=\,?\) | 3 |
| 2 | \(f(2)=\,?\) | −1 |
| 3 | Nghiệm \(x^2-4x+3=0\)? | 1; 3 |
| 4 | \(-\dfrac{b}{2a}\) của \(f\)? | 2 |
| 5 | \(f(5)=\,?\) | 8 |
| 6 | \(\sqrt{x-1}\) có nghĩa khi nào? | x ≥ 1 |
| 7 | \(\dfrac{1}{x-2}\) "cấm" giá trị nào? | x ≠ 2 |
| 8 | \((x-2)^2\) nhỏ nhất bằng? khi nào? | 0, khi x = 2 |
| 9 | \(a<0\): bề lõm parabol quay đi đâu? | xuống dưới |
| 10 | \(y=1-3x\): \(x\) tăng thì \(y\)? | giảm |
Giá mở cửa 11 000 đ cho quãng đường không quá 0,7 km; mỗi km tiếp theo 15 800 đ. Gọi \(y\) (đồng) là số tiền phải trả khi đi \(x\) (km). Viết hàm số \(y\) theo \(x\).
Đi 5 km thì đoạn nào tính giá mở cửa, đoạn nào tính 15 800 đ/km?
Lời giải. Nếu \(x\le0{,}7\): trả trọn giá mở cửa \(y=11000\).
Nếu \(x>0{,}7\): trả \(11000\) đ cho 0,7 km đầu + \(15800\) đ cho mỗi km vượt: \[y=11000+15800\,(x-0{,}7)=\class{kq}{15800x-60}.\]
\[y=\begin{cases}11000 & \text{khi } x\le 0{,}7\\ 15800x-60 & \text{khi } x>0{,}7\end{cases}\]
Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases} x+\sqrt{x-2} & \text{khi } x\ge 2\\ 1-3x & \text{khi } x<2\end{cases}\). Tính \(f(1)\).
Số 1 thuộc nhánh nào? (nhìn điều kiện bên phải!)
Lời giải. Vì \(1<2\), dùng nhánh dưới: \(f(1)=1-3\cdot1=\class{kq}{-2}\).
Hạt giống (10) đã gặp \(y=1-3x\) rồi đấy — lát nữa nó quay lại ở phần đồng biến – nghịch biến.
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\dfrac{x-1}{x^2-x+3}\).
Mẫu \(x^2-x+3\) có bao giờ bằng 0 không? — thử hoàn thiện bình phương (như hạt giống (8))!
Lời giải. \(x^2-x+3=\Bigl(x-\dfrac12\Bigr)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}>0\) với mọi \(x\) (hoặc: \(\Delta=1-12<0\), \(a=1>0\)).
Mẫu không bao giờ triệt tiêu → \(D=\class{kq}{\mathbb{R}}\).
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\).
Cần mấy điều kiện? Lấy giao hay lấy hợp?
Lời giải. Cần đồng thời: \(x-1\ge0\) và \(2-x\ge0\), tức \(x\ge1\) và \(x\le2\).
Giao hai nửa trục: \(D=\class{kq}{[1;2]}\).
Điểm \((5;8)\) có thuộc đồ thị không?
Điểm \((4;2)\)? — hạt giống (5) trả lời hộ em!
\(f(5)=8\) ✓ → \((5;8)\) thuộc;
\(f(4)=3\ne2\) → \((4;2)\) không thuộc.
Cho hàm số \(y=f(x)=x^2\) trên \(\mathbb{R}\). Xét ba mệnh đề:
(I) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\);
(II) nghịch biến trên \((0;+\infty)\);
(III) đồng biến trên \((-\infty;0)\).
Mệnh đề nào sai?
\(x^2\) có "lên dốc suốt" trên cả \(\mathbb{R}\) không? Thử cặp \(-2<1\)…
Lời giải. \(-2<1\) nhưng \(f(-2)=4>1=f(1)\) → (I) sai.
Trên \((0;+\infty)\) đồ thị đi lên (đồng biến) → (II) nói "nghịch biến" là sai. Trên \((-\infty;0)\) đồ thị đi xuống → (III) sai.
Vậy cả (I), (II), (III) đều sai.
Hàm số \(y=-x^2+4x-3\) đồng biến, nghịch biến trên những khoảng nào?
Đỉnh ở đâu? Bề lõm quay lên hay xuống? (hạt giống (4) và (9))
Lời giải. \(x_{\text{đỉnh}}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{-2}=2\); \(a=-1<0\) → bề lõm quay xuống: lên dốc tới \(x=2\), rồi xuống dốc.
Đồng biến trên \((-\infty;2)\), nghịch biến trên \((2;+\infty)\).
Vì thế hàm số cũng đồng biến trên mọi khoảng con, ví dụ \(\class{kq}{(-\infty;1)}\) — đề trắc nghiệm rất hay hỏi kiểu "khoảng con" này!
Muốn trả lời "bao giờ chạm đất?" — phải biết đọc chân dung parabol. Đi thôi!
Kiểm tra bằng nhân vật chính \(f(x)=x^2-4x+3\): hạt giống (4) cho \(x_I=2\), hạt giống (2) cho \(f(2)=-1\) → đỉnh \(I(2;-1)\) — khớp bức chân dung ta đã vẽ!
Tìm toạ độ đỉnh của parabol \((P):y=x^2-2x\).
Hoành độ đỉnh bằng bao nhiêu? Tung độ: thay vào đâu?
Lời giải. \(x_I=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-2}{2}=1\); \(y_I=f(1)=1-2=-1\).
Đỉnh \(I\class{kq}{(1;-1)}\).
Nhịp làm bài thi: hoành độ đỉnh → thay vào hàm — 10 giây/câu. HSA cho trung bình 90 giây/câu: câu kiểu này phải "ăn" thật nhanh để dành giờ cho câu khó.
Parabol \((P):y=2x^2+bx+c\) đi qua \(M(0;4)\) và có trục đối xứng \(x=1\). Tính \(S=b+c\).
Điểm \(M(0;4)\) "khai" ra ngay hệ số nào?
Lời giải. Qua \(M(0;4)\): \(y(0)=c=4\).
Trục đối xứng: \(-\dfrac{b}{2\cdot2}=1\Rightarrow b=-4\).
Vậy \(S=b+c=\class{kq}{0}\).
Ví dụ 9. Tìm GTLN–GTNN của \(f(x)=x^2-4x+3\) trên \([0;3]\).
Đỉnh \(x=2\) có thuộc đoạn \([0;3]\) không?
Lời giải. Có! Ba ứng viên (toàn hạt giống cũ): \(f(0)=3\), \(f(2)=-1\), \(f(3)=0\).
So sánh: \(\max\limits_{[0;3]}f=\class{kq}{3}\) tại \(x=0\); \(\min\limits_{[0;3]}f=\class{kq}{-1}\) tại \(x=2\).
Ở buổi A9, em sẽ giải lại đúng bài này bằng đạo hàm — và bất ngờ chưa: vẫn là "quy tắc ba ứng viên", chỉ thay cách tìm đỉnh!
Quỹ đạo của bóng là parabol \(h=at^2+bt+c\) (\(t\): giây, \(h\): mét). Bóng đá lên từ độ cao 1,2 m; sau 1 s đạt 8,5 m; sau 2 s còn 6 m. Hỏi sau bao lâu bóng chạm đất (làm tròn hàng phần trăm)?
Ba dữ kiện — đổi được mấy phương trình? (nhớ "trò chơi thám tử"!)
Lời giải. \(t=0\): \(c=1{,}2\). \(t=1\): \(a+b+1{,}2=8{,}5\). \(t=2\): \(4a+2b+1{,}2=6\).
Hệ \(\begin{cases}a+b=7{,}3\\ 2a+b=2{,}4\end{cases}\Rightarrow a=-4{,}9;\ b=12{,}2\) → \(h(t)=-4{,}9t^2+12{,}2t+1{,}2\).
Chạm đất: \(h(t)=0\Rightarrow t=\dfrac{12{,}2+\sqrt{12{,}2^2+4\cdot4{,}9\cdot1{,}2}}{9{,}8} \approx\class{kq}{2{,}58\ \text{giây}}\) (nghiệm âm loại).
Bạn An chỉ đủ vật liệu làm 32 m hàng rào cho vườn hoa hình chữ nhật. Hỏi diện tích lớn nhất của vườn là bao nhiêu?
Gọi chiều rộng là \(x\) (m) thì chiều dài bằng gì?
Lời giải. ① Nửa chu vi \(=16\): rộng \(x\), dài \(16-x\), với \(0<x<16\).
② \(S(x)=x(16-x)=-x^2+16x\) — một parabol bề lõm xuống!
③ Đỉnh: \(x=-\dfrac{16}{-2}=8\) → \(S_{\max}=8\cdot8=\class{kq}{64\ \text{m}^2}\) (vườn hình vuông cạnh 8 m).
Chấm lũy tiến: đúng 1 ý — 0,1đ · 2 ý — 0,25đ · 3 ý — 0,5đ · cả 4 ý — 1đ.
Sai một ý là rơi từ 1đ xuống 0,5đ → các ý "có con số" như c), d) phải tính lại, đừng đoán!
Đề giữ nguyên nhưng phải trình bày lời giải trên giấy — giám khảo chấm từng bước theo barem (mỗi câu tự luận SPT ≈ 1,0đ):
| Bước | Nội dung phải có trên giấy | Điểm |
|---|---|---|
| ① | Đặt biến: gọi chiều rộng \(x\) (m) kèm điều kiện \(0<x<16\); chiều dài \(=16-x\) | 0,25 |
| ② | Lập hàm: \(S(x)=x(16-x)=-x^2+16x\) | 0,25 |
| ③ | Lập luận GTLN: parabol có \(a=-1<0\), đỉnh \(x=8\) → \(S(8)=64\) (hoặc BĐT: \(x(16-x)\le\bigl(\tfrac{x+(16-x)}{2}\bigr)^2=64\), dấu "=" khi \(x=8\)) | 0,25 |
| ④ | Kết luận: \(S_{\max}=64\) m² khi vườn là hình vuông cạnh 8 m — đủ đơn vị | 0,25 |
Bài 1. (*) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \((-1;1)\)?
A. \(y=x^2\). B. \(y=|x|\). C. \(y=x\). D. \(y=\dfrac1x\).
Đáp số: C (các hàm kia đều "đổi chiều" hoặc đi xuống quanh 0).
Bài 2. (*) Nhiệt độ mặt đất là \(30^\circ\)C; cứ lên cao 1 km nhiệt độ giảm \(5^\circ\)C. Viết hàm số nhiệt độ \(T\) theo độ cao \(h\) (km).
Đáp số: \(T=30-5h\).
Bài 3. (*) Tìm toạ độ đỉnh và trục đối xứng của parabol \(y=-2x^2+8x-1\).
Đáp số: trục \(x=2\), đỉnh \(I(2;7)\).
Bài 4. (**) Tìm GTLN–GTNN của \(f(x)=x^2-4x+3\) trên đoạn \([3;5]\).
(Đỉnh \(x=2\) có còn thuộc đoạn không? Khi đó còn mấy "ứng viên"?)
Đáp số: đỉnh ngoài đoạn, hàm đồng biến trên \([3;5]\): \(\min=f(3)=\class{kq}{0}\), \(\max=f(5)=\class{kq}{8}\).
Bài 5. (**) Parabol \(y=ax^2+bx+c\ (a\ne0)\) có đỉnh \(I(-1;4)\)
và đi qua \(A(-2;5)\). Tính \(S=a+b+c\).
(Gợi ý: viết dạng đỉnh \(y=a(x+1)^2+4\) cho nhanh.)
Đáp số: \(a=1\), \(y=x^2+2x+5\), \(S=\class{kq}{8}\).
Bài 6. (**) Một cửa hàng bán bánh giá 30 000 đ/chiếc thì bán được 120 chiếc/ngày; cứ giảm giá 1 000 đ lại bán thêm 10 chiếc. Hỏi bán giá nào để doanh thu lớn nhất?
Đáp số: giảm \(x\) nghìn: \(R=(30-x)(120+10x)\), đỉnh \(x=9\) → giá 21 000 đ, doanh thu 4 410 000 đ.
Bài 7. (***) Tập \(S\) chứa các số nguyên dương \(m\) để hàm số \(y=\sqrt{m-x}+\sqrt{x-2m+5}\) có tập xác định là một đoạn dài không dưới 3. Tính tổng bình phương các phần tử của \(S\).
Đáp số: \(D=[2m-5;m]\), \(5-m\ge3\Rightarrow m\le2\): \(S=\{1;2\}\) → 5.
Bài 8. (***) Xác định \((P):y=ax^2-6x+c\) biết trục đối xứng \(x=-4\) và \((P)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm cách nhau 4 đơn vị.
Đáp số: \(\dfrac{6}{2a}=-4\Rightarrow a=-\dfrac34\); \((x_1-x_2)^2=64-4\dfrac{c}{a}=16\Rightarrow c=-9\): \(y=-\dfrac34x^2-6x-9\).
Bài 9. (***) Cho \(y=2x^2-3(m+1)x+m^2+3m-2\). Khi \(m\) thay đổi, giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Đáp số: \(\min f=m^2+3m-2-\dfrac{9(m+1)^2}{8} =-\dfrac{m^2}{8}+\dfrac{3m}{4}-\dfrac{25}{8}\) — lại một parabol theo \(m\)! Đỉnh \(m=3\) → −2.
Buổi sau: có những thứ lặp đi lặp lại mãi — thuỷ triều,
ngày đêm, nhịp tim, bánh xe quay…
Cần một gia đình hàm số biết TUẦN HOÀN:
hàm số lượng giác — hẹn em ở A2!