Mạch A · Giải tích — Lớp Toán 12 ôn thi Đại học
Bấm phím mũi tên → (hoặc chạm mép phải màn hình) để xem từng bước, giống như trên lớp.
| A1 | Toàn cảnh hàm số ⟵ hôm nay |
| A2–A4 | Làm quen với lượng giác, hàm mũ và lôgarit |
| A5–A7 | Dãy số → giới hạn → đạo hàm: đo sự thay đổi |
| A8–A10 | Dùng đạo hàm để xét biến thiên, cực trị và khảo sát hàm số |
| A11–A13 | Nguyên hàm → tích phân → các bài toán cộng dồn |
Khi xã hội phát triển, nhu cầu ấy không mất đi mà còn rõ hơn: gieo bao nhiêu hạt thì đủ cho vụ sau, xây tường nghiêng bao nhiêu để khỏi đổ, bán ở mức giá nào thì có lời, dùng liều thuốc nào thì hiệu quả mà vẫn an toàn.
Toán học đi cùng sự phát triển ấy bằng cách biến kinh nghiệm rời rạc thành quy tắc tính được. Điểm chung luôn là mối liên hệ: ném mạnh hơn thì viên đá bay khác đi; mùa thay đổi thì mực nước thay đổi; giá thay đổi thì lượng người mua thay đổi.
Từ những bảng đo, bản vẽ, quy tắc kinh nghiệm rồi đến công thức, con người dần học cách mô tả các mối liên hệ ấy. Khi một đại lượng được biểu diễn theo một đại lượng khác, ta bắt đầu bước vào thế giới của hàm số.
| ① | Biết đầu vào rồi, muốn dự đoán kết quả: đi 5 km hết bao nhiêu tiền? |
| ② | Muốn tốt nhất hoặc tiết kiệm nhất: bán giá nào thì lời nhất, rào thế nào thì vườn rộng nhất? |
| ③ | Biết kết quả mong muốn, cần tìm ngược đầu vào: bao giờ tiền gấp đôi, ném thế nào thì tới đích? |
| ④ | Muốn nhìn toàn bộ diễn biến để ra quyết định: biểu đồ giá, điện tâm đồ, đồ thị chuyển động. |
Bốn kiểu câu hỏi này đã theo con người từ nông nghiệp, thương mại, xây dựng, thiên văn cho đến y học và kĩ thuật hiện đại. Điểm chung vẫn là: một đại lượng thay đổi theo đại lượng khác như thế nào. Ta thử nhìn vào bốn tình huống quen thuộc.
Mở cửa 11 000 đ (cho 0,7 km đầu), mỗi km tiếp theo 15 800 đ. Từ thời người ta tính tiền theo đoạn đường đi, đến đồng hồ taxi và ứng dụng gọi xe hôm nay, bài toán vẫn là một: số tiền phụ thuộc vào quãng đường. Từ đó ta có các câu hỏi:
Một chùm quả nằm ở độ cao 9 m. Không có thang, ta thử ném một viên đá lên. Từ kinh nghiệm ném đá, bắn tên, ném lao đến nghiên cứu chuyển động sau này, con người luôn gặp cùng một câu hỏi: có thể biết trước đường bay hay không?
Độ cao của viên đá thay đổi theo thời gian. Từ đó xuất hiện ba câu hỏi:
Đây chính là kiểu bài toán đã dẫn con người tới parabol trong mô tả chuyển động. Cuối buổi, ta sẽ trả lời cả ba câu bằng một mô hình toán học.
Gửi tiết kiệm 100 triệu, lãi kép 6%/năm — tiền năm sau \(=\) tiền năm trước \(\times\,1{,}06\):
| năm | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
| triệu đồng | 100 | 106 | 112,36 | ≈119,10 | … |
Từ sổ nợ, tiền lãi, dân số, dịch bệnh đến phóng xạ, con người nhiều lần gặp cùng một kiểu tăng giảm: sau mỗi khoảng thời gian, đại lượng được nhân với một tỉ lệ cố định. Với tiền gửi, số tiền phụ thuộc vào số năm.
Từ rất sớm, con người đã quan sát những thứ lặp lại: ngày – đêm, mùa, trăng, thuỷ triều. Ngày nay ta còn thấy nó trong nhịp tim, sóng âm, con lắc và đu quay. Một vòng đu quay kéo dài 20 phút; lúc \(t=0\), cabin ở vị trí thấp nhất.
Chỉ cần hiểu một chu kì, ta có thể suy ra các chu kì còn lại. Tư duy này nằm sau lịch, thiên văn, sóng và rất nhiều mô hình tuần hoàn. Đây sẽ là nội dung chính của buổi A2.
| Tình huống | Đại lượng nào phụ thuộc đại lượng nào? | Nhu cầu chạm tới |
|---|---|---|
| Chuyến taxi | số tiền ← quãng đường | ① ③ ④ |
| Viên đá được ném lên | độ cao ← thời gian | ② ③ ④ |
| Tiền gửi lãi kép | số tiền ← số năm | ① ③ ④ |
| Đu quay | độ cao ← thời gian (lặp lại) | ① ③ ④ |
Ba thành phần cần nhớ: tập xác định — quy tắc \(f\) — tập giá trị. Nói gọn: máy nhận được đầu vào nào, xử lí theo quy tắc nào, và cho ra những kết quả nào. Taxi: quãng đường vào, số tiền ra. Đu quay: thời điểm vào, độ cao ra. Mỗi đầu vào — đúng một đầu ra.
Trước khi có kí hiệu hiện đại, con người đã mô tả mối phụ thuộc bằng lời, bảng đo và hình vẽ. Công thức đến sau, nhưng rất mạnh để tính toán. Vì vậy, cùng một hàm số có thể mặc bốn “chiếc áo”:
| 1979 | 1999 | 2019 |
| 52,7 | 76,3 | 96,2 |
Các họ hàm không tự nhiên rơi xuống sách giáo khoa. Chúng xuất hiện vì con người gặp đi gặp lại vài kiểu thay đổi quen thuộc. Mỗi kiểu để lại một dấu hiệu trong bảng số. Chưa cần biết công thức, ta vẫn có thể nhận ra chúng:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 2 | 5 | 8 | 11 |
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | 3 | 6 | 12 | 24 |
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| y | 0 | 1 | 0 | −1 | 0 | 1 |
Kho thẻ: hàm bậc nhất hàm bậc hai hàm mũ hàm tuần hoàn (lượng giác) — có thẻ nhiễu!
Còn chuyển động của viên đá có dấu hiệu của hàm bậc hai. Ta sẽ nhận ra điều đó rõ hơn ở bảng đo vật rơi. Trước hết, hãy nhìn toàn bộ các họ hàm.
Bảng dưới đây là bản đồ khái quát của phần Giải tích phổ thông. Mỗi dòng từng gắn với một nhu cầu đo đạc hoặc mô tả thế giới: chuyển động, tăng trưởng, chu kì, tỉ lệ nghịch, thang đo rất lớn hoặc rất nhỏ. Ở các buổi sau, ta sẽ lần lượt tìm hiểu từng dòng.
| Họ hàm | Chữ ký trong bảng số | Thường dùng để mô tả | Chân dung | Học kĩ ở | |
|---|---|---|---|---|---|
| ① | Bậc nhất \(ax+b\) | \(x\) thêm 1 → \(y\) cộng thêm \(a\) | taxi, nhiệt độ theo độ cao, hao mòn đều | A1 (nay) | |
| ② | Bậc hai \(ax^2+bx+c\) | thay đổi của thay đổi… đều | đường bay hòn đá/quả bóng, diện tích, tối ưu | A1 (cuối buổi!) | |
| ③ | Luỹ thừa · căn · \(1/x\) | \(x\) gấp đôi → \(y\) gấp \(2^n\); với \(1/x\): \(x\) gấp đôi → \(y\) còn nửa | Kepler \(T^2=d^3\) · Boyle \(V=C/P\) | rải khắp; tiệm cận A9 | |
| ④ | sin · cos · tan · cot | lặp lại sau mỗi chu kì | đu quay, thuỷ triều, sóng âm, nhịp tim | A2 (buổi sau) | |
| ⑤ | Mũ \(a^x\) | \(x\) thêm 1 → \(y\) nhân với \(a\) | lãi kép, dân số, vi khuẩn, phóng xạ | A3–A4 | |
| ⑥ | Lôgarit \(\log_a x\) | \(x\) nhân 10 → \(y\) cộng 1 (ngược của mũ) | "nén" số khổng lồ: Richter, pH, decibel | A3–A4 | |
| ⑦ | Dãy số \(u_n\) | chỉ nhận \(n=1,2,3,\dots\) — "quay chậm từng khung hình" | trả góp, bỏ ống; cánh cổng vào giới hạn | A5–A6 |
Hãy dùng bảng này như một bản đồ định hướng cho toàn bộ mạch A. Khi nhìn nó như một bản đồ lịch sử thu nhỏ, ta thấy Toán học không tách khỏi đời sống: mỗi họ hàm là câu trả lời cho một kiểu biến đổi mà con người cần hiểu.
Mỗi câu ứng với một kiểu thay đổi vừa gặp. Hãy nhận diện dấu hiệu trước khi tính:
| 1 | Xi-lanh đang chứa 2 lít không khí ở áp suất 1 atm. Giữ nguyên nhiệt độ, ấn pít-tông nén khí đến áp suất 4 atm. Hỏi thể tích khí lúc đó còn lại bao nhiêu? | áp suất ×4 → thể tích ÷4: \(V=\dfrac{2}{4}=0{,}5\) lít (chữ ký \(1/x\)) |
| 2 | Đu quay 20 phút mới hết một vòng; lúc xuất phát (phút 0) cabin của em ở điểm thấp nhất. Đến phút thứ mấy cabin lại xuống thấp nhất? Và ở phút thứ 10 cabin đang ở đâu? | phút \(20\) — đúng 1 chu kì; phút 10 = nửa vòng → cao nhất (lặp lại) |
| 3 | Đĩa nuôi cấy có 1 000 con vi khuẩn; cứ sau mỗi giờ số vi khuẩn lại nhân đôi. Hỏi sau 5 giờ trong đĩa có bao nhiêu con? | \(1000\cdot 2^{5}=32\,000\) con (chữ ký ×đều — hàm mũ) |
| 4 | Thang Richter quy ước: cứ thêm 1 độ, biên độ rung của mặt đất gấp 10 lần. Hỏi trận động đất 8 độ rung mạnh gấp bao nhiêu lần trận 6 độ? | thêm 2 độ → \(10^{2}=100\) lần — không phải "gấp 2"! (chữ ký log) |
| 5 | Từ tháng 1, mỗi tháng em bỏ ống heo 500 nghìn đồng. Hỏi hết tháng 12 trong ống có bao nhiêu tiền? | \(500\cdot12=6\,000\) nghìn = 6 triệu (dãy cộng đều) |
Một khi đã có hàm số, con người không dừng lại ở việc “có công thức”. Ta còn muốn biết nó dùng để dự đoán, tối ưu, giải ngược và nhìn toàn cảnh như thế nào. Vì thế, các khái niệm sau dần trở thành bộ công cụ chung:
| Nhu cầu | Khái niệm dùng để trả lời |
|---|---|
| ① BIẾT TRƯỚC | quy tắc \(f\) để thay số + tập xác định (thay số nào thì hợp lệ) |
| ④ TOÀN CẢNH | đồ thị để quan sát toàn cảnh và chiều biến thiên để biết đoạn nào tăng, đoạn nào giảm |
| ② NHIỀU NHẤT – ÍT NHẤT | GTLN – GTNN để xác định mức cao nhất và thấp nhất |
| ③ ĐẠT MỐC KHI NÀO | nghiệm: giải \(f(x)=m\) để tìm đầu vào tạo ra kết quả mong muốn |
| ＋ LÀM NHANH HƠN | các tính chất riêng: đối xứng, tuần hoàn, tiệm cận — giúp rút ngắn việc phân tích |
Ta sắp xếp các khái niệm ấy thành một hồ sơ chung, dùng cho mọi họ hàm.
| Mục hồ sơ | Thử ngay với \(f(x)=x^2-4x+3\) | |
|---|---|---|
| ① | Gốc gác: họ nào, quy tắc gì? | bậc hai — họ hàm số ② trong bảng tổng hợp |
| ② | TXĐ — tập giá trị? | \(D=\mathbb{R}\); giá trị từ \(-1\) trở lên |
| ③ | Chân dung (đồ thị)? | parabol, bề lõm quay lên |
| ④ | Chiều biến thiên — nhanh chậm ra sao? | xuống dốc tới \(x=2\) rồi lên |
| ⑤ | Nét riêng? (đối xứng · tuần hoàn · tiệm cận) | đối xứng qua \(x=2\) |
| ⑥ | Đỉnh – đáy? (GTLN – GTNN) | đáy \(-1\) tại \(x=2\); không có trần |
| ⑦ | Nghiệm — cắt trục ở đâu? | cắt \(Ox\) tại \(1\) và \(3\); cắt \(Oy\) tại \(3\) |
Bài khảo sát hàm số lớp 12 thực chất là hoàn thiện hồ sơ này bằng công cụ đạo hàm. Hôm nay, ta bắt đầu với những hàm có thể quan sát trực tiếp.
Họ hàm chính của buổi hôm nay: \(f(x)=x^2-4x+3\). Trả lời nhanh và ghi nhớ — đây là "viên gạch" cho mọi ví dụ phía sau (bấm → để hiện đáp số từng câu):
| 1 | \(f(0)=\,?\) | 3 |
| 2 | \(f(2)=\,?\) | −1 |
| 3 | Nghiệm \(x^2-4x+3=0\)? | 1; 3 |
| 4 | \(-\dfrac{b}{2a}\) của \(f\)? | 2 |
| 5 | \(f(5)=\,?\) | 8 |
| 6 | \(\sqrt{x-1}\) có nghĩa khi nào? | x ≥ 1 |
| 7 | \(\dfrac{1}{x-2}\) "cấm" giá trị nào? | x ≠ 2 |
| 8 | \((x-2)^2\) nhỏ nhất bằng? khi nào? | 0, khi x = 2 |
| 9 | \(a<0\): bề lõm parabol quay đi đâu? | xuống dưới |
| 10 | \(y=1-3x\): \(x\) tăng thì \(y\)? | giảm |
Ví dụ 1. Giá mở cửa 11 000 đ cho quãng đường không quá 0,7 km; mỗi km tiếp theo 15 800 đ. Gọi \(y\) (đồng) là số tiền phải trả khi đi \(x\) (km). Viết hàm số \(y\) theo \(x\). (Chính là "thay áo": lời văn → công thức — trả nợ tình huống 1!)
Đi 5 km thì đoạn nào tính giá mở cửa, đoạn nào tính 15 800 đ/km?
Lời giải. Nếu \(x\le0{,}7\): trả trọn giá mở cửa \(y=11000\).
Nếu \(x>0{,}7\): trả \(11000\) đ cho 0,7 km đầu + \(15800\) đ cho mỗi km vượt: \[y=11000+15800\,(x-0{,}7)=\class{kq}{15800x-60}.\]
\[y=\begin{cases}11000 & \text{khi } x\le 0{,}7\\ 15800x-60 & \text{khi } x>0{,}7\end{cases}\]
Cho hàm số \(f(x)=\begin{cases} x+\sqrt{x-2} & \text{khi } x\ge 2\\ 1-3x & \text{khi } x<2\end{cases}\). Tính \(f(1)\).
Số 1 thuộc nhánh nào? (nhìn điều kiện bên phải!)
Lời giải. Vì \(1<2\), dùng nhánh dưới: \(f(1)=1-3\cdot1=\class{kq}{-2}\).
Hạt giống (10) đã gặp \(y=1-3x\) rồi đấy — lát nữa nó quay lại ở phần chiều biến thiên.
Cả 7 họ hàm sau này chỉ thêm đúng vài lệnh cấm mới (tan cần \(\cos\ne0\) — A2; lôgarit cần số dương — A3). Bộ khung không đổi.
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của \(y=\dfrac{x-1}{x^2-x+3}\).
Mẫu \(x^2-x+3\) có bao giờ bằng 0 không? (kết quả câu (8)!)
Lời giải.
\(x^2-x+3=\Bigl(x-\dfrac12\Bigr)^2+\dfrac{11}{4}>0\) với mọi \(x\)
(hoặc \(\Delta=1-12<0\), \(a>0\)) → mẫu không bao giờ triệt tiêu → \(D=\class{kq}{\mathbb{R}}\).
Bẫy: thấy phân thức đừng phản xạ loại ngay vài giá trị — đề luôn cài phương án
\(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) cho người vội!
Ví dụ 4. Tìm tập xác định của \(y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\).
Lời giải. Cần đồng thời \(x\ge1\) và \(x\le2\)
→ giao hai nửa trục: \(D=\class{kq}{[1;2]}\).
Bẫy: căn cho phép bằng 0 → hai đầu mút thuộc \(D\): chọn \([1;2]\),
không phải \((1;2)\) — trắc nghiệm khác nhau đúng ở dấu ngoặc!
Điểm \((5;8)\) có thuộc đồ thị không?
Điểm \((4;2)\)? — kết quả câu (5) trả lời hộ em!
\(f(5)=8\) ✓ → \((5;8)\) thuộc;
\(f(4)=3\ne2\) → \((4;2)\) không thuộc.
Cho hàm số \(y=f(x)=x^2\) trên \(\mathbb{R}\). Xét ba mệnh đề:
(I) hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\);
(II) nghịch biến trên \((0;+\infty)\);
(III) đồng biến trên \((-\infty;0)\).
Mệnh đề nào sai?
\(x^2\) có "lên dốc suốt" trên cả \(\mathbb{R}\) không? Thử cặp \(-2<1\)…
Lời giải. \(-2<1\) nhưng \(f(-2)=4>1=f(1)\) → (I) sai.
Trên \((0;+\infty)\) đồ thị đi lên (đồng biến) → (II) nói "nghịch biến" là sai. Trên \((-\infty;0)\) đồ thị đi xuống → (III) sai.
Vậy cả (I), (II), (III) đều sai.
Ở A1, ta còn nhìn được nhiều thứ bằng mắt thường. Nhưng lịch sử Toán học không dừng ở đó: khi chuyển động, tối ưu, tăng trưởng và diện tích trở nên phức tạp hơn, con người phải chế tạo những công cụ mạnh hơn. Đây là bốn câu hỏi sẽ dẫn đường cho những buổi tiếp theo:
| Câu hỏi thật ngoài đời | Trả lời ở |
|---|---|
| Hộp sữa đặc 1 lít hình trụ: cao bao nhiêu, rộng bao nhiêu thì tốn ít vỏ nhất? (vì sao lon nước trông "cân đối" thế?) | A10 |
| Gửi 100 triệu lãi kép 6%/năm — bao nhiêu năm gấp đôi? Rút sớm thiệt bao nhiêu? | A4 |
| Camera phạt nguội đo được vận tốc đúng tại một khoảnh khắc — bằng cách nào, khi "vận tốc" cần hai thời điểm để chia quãng đường cho thời gian? | A6–A7 |
| Mảnh đất ven sông có một bờ cong — tính diện tích kiểu gì khi không có công thức nào cho hình cong? | A13 |
Cuối mạch A, ta sẽ quay lại và giải trọn vẹn bốn câu hỏi này. Nói cách khác, ta sẽ đi lại một phiên bản thu nhỏ của lịch sử Giải tích: từ đo sự thay đổi đến cộng dồn sự thay đổi. Trước mắt, hãy bắt đầu từ ý tưởng đo tốc độ thay đổi.
Thả quả bóng từ tháp CN Tower cao 450 m, đo độ cao \(h\) (m) từng giây:
| \(t\) (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| \(h\) (m) | 450 | 445 | 431 | 408 | 375 | 332 | 279 | 216 | 143 | 61 |
Mỗi giây bóng rơi được bao nhiêu mét? Tính thử vài "nhịp":
giây 1: \(450-445=5\) m · giây 2: \(445-431=14\) m · giây 3: \(23\) m · … · giây 5: \(43\) m · … · giây 9: \(143-61=82\) m
Sau mỗi giây, quãng đường rơi trong một giây tăng thêm khoảng 10 m. Nói cách khác, mức thay đổi lại thay đổi gần như đều. Đây là dấu hiệu của hàm bậc hai: \(h(t)\) là một parabol (\(g\approx9{,}8\) — trọng lực đấy). Những quan sát kiểu này là lý do chuyển động rơi, ném lên, ném xiên gắn rất chặt với parabol.
Kiểm tra bằng hàm số chính \(f(x)=x^2-4x+3\): kết quả câu (4) cho \(x_I=2\), kết quả câu (2) cho \(f(2)=-1\) → đỉnh \(I(2;-1)\) — đúng với đồ thị đã quan sát.
Hàm số \(y=-x^2+4x-3\) đồng biến, nghịch biến trên những khoảng nào?
Đỉnh ở đâu? Bề lõm quay lên hay xuống? (kết quả câu (4) và (9))
Lời giải. \(x_{\text{đỉnh}}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{-2}=2\); \(a=-1<0\) → bề lõm quay xuống: lên dốc tới \(x=2\), rồi xuống dốc.
Đồng biến trên \((-\infty;2)\), nghịch biến trên \((2;+\infty)\).
Vì thế hàm số cũng đồng biến trên mọi khoảng con, ví dụ \(\class{kq}{(-\infty;1)}\) — đề trắc nghiệm rất hay hỏi kiểu "khoảng con" này!
Parabol \((P):y=2x^2+bx+c\) đi qua \(M(0;4)\) và có trục đối xứng \(x=1\). Tính \(S=b+c\).
Từ điểm \(M(0;4)\), ta xác định ngay được hệ số nào?
Lời giải. Qua \(M(0;4)\): \(y(0)=c=4\).
Trục đối xứng: \(-\dfrac{b}{2\cdot2}=1\Rightarrow b=-4\).
Vậy \(S=b+c=\class{kq}{0}\).
Ví dụ 8. Tìm GTLN–GTNN của \(f(x)=x^2-4x+3\) trên \([0;3]\).
Đỉnh \(x=2\) có thuộc đoạn \([0;3]\) không?
Lời giải. Có. Ba giá trị cần xét đều đã được tính ở phần trước: \(f(0)=3\), \(f(2)=-1\), \(f(3)=0\).
So sánh: \(\max\limits_{[0;3]}f=\class{kq}{3}\) tại \(x=0\); \(\min\limits_{[0;3]}f=\class{kq}{-1}\) tại \(x=2\).
Ở buổi A9, em sẽ giải lại đúng bài này bằng đạo hàm — và bất ngờ chưa: vẫn là "quy tắc ba ứng viên", chỉ thay cách tìm đỉnh!
Viên đá ném lên có độ cao là parabol \(h=at^2+bt+c\) (\(t\): giây, \(h\): mét).
Đá rời tay ở độ cao 1,2 m; sau 1 s đạt 8,5 m; sau 2 s còn 6 m. Chùm quả chín ở độ cao 9 m.
a) Viên đá có chạm nổi chùm quả không? b) Nếu trượt, sau bao lâu đá rơi lại đất
(làm tròn hàng phần trăm)?
Ba dữ kiện — đổi được mấy phương trình? (nhớ "trò chơi thám tử"!)
Lời giải. \(t=0\): \(c=1{,}2\). \(t=1\): \(a+b+1{,}2=8{,}5\). \(t=2\): \(4a+2b+1{,}2=6\). Hệ \(\begin{cases}a+b=7{,}3\\ 2a+b=2{,}4\end{cases}\Rightarrow a=-4{,}9;\ b=12{,}2\) → \(h(t)=-4{,}9t^2+12{,}2t+1{,}2\).
a) Cao nhất = đỉnh parabol: \(t=\dfrac{12{,}2}{9{,}8}\approx1{,}24\) s, \(h_{\max}\approx\class{kq}{8{,}79\ \text{m}}<9\) m — hụt 21 cm, không chạm nổi! Đây là điểm quan trọng của mô hình: từ vài phép đo, ta dựng được quy tắc; từ quy tắc, ta biết kết quả trước khi thử nghiệm thực tế.
b) Rơi lại đất: \(h(t)=0\Rightarrow t=\dfrac{12{,}2+\sqrt{12{,}2^2+4\cdot4{,}9\cdot1{,}2}}{9{,}8} \approx\class{kq}{2{,}58\ \text{giây}}\) (nghiệm âm loại — nhu cầu ③).
Bạn An chỉ đủ vật liệu làm 32 m hàng rào cho vườn hoa hình chữ nhật. Hỏi diện tích lớn nhất của vườn là bao nhiêu?
Gọi chiều rộng là \(x\) (m) thì chiều dài bằng gì?
Lời giải. ① Nửa chu vi \(=16\): rộng \(x\), dài \(16-x\), với \(0<x<16\).
② \(S(x)=x(16-x)=-x^2+16x\) — một parabol bề lõm xuống!
③ Đỉnh: \(x=-\dfrac{16}{-2}=8\) → \(S_{\max}=8\cdot8=\class{kq}{64\ \text{m}^2}\) (vườn hình vuông cạnh 8 m).
Chấm lũy tiến: đúng 1 ý — 0,1đ · 2 ý — 0,25đ · 3 ý — 0,5đ · cả 4 ý — 1đ.
Sai một ý là rơi từ 1đ xuống 0,5đ → các ý "có con số" như c), d) phải tính lại, đừng đoán!
Đề giữ nguyên nhưng phải trình bày lời giải trên giấy — giám khảo chấm từng bước theo barem (mỗi câu tự luận SPT ≈ 1,0đ):
| Bước | Nội dung phải có trên giấy | Điểm |
|---|---|---|
| ① | Đặt biến: gọi chiều rộng \(x\) (m) kèm điều kiện \(0<x<16\); chiều dài \(=16-x\) | 0,25 |
| ② | Lập hàm: \(S(x)=x(16-x)=-x^2+16x\) | 0,25 |
| ③ | Lập luận GTLN: parabol có \(a=-1<0\), đỉnh \(x=8\) → \(S(8)=64\) (hoặc BĐT: \(x(16-x)\le\bigl(\tfrac{x+(16-x)}{2}\bigr)^2=64\), dấu "=" khi \(x=8\)) | 0,25 |
| ④ | Kết luận: \(S_{\max}=64\) m² khi vườn là hình vuông cạnh 8 m — đủ đơn vị | 0,25 |
Bài 1. (*) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng \((-1;1)\)?
A. \(y=x^2\). B. \(y=|x|\). C. \(y=x\). D. \(y=\dfrac1x\).
Đáp số: C (các hàm kia đều "đổi chiều" hoặc đi xuống quanh 0).
Bài 2. (*) Tìm toạ độ đỉnh và trục đối xứng của parabol \(y=-2x^2+8x-1\).
(Nhịp thi HSA ~90 giây/câu: hoành độ đỉnh → thay vào hàm — mục tiêu 10 giây!)
Đáp số: trục \(x=2\), đỉnh \(I(2;7)\).
Bài 3. (**) Tìm GTLN–GTNN của \(f(x)=x^2-4x+3\) trên đoạn \([3;5]\).
(Đỉnh \(x=2\) có còn thuộc đoạn không? Khi đó còn mấy "ứng viên"?)
Đáp số: đỉnh ngoài đoạn, hàm đồng biến trên \([3;5]\): \(\min=f(3)=\class{kq}{0}\), \(\max=f(5)=\class{kq}{8}\).
Bài 4. (**) Một cửa hàng bán bánh giá 30 000 đ/chiếc thì bán được 120 chiếc/ngày; cứ giảm giá 1 000 đ lại bán thêm 10 chiếc. Hỏi bán giá nào để doanh thu lớn nhất?
Đáp số: giảm \(x\) nghìn: \(R=(30-x)(120+10x)\), đỉnh \(x=9\) → giá 21 000 đ, doanh thu 4 410 000 đ.
Các bài "ba sao" (tham số \(m\), trục cắt \(Ox\), min của min…) chuyển sang phiếu tự luận A1 — ngồi viết nghiêm túc mới ra chất.
Trong bốn tình huống hôm nay, bài toán đu quay vẫn còn để ngỏ:
chiếc đu quay — phút thứ 37 cabin ở đâu? lên lúc nào để chụp ảnh ở đỉnh?
Buổi A2: điền trọn tờ hồ sơ cho
gia đình tuần hoàn — hàm số lượng giác. Ta sẽ tiếp tục dùng hồ sơ bảy mục ở buổi học sau.