A2 — Hàm số lượng giác & phương trình lượng giác

Buổi A2

Hàm số lượng giác & phương trình lượng giác

Đường tròn lượng giác — hàm sin, cos, tan — phương trình lượng giác cơ bản

Mạch A · Giải tích — Lớp Toán 12 ôn thi Đại học

Bản đồ Mạch A — cầu thang Giải tích 13 bậc

A1	Ngôn ngữ hàm số — TXĐ, đồ thị, đơn điệu, parabol
A2	Gia đình hàm mới ①: hàm số lượng giác & PT lượng giác ⟵ hôm nay
A3–A4	Gia đình hàm mới ②: luỹ thừa · mũ · lôgarit (+ lãi kép)
A5–A7	Dãy số → giới hạn → đạo hàm
A8–A13	Đạo hàm ra tay: đơn điệu, cực trị, khảo sát → nguyên hàm, tích phân

Ở A1 ta đã có ngôn ngữ hàm số. Hôm nay đón gia đình hàm mới đầu tiên: những hàm biết lặp lại — nền cho đạo hàm, tích phân và cả bốn kì thi.

Hôm nay em sẽ đi qua 4 bước

Lộ trình buổi A2

Góc & đường tròn lượng giác — sin, cos, tan sinh ra từ đâu
Bốn hàm số lượng giác: tập xác định, tuần hoàn, đồ thị hình sóng
Phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x=m,\ \cos x=m,\ \tan x=m\)
Bài toán tuần hoàn thực tế: vòng quay, sóng biển, dao động

…và góc quen thuộc "Một câu hỏi — bốn kì thi": cùng một vòng quay, TN THPT / HSA / TSA / SPT sẽ hỏi em bốn kiểu khác nhau thế nào.

Chuyện chiếc vòng quay mặt trời

Cuối A1 thầy hẹn: có những thứ lặp đi lặp lại mãi — thuỷ triều, ngày–đêm, nhịp tim, bánh xe quay. Hàm bậc hai không kể nổi chúng. Hãy nhìn một cabin trên vòng quay:

Cabin đi tròn đều, nhưng độ cao của nó theo thời gian vẽ nên hình gì?

Đó chính là…

một đường hình sin — sinh ra từ chuyển động tròn. Muốn hiểu nó, ta phải làm quen đường tròn lượng giác trước.

Mười câu "hạt giống" — đường tròn lượng giác

Nhân vật chính hôm nay: đường tròn lượng giác (bán kính 1) và các giá trị đặc biệt. Trả lời nhanh và ghi nhớ — đây là "viên gạch" cho mọi ví dụ sau (bấm → để hiện đáp số):

1	\(\sin\dfrac{\pi}{6}=\,?\)	1/2
2	\(\cos\dfrac{\pi}{3}=\,?\)	1/2
3	\(\sin\dfrac{\pi}{2}=\,?\)	1
4	\(\cos\pi=\,?\)	−1
5	\(\tan\dfrac{\pi}{4}=\,?\)	1

6	Điểm ứng góc \(\dfrac{\pi}{2}\) có toạ độ?	(0; 1)
7	\(\sin(-\alpha)=\,?\)	−sin α
8	\(\cos x=0\) khi \(x=\,?\)	π/2 + kπ
9	Chu kì của \(y=\sin x\)?	2π
10	\(-1\le\sin x\le1\Rightarrow\) GTLN \(\sin x\)?	1

Nhớ kĩ 10 viên gạch này — cả buổi ta chỉ "xây" quanh chúng.

Đường tròn lượng giác — nơi sin, cos ra đời

Sin, cos, tan trên đường tròn lượng giác

Điểm \(M\) trên đường tròn (bán kính 1) ứng với góc \(\alpha\):

cos α = hoành độ của \(M\); sin α = tung độ của \(M\).
\(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\ (\cos\alpha\ne0)\); \(\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\ (\sin\alpha\ne0)\).
Luôn có \(-1\le\sin\alpha\le1,\ -1\le\cos\alpha\le1\) và \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).

Hạt giống (6): góc \(\tfrac{\pi}{2}\) cho \(M(0;1)\) → \(\cos\tfrac{\pi}{2}=0,\ \sin\tfrac{\pi}{2}=1\). Khớp!

Đo góc bằng radian — và độ dài cung

Đổi độ ↔ radian · độ dài cung

Đổi độ sang radian: \(\alpha(\text{rad})=\alpha^\circ\cdot\dfrac{\pi}{180}\); ngược lại \(\alpha^\circ=\alpha(\text{rad})\cdot\dfrac{180}{\pi}\).
Vài mốc: \(180^\circ=\pi\), \(90^\circ=\dfrac{\pi}{2}\), \(60^\circ=\dfrac{\pi}{3}\), \(45^\circ=\dfrac{\pi}{4}\), \(30^\circ=\dfrac{\pi}{6}\).
Độ dài cung bán kính \(R\), số đo \(\alpha\) radian: \(\ell=R\,\alpha\).

Ví dụ 1. Đổi \(72^\circ\) ra radian; tính độ dài cung có số đo \(72^\circ\) trên đường tròn bán kính \(R=5\) cm.

Nhớ: công thức \(\ell=R\alpha\) chỉ đúng khi \(\alpha\) tính bằng radian!

Lời giải. \(72^\circ=72\cdot\dfrac{\pi}{180}=\class{kq}{\dfrac{2\pi}{5}}\ (\text{rad})\); \(\ \ell=R\alpha=5\cdot\dfrac{2\pi}{5}=\class{kq}{2\pi\approx6{,}28\ \text{cm}}\).

Hai bảng "thuộc lòng": giá trị đặc biệt & dấu

Giá trị lượng giác các góc đặc biệt

\(\alpha\)	0	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin\)	0	\(\frac12\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	1
\(\cos\)	1	\(\frac{\sqrt3}{2}\)	\(\frac{\sqrt2}{2}\)	\(\frac12\)	0
\(\tan\)	0	\(\frac{\sqrt3}{3}\)	1	\(\sqrt3\)	‖

Dấu theo góc phần tư

	I	II	III	IV
\(\sin\)	+	+	−	−
\(\cos\)	+	−	−	+
\(\tan\)	+	−	+	−

Mẹo: "Nhất cả — nhị sin — tam tan — tứ cos" (góc phần tư nào thì GTLG đó dương).

Cung liên kết (dùng ngay ở Ví dụ 2): cos đối \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) · sin bù \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\) · phụ chéo \(\sin(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\).

Ví dụ 2 — dùng cung liên kết, khỏi bấm máy

Tính \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\), \(\sin\dfrac{5\pi}{6}\), \(\tan\Bigl(-\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\).

Đưa mỗi góc về góc đặc biệt trong bảng bằng một cung liên kết!

Lời giải. \(\cos\dfrac{2\pi}{3}=\cos\Bigl(\pi-\dfrac{\pi}{3}\Bigr)=-\cos\dfrac{\pi}{3}=\class{kq}{-\dfrac12}\) (góc phần tư II: cos âm).

\(\sin\dfrac{5\pi}{6}=\sin\Bigl(\pi-\dfrac{\pi}{6}\Bigr)=\sin\dfrac{\pi}{6}=\class{kq}{\dfrac12}\) (sin bù).

\(\tan\Bigl(-\dfrac{\pi}{4}\Bigr)=-\tan\dfrac{\pi}{4}=\class{kq}{-1}\) (tan là hàm lẻ — hạt giống (7) đấy!).

Điểm nhanh: kho công thức biến đổi

Công thức cộng & nhân đôi (phải thuộc)

Cộng: \(\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b\); \(\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b\).
Nhân đôi: \(\sin2a=2\sin a\cos a\); \(\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a\).

Chỉ cần biết CÓ chúng — tra khi dùng

Còn hạ bậc \(\bigl(\cos^2a=\tfrac{1+\cos2a}{2}\bigr)\), biến đổi tích ↔ tổng, tổng ↔ tích: dùng nhiều ở câu vận dụng. Buổi hôm nay ta tập trung vào hàm số & phương trình — công thức biến đổi chỉ điểm để em biết đường tra cứu.

Hàm \(y=\sin x\) — đường hình sóng

y = sin x

TXĐ: \(\mathbb{R}\); Tập giá trị: \([-1;1]\).
Hàm lẻ (đối xứng qua \(O\)): \(\sin(-x)=-\sin x\).
Tuần hoàn chu kì \(T=2\pi\): cứ mỗi \(2\pi\), đồ thị lặp lại y hệt.
Đồng biến trên \(\bigl(-\tfrac{\pi}{2}+k2\pi;\tfrac{\pi}{2}+k2\pi\bigr)\), nghịch biến trên phần còn lại.

Hàm \(y=\cos x\) — sóng "khởi hành từ đỉnh"

y = cos x

TXĐ: \(\mathbb{R}\); Tập giá trị: \([-1;1]\); chu kì \(T=2\pi\).
Hàm chẵn (đối xứng qua trục \(Oy\)): \(\cos(-x)=\cos x\).
Đồ thị \(\cos\) = đồ thị \(\sin\) dịch sang trái \(\tfrac{\pi}{2}\) \(\bigl(\cos x=\sin(x+\tfrac{\pi}{2})\bigr)\).

Cùng dải \([-1;1]\), cùng chu kì \(2\pi\) — chỉ khác điểm xuất phát.

Hàm \(y=\tan x\) — nhiều nhánh, có tiệm cận

y = tan x (và y = cot x)

\(\tan x\): TXĐ \(\mathbb{R}\setminus\bigl\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr\}\); \(\cot x\): TXĐ \(\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}\).
Tập giá trị \(\mathbb{R}\); đều là hàm lẻ; chu kì \(T=\pi\) (ngắn hơn sin, cos!).
Tại các điểm bị loại có tiệm cận đứng — đồ thị "chạy" ra vô cực.

Hạt giống (8): \(\cos x=0\) tại \(x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\) — đúng chỗ \(\tan x\) không xác định.

Tìm tập xác định của hàm lượng giác

Ba "lệnh cấm" khi tìm TXĐ hàm LG

Vẫn hai lệnh cấm cũ (mẫu \(\ne0\), trong căn \(\ge0\)) + lệnh cấm mới của lượng giác:

\(\tan u\) có nghĩa \(\Leftrightarrow \cos u\ne0 \Leftrightarrow u\ne\tfrac{\pi}{2}+k\pi\).
\(\cot u\) có nghĩa \(\Leftrightarrow \sin u\ne0 \Leftrightarrow u\ne k\pi\).

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của \(y=\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\).

Chỗ nào khiến hàm "nghẹn"? — mẫu \(\cos x\) bằng 0 (hạt giống (8))!

Lời giải. Điều kiện: \(\cos x\ne0\Leftrightarrow x\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\). Vậy \(D=\class{kq}{\mathbb{R}\setminus\bigl\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\bigr\}}\ (k\in\mathbb{Z})\).

Tuần hoàn, chẵn – lẻ & giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

Chu kì hàm mở rộng & cách tìm GTLN–GTNN

Chu kì: \(y=A\sin\omega x,\ y=A\cos\omega x\) có \(T=\dfrac{2\pi}{|\omega|}\); \(y=A\tan\omega x\) có \(T=\dfrac{\pi}{|\omega|}\).
GTLN–GTNN: chặn bằng \(-1\le\sin u,\cos u\le1\) rồi suy ra hai đầu.

Ví dụ 4. Tìm chu kì của \(y=\sin3x\) và tập giá trị của \(y=2030-4\cos x\).

Với \(y=2030-4\cos x\): \(\cos x\) chạy trong đoạn nào, kéo \(-4\cos x\) đi đâu?

Lời giải. \(y=\sin3x\) có \(T=\dfrac{2\pi}{3}\).

Vì \(-1\le\cos x\le1\Rightarrow -4\le-4\cos x\le4\Rightarrow 2026\le y\le2034\). Tập giá trị \(\class{kq}{[2026;2034]}\): GTNN \(2026\) (khi \(\cos x=1\)), GTLN \(2034\) (khi \(\cos x=-1\)).

Ví dụ 5 — trở lại chiếc vòng quay: sóng biển

Chiều cao mặt nước tại một cầu cảng dao động tuần hoàn theo sóng: \(h(t)=75\sin\dfrac{\pi t}{8}\) (cm), với \(t\) tính bằng giây.

Sóng cao nhất bao nhiêu, và bao lâu sóng lặp lại một chu kì?

Lời giải. Vì \(-1\le\sin\dfrac{\pi t}{8}\le1\Rightarrow -75\le h\le75\): độ cao lớn nhất \(\class{kq}{75}\) cm.

Chu kì \(T=\dfrac{2\pi}{\pi/8}=\class{kq}{16}\) giây — cứ 16 giây con sóng lại lặp lại y hệt.

Bài học

Mọi hiện tượng "lên xuống đều đặn" — sóng, thuỷ triều, li độ dao động, độ cao cabin vòng quay — đều mặc chung một chiếc áo \(y=A\sin(\omega t)+B\). Biên độ \(A\), chu kì \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}\).

Phương trình \(\sin x=m\) — đọc trên đường tròn

Nghiệm của sin x = m

Nếu \(|m|>1\): vô nghiệm (đường thẳng không cắt đường tròn).
Nếu \(|m|\le1\), gọi \(\alpha\) với \(\sin\alpha=m\): \[\sin x=m\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}x&=\alpha+k2\pi\\ x&=\pi-\alpha+k2\pi\end{aligned}\right.\]
Đặc biệt: \(\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi\); \(\ \sin x=1\Leftrightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+k2\pi\); \(\ \sin x=-1\Leftrightarrow x=-\tfrac{\pi}{2}+k2\pi\).

Ví dụ 6 — giải \(\sin x=\dfrac12\)

Góc đặc biệt nào có sin bằng \(\tfrac12\)? (hạt giống (1)!)

Lời giải. Vì \(\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12\), ta có \(\sin x=\dfrac12\Leftrightarrow\sin x=\sin\dfrac{\pi}{6}\).

\[\Leftrightarrow\left[\begin{aligned}x&=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\[2pt] x&=\pi-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{aligned}\right.\quad(k\in\mathbb{Z}).\]

Chú ý

Sai lầm kinh điển: chỉ ghi một họ nghiệm \(x=\tfrac{\pi}{6}+k2\pi\) rồi quên họ \(\pi-\alpha\). Nhìn hình: đường thẳng \(y=m\) cắt đường tròn ở hai điểm ⟹ hai họ nghiệm.

Phương trình \(\cos x=m\) và \(\tan x=m\)

Ba công thức nghiệm phải nhớ

\(\cos x=m\) (\(|m|\le1\), \(\cos\alpha=m\)): \(\;x=\pm\alpha+k2\pi\). Đặc biệt \(\cos x=0\Leftrightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi\); \(\cos x=1\Leftrightarrow x=k2\pi\); \(\cos x=-1\Leftrightarrow x=\pi+k2\pi\).
\(\tan x=m\) (mọi \(m\), \(\tan\alpha=m\)): \(\;x=\alpha+k\pi\) (chu kì \(\pi\) nên chỉ một họ!).
\(\cot x=m\) (mọi \(m\)): \(\;x=\alpha+k\pi\).

Ví dụ 7. Giải \(2\cos x=\sqrt3\).

Lời giải. \(\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}=\cos\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow x=\class{kq}{\pm\dfrac{\pi}{6}+k2\pi}\ (k\in\mathbb{Z})\).

Với cos, hai họ nghiệm gộp gọn thành \(\pm\alpha\); với tan chỉ một họ — đừng nhầm số họ nghiệm giữa các loại!

Ví dụ 8 — dao động điều hoà: khi nào về vị trí cân bằng?

Một vật dao động điều hoà có li độ \(x=1{,}5\cos\dfrac{\pi t}{4}\) (m), \(t\) tính bằng giây. Vật ở vị trí cân bằng khi li độ \(x=0\). Tìm các thời điểm đó.

\(x=0\) dẫn tới phương trình cơ bản nào?

Lời giải. \(x=0\Leftrightarrow\cos\dfrac{\pi t}{4}=0\Leftrightarrow\dfrac{\pi t}{4}=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\).

\(\Leftrightarrow t=2+4k\ (k\in\mathbb{Z})\); vì \(t\ge0\): \(t=2;\,6;\,10;\,14;\dots\) giây.

Chú ý

Bài thực tế luôn kèm điều kiện của biến (\(t\ge0\)) → phải loại nghiệm âm và, nếu đề giới hạn thời gian, chỉ giữ các \(k\) hợp lệ. Đây đúng là tinh thần "đặt biến có điều kiện" từ A1.

Một câu hỏi — bốn kì thi ① TN THPT

Chiếc vòng quay trở lại

Vòng quay có tâm cao 50 m, bán kính 40 m, quay đều 1 vòng trong 20 phút; xuất phát từ vị trí thấp nhất. Độ cao cabin sau \(t\) phút: \(h(t)=50-40\cos\dfrac{\pi t}{10}\) (m). Cùng mô hình ấy, bốn kì thi "mặc áo" khác nhau.

Áo TN THPT — câu Đúng/Sai 4 ý

a) Lúc \(t=0\), cabin ở vị trí thấp nhất, cách đất \(10\) m. Đ — \(h(0)=50-40=10\).
b) Độ cao lớn nhất của cabin là \(90\) m. Đ — \(h_{\max}=50+40=90\) (khi \(\cos=-1\)).
c) Sau đúng \(10\) phút, cabin trở lại vị trí thấp nhất. S — \(h(10)=50-40\cos\pi=90\): đó là cao nhất; phải sau \(20\) phút (một chu kì) mới về thấp nhất.
d) Lần đầu cabin cao \(70\) m ở phút thứ \(\tfrac{20}{3}\) (≈ 6 phút 40 giây). Đ — \(\cos\tfrac{\pi t}{10}=-\tfrac12\Rightarrow t=\tfrac{20}{3}\).

Chấm lũy tiến: đúng 1 ý — 0,1đ · 2 ý — 0,25đ · 3 ý — 0,5đ · cả 4 ý — 1đ. Các ý "có con số" như c), d) phải tính lại, đừng đoán!

Một câu hỏi — bốn kì thi ② HSA và TSA — thử ngay tại chỗ!

Áo HSA — câu điền đáp án (nhịp ~90 giây/câu): em gõ thử!

"…Chu kì quay của cabin là phút; cabin cao 70 m lần đầu ở phút thứ (làm tròn 2 chữ số thập phân)."
Không có 4 phương án để loại trừ — phải tự tính. Đáp số lẻ thì làm tròn đúng yêu cầu của đề và dùng dấu phẩy (6,67) — gõ lệch một chữ số là mất trọn điểm.

Áo TSA — câu kéo thả (chấm all-or-nothing): em kéo thử!

Lập mô hình độ cao (kéo thẻ vào ô — hoặc chạm thẻ rồi chạm ô trên điện thoại):
\(h(t)=\) \(\;-\;\) \(\cos\bigl(\) \(\cdot\,t\bigr)\)
Kho thẻ: 50 40 10 π/10 π/20 π/5 — có thẻ nhiễu!

Luật TSA: đúng 2/3 ô vẫn 0 điểm — tâm cao 50, bán kính 40, \(\omega=\tfrac{2\pi}{20}=\tfrac{\pi}{10}\).

Một câu hỏi — bốn kì thi ③ SPT — tự luận viết tay

Yêu cầu: tìm thời điểm đầu tiên cabin cao 70 m, trình bày trên giấy — giám khảo chấm từng bước theo barem (mỗi câu tự luận SPT ≈ 1,0đ):

Bước	Nội dung phải có trên giấy	Điểm
①	Lập phương trình: \(50-40\cos\dfrac{\pi t}{10}=70\Leftrightarrow\cos\dfrac{\pi t}{10}=-\dfrac12\)	0,25
②	Giải cơ bản: \(\dfrac{\pi t}{10}=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z})\)	0,25
③	\(t=\pm\dfrac{20}{3}+20k\); kèm điều kiện \(t>0\), chọn nghiệm nhỏ nhất \(\Rightarrow t=\dfrac{20}{3}\)	0,25
④	Kết luận: lần đầu tại \(t=\dfrac{20}{3}\) phút \(\approx6\) phút \(40\) giây — đủ đơn vị	0,25

Ba lỗi mất điểm kinh điển

chỉ lấy dấu \(+\dfrac{2\pi}{3}\), quên nhánh \(-\) (②) · quên chọn nghiệm nhỏ nhất dương vì đề hỏi "lần đầu" (③) · thiếu đơn vị/đổi ra phút–giây (④).

Thông điệp

Một lõi kiến thức — nhiều template. Vẫn một chiếc vòng quay: TN hỏi Đ/S, HSA điền số, TSA kéo thả, SPT bắt trình bày. Học chắc bản chất một lần là ăn cả bốn kì.

Luyện tập — Bài 1, 2, 3

Bài 1. (*) Đổi \(72^\circ\) và \(-135^\circ\) ra radian.

Đáp số: \(72^\circ=\dfrac{2\pi}{5}\); \(\ -135^\circ=\class{kq}{-\dfrac{3\pi}{4}}\).

Bài 2. (*) Tính \(\sin\dfrac{2\pi}{3}+\cos\pi\).

Đáp số: \(\dfrac{\sqrt3}{2}+(-1)=\class{kq}{\dfrac{\sqrt3}{2}-1}\).

Bài 3. (*) Tìm chu kì của hàm số \(y=\cos\dfrac{x}{2}\).

Đáp số: \(T=\dfrac{2\pi}{1/2}=\class{kq}{4\pi}\).

Luyện tập — Bài 4, 5, 6

Bài 4. (**) Tìm tập xác định của \(y=\tan\Bigl(x+\dfrac{\pi}{4}\Bigr)\).

Đáp số: \(x+\dfrac{\pi}{4}\ne\dfrac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x\ne\class{kq}{\dfrac{\pi}{4}+k\pi}\).

Bài 5. (**) Tìm GTLN–GTNN của \(y=3\sin x-4\cos x\). (Gợi ý: \(|a\sin x+b\cos x|\le\sqrt{a^2+b^2}\).)

Đáp số: \(\sqrt{3^2+4^2}=5\Rightarrow -5\le y\le5\): \(\max=\class{kq}{5}\), \(\min=\class{kq}{-5}\).

Bài 6. (**) Giải phương trình \(\cos2x=-\dfrac12\).

Đáp số: \(2x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\Rightarrow x=\class{kq}{\pm\dfrac{\pi}{3}+k\pi}\).

Luyện tập — Bài 7, 8, 9 (thách thức)

Bài 7. (***) Tìm GTLN–GTNN của \(y=\sin^2x+4\sin x-1\). (Đặt \(t=\sin x\in[-1;1]\).)

Đáp số: \(f(t)=t^2+4t-1\) đồng biến trên \([-1;1]\): \(\min=f(-1)=\class{kq}{-4}\), \(\max=f(1)=\class{kq}{4}\).

Bài 8. (***) Sóng ở cầu cảng: \(h(t)=75\sin\dfrac{\pi t}{8}\) (cm). Sau bao lâu (lần đầu) mặt nước đạt độ cao \(75\) cm?

Đáp số: \(\sin\dfrac{\pi t}{8}=1\Rightarrow\dfrac{\pi t}{8}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=\class{kq}{4}\) giây.

Bài 9. (***) Tìm tất cả giá trị \(m\) để phương trình \(\sin x=m-1\) có nghiệm.

Đáp số: cần \(-1\le m-1\le1\Rightarrow\class{kq}{0\le m\le2}\).

Ba điều phải nhớ

Đường tròn lượng giác: \(\cos=\) hoành độ, \(\sin=\) tung độ; thuộc bảng giá trị đặc biệt + cung liên kết; đổi độ ra radian nhân \(\dfrac{\pi}{180}\), độ dài cung \(\ell=R\alpha\).
Bốn hàm lượng giác: \(\sin,\cos\) có TXĐ \(\mathbb{R}\), TGT \([-1;1]\), chu kì \(2\pi\) (\(\cos\) chẵn, \(\sin\) lẻ); \(\tan,\cot\) chu kì \(\pi\), bỏ các điểm tiệm cận. Đồ thị hình sóng.
PT lượng giác cơ bản: \(\sin x=m,\cos x=m\) cần \(|m|\le1\); \(\sin x=m\Rightarrow x=\alpha+k2\pi\) hoặc \(\pi-\alpha+k2\pi\); \(\cos x=m\Rightarrow x=\pm\alpha+k2\pi\); \(\tan x=m\Rightarrow x=\alpha+k\pi\) (mọi \(m\)).

Dặn dò và hẹn gặp lại

Dặn dò

Làm lại các ví dụ không nhìn lời giải; thuộc bảng giá trị đặc biệt và 3 công thức nghiệm.
Phiếu tự luận A2: trình bày từng bước như lời giải mẫu — đúng cách chấm của kì thi SPT.
Quiz web mỗi ngày 10–20 phút trên điện thoại (link gửi kèm) — đúng nhịp thi máy HSA/TSA.

Sóng, thuỷ triều, cabin — thứ gì cũng quay về chốn cũ.
Nhưng có những thứ tăng mãi không quay lại: dân số, tiền lãi kép, chất phóng xạ phân rã…
Cần một gia đình hàm mới ② biết LỚN LÊN theo cấp số nhân: luỹ thừa – mũ – lôgarit — hẹn em ở A3!