Ôn tập Tiểu học Nâng cao — Hành trang vào lớp 6
Bấm phím mũi tên → (hoặc chạm mép phải màn hình) để xem từng bước, giống như trên lớp.
| Buổi 1 | Bốn phép toán: Cộng — Trừ — Nhân — Chia |
| Buổi 2 | Kĩ thuật đếm và Xác suất |
| Buổi 3 | Phân số: Tỉ số — Tỉ lệ — Tư duy đại số |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
| Phép toán | Ý nghĩa | Thành phần | Phép thử lại |
|---|---|---|---|
| Cộng \(a+b\) | gộp vào | số hạng, tổng | tổng trừ một số hạng |
| Trừ \(a-b\) | bớt đi | số bị trừ, số trừ, hiệu | hiệu + số trừ |
| Nhân \(a\times b\) | cộng lặp lại | thừa số, tích | tích chia một thừa số |
| Chia \(a:b\) | chia đều | số bị chia, số chia, thương | thương × số chia |
Trừ là phép ngược của cộng — Chia là phép ngược của nhân
Tính nhẩm nhanh và ghi nhớ — đây là "viên gạch" cho phần sau:
Mẹ mua 3 kg gạo giá 25 nghìn/kg và 2 chai nước mắm giá 48 nghìn/chai, đưa cô bán hàng 200 nghìn.
Cô bán hàng trả lại bao nhiêu?
Tiền gạo: \(3\times25\) — tiền nước mắm: \(2\times48\)
\[200-(3\times25+2\times48)\]
Luỹ thừa là gì? — chỉ là phép nhân lặp lại: \[2^3=2\times2\times2=8,\qquad 5^2=25,\qquad 10^3=1000.\] (số nhỏ bên trên đếm xem có mấy thừa số — em sẽ học kĩ ở lớp 6)
\[37+63-25\times4:(210:7)\]
Tính gì trước tiên?
Lời giải. Trong ngoặc trước: \(210:7=30\).
Nhân chia cùng bậc, đi từ trái sang phải: \(25\times4=100\), rồi \(100:30=\dfrac{100}{30}=\dfrac{10}{3}\).
Phép chia không chia hết thì kết quả là phân số — cứ mạnh dạn viết tiếp!
\[37+63-\frac{10}{3}=100-\frac{10}{3}=\frac{300-10}{3}=\class{kq}{\frac{290}{3}}\]
\[205-87+15\times6:(96:12)\]
Em tự làm trước 1 phút nhé!
Lời giải. Trong ngoặc: \(96:12=8\).
Nhân chia từ trái sang phải: \(15\times6=90\), \(90:8=\dfrac{90}{8}=\dfrac{45}{4}\).
\[205-87+\frac{45}{4}=118+\frac{45}{4}=\frac{472+45}{4}=\class{kq}{\frac{517}{4}}\]
\[\bigl[1000-(300-175)\times4\bigr]:125\]
Ngoặc nào tính trước: tròn hay vuông?
Lời giải. Ngoặc tròn trước: \(300-175=125\).
Rồi \(125\times4=500\); ngoặc vuông: \(1000-500=500\).
\[500:125=\class{kq}{4}\]
Gạch ngang vừa là phép chia, vừa thay cho cả một cặp ngoặc
ở tử số và ở mẫu số.
Nếu tử số và mẫu số cũng là phân số thì sao? — Ta được phân số nhiều tầng.
Tính \(A=\dfrac{\ \dfrac{37+63}{25\times4}\ }{\ \dfrac{720:8}{15\times6}\ }\) (ghép từ hạt giống (1), (3), (4), (9)).
Lời giải. Tử: \(\dfrac{100}{100}=1\). — Mẫu: \(\dfrac{90}{90}=1\). Vậy \(A=\dfrac11=\class{kq}{1}\).
Biểu thức trông "khổng lồ" mà ruột nhẹ tênh — đừng sợ hình thức!
\[B=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2}}}\]
Bắt đầu gỡ từ tầng nào?
Lời giải. Đi từ tầng hầm lên: \(1+\dfrac12=\dfrac32\).
Tầng giữa: \(1+\dfrac{1}{3/2}=1+\dfrac23=\dfrac53\).
Tầng trên cùng: \(B=1+\dfrac{1}{5/3}=1+\dfrac35=\class{kq}{\dfrac85}\).
| KT1 | Nhóm cặp "đẹp đôi" |
| KT2 | Một số nhân một tổng/hiệu |
| KT3 | Tổng dãy cách đều (cách của Gauss) |
| KT4 | "Sập cầu" |
| KT5 | Nhân đôi rồi trừ |
\[2\times31\times12\times25\times125\]
Số 125 đang "khát" bạn nào? Số 25 "khát" bạn nào?
Lời giải. \(125\) khát bạn \(8\), \(25\) khát bạn \(4\) — ta xé các thừa số sẵn có: \(2\times12=24=8\times3\).
\[2\times31\times12\times25\times125=(8\times125)\times(3\times25)\times31\]
\[=1000\times75\times31=\class{kq}{2\,325\,000}\]
Dùng xuôi để phá ngoặc — dùng ngược để "đặt thừa số chung ra ngoài".
a) \(37\times99\)
99 gần số tròn nào?
Lời giải. \(37\times99=37\times(100-1)=3700-37=\class{kq}{3663}\)
b) \(45\times11+45\times88+45\)
Thừa số chung là ai? Số 45 lẻ loi cuối cùng viết thành gì?
Lời giải. \(45\times11+45\times88+45\times1=45\times(11+88+1)=45\times100=\class{kq}{4500}\)
\[A=\frac{2021\times2020-1}{2019\times2021+2020}\]
Đừng nhân! Thử tách \(2021=2020+1\) xem sao…
Lời giải. Tử: \(2021\times2020-1=(2020+1)\times2020-1=2020\times2020+2020-1=2020\times2020+2019\).
Mẫu: \(2019\times2021+2020=2019\times(2020+1)+2020=2019\times2020+2019+2020\) \(=(2019+1)\times2020+2019=2020\times2020+2019\).
Tử và mẫu bằng hệt nhau! Vậy \(A=\class{kq}{1}\) — không cần nhân con số khổng lồ nào cả.
\[S=2+5+8+\cdots+2027\]
Khoảng cách giữa hai số liền nhau là bao nhiêu? Có mấy số hạng?
Lời giải. Số số hạng: \((2027-2):3+1=676\).
\[S=\frac{(2+2027)\times676}{2}=2029\times338=\class{kq}{685\,802}\]
Khi cộng lại, các nhịp giữa tự triệt tiêu,
chỉ còn nhịp đầu và nhịp cuối!
Kiểm tra thử: \(\dfrac12-\dfrac13=\dfrac{3-2}{6}=\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2\times3}\) ✓
\[C=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+\cdots+\frac{1}{99\times100}\]
Lời giải. \[C=\Bigl(1-\frac12\Bigr)+\Bigl(\frac12-\frac13\Bigr)+\cdots+\Bigl(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\Bigr)\]
Các nhịp giữa triệt tiêu hết: \[C=1-\frac{1}{100}=\class{kq}{\frac{99}{100}}\]
\[D=\frac{3}{2\times5}+\frac{3}{5\times8}+\cdots+\frac{3}{98\times101}\]
Mỗi phân số có dạng nào? Tách ra sao?
Lời giải. Mỗi phân số có dạng \(\dfrac{3}{n(n+3)}=\dfrac1n-\dfrac{1}{n+3}\):
\[D=\frac12-\frac15+\frac15-\frac18+\cdots+\frac{1}{98}-\frac{1}{101}\]
\[D=\frac12-\frac{1}{101}=\class{kq}{\frac{99}{202}}\]
Muốn tính \(A=1+2+2^2+\cdots+2^{10}\)?
Kĩ thuật này dùng cho mọi tổng mà các số hạng gấp nhau một số lần cố định.
\[E=\frac12+\frac14+\frac18+\cdots+\frac{1}{1024}\]
Các số hạng gấp nhau mấy lần? Vậy nhân \(E\) với mấy?
Lời giải. Nhân 2: \(2E=1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac{1}{512}\).
Trừ: \(2E-E=1-\dfrac{1}{1024}\), vậy \(E=\class{kq}{\dfrac{1023}{1024}}\).
Bài 1. (*) Tính giá trị biểu thức (chú ý thứ tự phép tính):
a) \(175-25\times4+720:8\); b) \(\bigl[205-(48+52)\bigr]\times6-210:7\).
Đáp số: a) 165; b) 600.
Bài 2. (*) Tính nhanh:
a) \(4\times37\times25\); b) \(8\times9\times125\); c) \(2\times3\times4\times5\times25\times125\).
Đáp số: a) 3700; b) 9000; c) 375 000.
Bài 3. (*) Tính nhanh:
a) \(99\times54+54\); b) \(2026\times43-43\times1026\); c) \(37\times101-37\).
Đáp số: a) 5400; b) 43 000; c) 3700.
Bài 4. (**) Tính nhanh \(A=1+3+5+7+\cdots+2025\) (tổng các số lẻ liên tiếp).
Đáp số: 1013 số hạng, \(A=1013^2=\class{kq}{1\,026\,169}\).
Bài 5. (**) Tính \(B=\dfrac{1}{1\times2}+\dfrac{1}{2\times3}+\cdots+\dfrac{1}{2025\times2026}\).
Đáp số: \(B=1-\dfrac{1}{2026}=\class{kq}{\dfrac{2025}{2026}}\).
Bài 6. (**) Tính phân số nhiều tầng: \(C=\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3}}}\).
Đáp số: \(C=2:\dfrac74=\class{kq}{\dfrac87}\).
Bài 7. (**) Tính nhanh
\(D=\dfrac{2026\times2025-2024}{2026+2025\times2024}\).
(Gợi ý: viết \(2026=2024+2\) ở tử, hoặc biến đổi cả tử lẫn mẫu về cùng một tích.)
Đáp số: tử và mẫu cùng bằng \(2025\times2024+2026\), vậy \(D=\class{kq}{1}\).
Bài 8. (**) (Kiểu Gauss) Rạp hát xếp ghế: hàng thứ nhất 12 ghế, mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế, hàng cuối có 60 ghế. Hỏi rạp có bao nhiêu ghế?
Đáp số: 25 hàng, tổng \(\dfrac{(12+60)\times25}{2}=\class{kq}{900}\) ghế.
Bài 9. (***) (Mức lớp 7) Tính \(E=\dfrac{5}{1\times6}+\dfrac{5}{6\times11}+\dfrac{5}{11\times16}+\cdots+\dfrac{5}{2021\times2026}\).
Đáp số: \(E=1-\dfrac{1}{2026}=\class{kq}{\dfrac{2025}{2026}}\).
Bài 10. (***) (Mức lớp 7) Tính \(F=1+5+5^2+5^3+\cdots+5^8\).
(Gợi ý: tính \(5F\) rồi lấy \(5F-F\).)
Đáp số: \(F=\dfrac{5^9-1}{4}=\class{kq}{488\,281}\).
Bài 11. (***) So sánh \[M=\frac{100^{2026}+1}{100^{2027}+1}\qquad\text{và}\qquad N=\frac{100^{2025}+1}{100^{2026}+1}.\] (Gợi ý: nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với 100 rồi so phần "dư ra".)
Đáp số: \(100M=1+\dfrac{99}{100^{2027}+1}<100N=1+\dfrac{99}{100^{2026}+1}\), vậy \(M<N\).
Buổi sau: dùng chính kĩ năng "tính nhanh" hôm nay để ĐẾM NHANH
Em sẽ bất ngờ vì đếm cũng cần kĩ thuật đấy!