Hành trình ba buổi học

Từ "tính nhanh" đến "đếm nhanh"

Trước khi tính, ta thường phải đếm:

• đếm số cách chọn trang phục buổi sáng,
• đếm số đường đi đến trường,
• đếm số trận đấu của một giải bóng đá,
• đếm số mật khẩu có thể có của một chiếc điện thoại…

Lộ trình hôm nay: leo một chiếc thang

Quy tắc cộng → Quy tắc nhân → Hoán vị
→ Chỉnh hợp → Tổ hợp → Bài toán chia kẹo

Khởi động 1 — đàn chim trên bầu trời

Đàn chim bay xếp thành hình tam giác: hàng 1 có 1 con, hàng 2 có 2 con, …, hàng 8 có 8 con. Đàn chim có bao nhiêu con?

Chim đang bay — đếm từng con liệu có nổi không?

Đàn chim có cấu trúc: mỗi hàng hơn hàng trên đúng 1 con.

Khởi động 1 (tiếp) — từ thực tế đến phép tính

Bước 1 — Mô hình hoá: cấu trúc "mỗi hàng hơn hàng trên 1 con" cho ta viết ngay biểu thức:

\[\text{số chim} = 1+2+3+4+5+6+7+8.\]

Bước 2 — Tính toán thuần số bằng ghép cặp của Gauss (buổi 1):

\[(1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5) = 9\times4 = \class{kq}{36} \text{ con},\]

hay viết gọn: \((1+8)\times8:2 = 36\).

Khởi động 2 — lát gạch sàn nhà

Phòng hình chữ nhật dài 5 m, rộng 4 m, lát kín bằng gạch vuông cạnh 50 cm. Cần bao nhiêu viên gạch?

Sàn còn chưa lát — chưa có viên nào để đếm! Đếm trước khi nhìn thấy, bằng cách nào?

Lời giải. Cách 1 (hàng–cột): \(5:0{,}5 = 10\) viên mỗi hàng, \(4:0{,}5 = 8\) hàng ⇒ \(10\times8 = \class{kq}{80}\) viên.

Cách 2 (chia diện tích): \(20\,\text{m}^2 : 0{,}25\,\text{m}^2 = \class{kq}{80}\) viên.

Khởi động 3 — trồng cây bên đường

Trồng cây dọc đường dài 100 m, hai cây cách nhau 5 m, trồng cả hai đầu. Trồng được bao nhiêu cây?

\(100:5 = 20\) — vậy đáp số là 20 cây phải không?

●—●—●—●  (4 cây nhưng chỉ 3 khoảng!)

Lời giải. Cái dễ đếm là khoảng cách: \(100:5 = 20\) khoảng. Trồng cả hai đầu nên số cây nhiều hơn số khoảng 1: \(20+1 = \class{kq}{21}\) cây.

"Đếm nhanh" nghĩa là gì?

Hai quy tắc nền móng

"Hoặc" thì cộng — "rồi" thì nhân

Ví dụ 1 — phối đồ của Amy (TIMO Khối 4)

Amy có 4 chiếc áo khác nhau, 3 chân váy khác nhau và 2 đôi giày khác nhau. Hỏi cô bé có thể phối được bao nhiêu bộ đồ khác nhau?

Thử liệt kê: riêng chiếc áo 1 ghép được những bộ nào?

Áo 2, áo 3, áo 4 cũng vậy — em thấy quy luật chưa?

Ví dụ 1 (tiếp) — từ sơ đồ hình cây đến quy tắc nhân

Sơ đồ hình cây cho thấy quy luật:

• áo 1: có 3 cách chọn váy, mỗi váy lại có 2 cách chọn giày ⇒ riêng áo 1 cho \(3\times2=6\) bộ;
• áo 2, áo 3, áo 4 cũng y như vậy — mỗi chiếc cho 6 bộ.

Lời giải. Chọn áo có 4 cách, chọn váy có 3 cách, chọn giày có 2 cách — ba giai đoạn nối tiếp ("rồi"):

\[4\times3\times2 = \class{kq}{24} \text{ bộ đồ}.\]

Ví dụ 2 — số không chứa chữ số 4 (TIMO Khối 4)

Có bao nhiêu số có hai chữ số không chứa chữ số 4?

Thử liệt kê theo hàng chục xem có quy luật gì?

Lời giải. Có 8 hàng (chục 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9), mỗi hàng 9 số. Nói theo quy tắc nhân: hàng chục 8 cách (khác 0, khác 4), rồi hàng đơn vị 9 cách (khác 4): \(8\times9=\class{kq}{72}\) số.

Bài toán giao thông: trường nên mở mấy cổng?

Trường THCS mới xây nằm giữa hai khu dân cư (mỗi nét là một con đường khác nhau):

Khu Xuân Hoà đi qua Ngã tư Chợ, khu Thanh Bình đi qua Ngã ba Công viên.

Ví dụ 3 — bạn khu Xuân Hoà đến trường

Một bạn ở khu Xuân Hoà đi đến trường (qua Chợ). Hỏi bạn ấy có bao nhiêu cách chọn đường đi?

Nhà → Chợ có 3 đường, Chợ → trường có 2 đường. "Hoặc" hay "rồi"?

Lời giải. Hai giai đoạn nối tiếp: nhà → Chợ có 3 cách, rồi Chợ → trường có 2 cách.

Theo quy tắc nhân: \(3\times2 = \class{kq}{6}\) cách.

Ví dụ 4 — cả hai khu thì sao?

Một bạn ở khu Thanh Bình đến trường (qua Công viên) có bao nhiêu cách? Từ đó tính: một bạn bất kì (ở một trong hai khu) đến trường có bao nhiêu lộ trình?

Lời giải. Khu Thanh Bình: \(2\times3=6\) cách.

Một học sinh hoặc thuộc khu Xuân Hoà hoặc thuộc khu Thanh Bình — hai phương án rời nhau, theo quy tắc cộng:

\[6+6=\class{kq}{12} \text{ lộ trình khác nhau dẫn về trường}.\]

Từ phép đếm đến quyết định thực tế

Toán đếm không chỉ để làm bài thi — nó giúp thành phố
quyết định mở đường, đặt cổng, phân làn giao thông!

Ví dụ 5 — (Thử thách) xây thêm một con đường

Nếu xây thêm một con đường nối thẳng Chợ — Công viên, thì một bạn khu Xuân Hoà có thêm những lộ trình nào đến trường (không đi qua nơi nào hai lần)?

Lộ trình mới đi qua những đâu?

Lời giải. Lộ trình mới: nhà → Chợ (3 cách) → Công viên (1 cách) → trường (3 cách): thêm \(3\times1\times3 = 9\) lộ trình mới.

Tổng cộng bạn ấy có \(6+9=\class{kq}{15}\) cách — chỉ một con đường mới mà số lựa chọn tăng hơn gấp đôi!

Ví dụ 6 — bài toán mở đường (TIMO Khối 5)

Có bao nhiêu cách sắp xếp 4 học sinh thành một hàng ngang?

Xếp từng ghế một: ghế thứ nhất chọn được mấy bạn?

• Lời giải. Ghế thứ nhất: chọn được 4 bạn;
• ghế thứ hai: chỉ còn 3 bạn;
• ghế thứ ba: còn 2; — ghế cuối: còn đúng 1 bạn.

\[4\times3\times2\times1 = \class{kq}{24} \text{ cách}.\]

Giai thừa — cách viết tắt của tích "đếm ngược"

Ví dụ 7 — lớp trưởng, lớp phó, thư kí

Lớp có 30 học sinh. Cần chọn một bạn lớp trưởng, một bạn lớp phó và một bạn thư kí (mỗi bạn một chức). Hỏi có bao nhiêu cách?

Vẫn là "xếp từng ghế": ghế lớp trưởng có mấy cách?

Lời giải. Ghế lớp trưởng: 30 cách, xong rồi ghế lớp phó còn 29 cách, ghế thư kí còn 28 cách:

\[30\times29\times28 = \class{kq}{24\,360} \text{ cách}.\]

Kiểu đếm "chọn một số bạn và giao mỗi bạn một vai riêng" lên cấp ba gọi là chỉnh hợp — nhưng chẳng cần công thức nào ngoài quy tắc nhân!

Ví dụ 8 — chọn 3 bạn trực nhật

Vẫn lớp 30 học sinh ấy, chọn 3 bạn đi trực nhật (vai trò như nhau). Hỏi có bao nhiêu cách?

Giống hệt bài trên… hay có gì khác?

Lời giải. Khác một điểm "chết người": trực nhật không có chức vụ. Nhóm "An, Bình, Chi" hay "Chi, An, Bình" cũng chỉ là một nhóm!

Trong con số \(24\,360\), mỗi nhóm 3 bạn bị đếm đi đếm lại \(3! = 6\) lần — ta chia cho số lần đếm trùng: \[\frac{30\times29\times28}{6} = \frac{24\,360}{6} = \class{kq}{4060} \text{ cách}.\]

Kiểu đếm "chọn ra một nhóm, không phân vai" gọi là tổ hợp.

Bí kíp bỏ túi: chọn \(k\) bạn từ \(n\) bạn

Ở cấp 3 hai kết quả này kí hiệu là \(A_n^k\) và \(C_n^k\) — bây giờ em chỉ cần nhớ cách đếm, kí hiệu sẽ tự đến sau.

Ví dụ 9 — nhóm nghiên cứu (TIMO Khối 5, chung kết)

Một lớp có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Chọn 3 bạn nam và 2 bạn nữ lập nhóm nghiên cứu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Chọn nhóm nam: có phân vai không? Rồi ghép với nhóm nữ bằng quy tắc nào?

Lời giải. Chọn nhóm nam (không phân vai): \(\dfrac{12\times11\times10}{3!} = \dfrac{1320}{6}=220\) cách.

Chọn nhóm nữ: \(\dfrac{8\times7}{2!} = 28\) cách.

Chọn nam rồi chọn nữ — quy tắc nhân: \(220\times28 = \class{kq}{6160}\) cách.

Ví dụ 10 — Bài toán chia kẹo: đỉnh núi của buổi học

Cô giáo có 10 chiếc kẹo giống hệt nhau, chia cho 3 bạn An, Bình, Chi sao cho bạn nào cũng có ít nhất 1 chiếc. Hỏi có bao nhiêu cách chia?

Liệt kê thì cả buổi chưa xong… thử xếp kẹo thành hàng xem!

Lời giải. Xếp 10 chiếc kẹo thành hàng: giữa chúng có 9 khe hở. Đặt 2 vách ngăn vào 2 khe khác nhau là chia xong:

\[ \underbrace{\circ\ \circ\ \circ}_{\text{An}}\ \big|\ \underbrace{\circ\ \circ}_{\text{Bình}}\ \big|\ \underbrace{\circ\ \circ\ \circ\ \circ\ \circ}_{\text{Chi}} \]

Ví dụ 10 (tiếp) — đếm số cách đặt vách ngăn

Mỗi cách chia ⟷ một cách chọn 2 khe (trong 9 khe) để đặt vách ngăn.

Chọn 2 khe: có cần thứ tự không?

Lời giải. Chọn 2 khe trong 9 khe — chọn nhóm, không cần thứ tự: \[C_9^2 = \frac{9\times8}{2} = \class{kq}{36} \text{ cách chia}.\]

Ví dụ 11 — (Mức lớp 9 NC) cho phép có bạn không được kẹo

Cũng 10 chiếc kẹo chia cho 3 bạn, nhưng cho phép có bạn không được chiếc nào. Hỏi có bao nhiêu cách?

Làm sao đưa về bài toán vừa giải?

Lời giải. Mẹo: cô "mượn" thêm 3 chiếc kẹo, phát cho mỗi bạn trước 1 chiếc rồi thu lại sau.

Bài toán trở thành chia \(10+3=13\) chiếc kẹo sao cho ai cũng có ít nhất 1 chiếc: \[C_{12}^{2} = \frac{12\times11}{2}=\class{kq}{66} \text{ cách}.\]

Vì sao phải học xác suất?

Rất nhiều chuyện trong cuộc sống không thể biết trước kết quả:

• ngày mai có mưa không? — có nên mang ô đi học?
• gieo xúc xắc sẽ ra mấy chấm? — trò chơi này có công bằng không?
• mua vé xổ số có trúng không? — có đáng bỏ tiền ra mua?

Xác suất của biến cố

Muốn đo khả năng, ta đếm hai thứ: mọi kết quả có thể xảy ra, và kết quả "chiều lòng mình" — rồi lấy tỉ số:

Xác suất = hai bài đếm — đúng sở trường ta vừa luyện!

Ví dụ 12 — gieo xúc xắc

Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số chẵn.

Đếm tất cả: mấy kết quả? Đếm thuận lợi: mấy kết quả?

Lời giải. Có 6 kết quả đồng khả năng (1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm).

Kết quả thuận lợi: 2, 4, 6 — có 3 kết quả.

\[P=\frac{3}{6} = \class{kq}{\frac{1}{2}}\]

Gieo nhiều lần thì khoảng một nửa số lần ra mặt chẵn.

Ví dụ 13 — rút 2 viên bi đỏ

Hộp có 4 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh, các viên cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 viên. Tính xác suất để lấy được 2 viên bi đỏ.

Dùng ngay kĩ năng "chọn nhóm" vừa học!

Lời giải. Số cách lấy 2 viên bất kì từ 10 viên: \(\dfrac{10\times9}{2} = 45\).

Số cách lấy 2 viên đều đỏ (chọn 2 trong 4 viên đỏ): \(\dfrac{4\times3}{2} = 6\).

\[P=\frac{6}{45} = \class{kq}{\frac{2}{15}}\]

Ví dụ 14 — hai con xúc xắc, tổng bằng 8

Gieo hai con xúc xắc. Tính xác suất để tổng số chấm bằng 8.

Số kết quả có thể: dùng quy tắc nào?

Lời giải. Số kết quả: \(6\times6=36\) (quy tắc nhân!).

Các cặp có tổng 8: \((2;6),(3;5),(4;4),(5;3),(6;2)\) — 5 cặp.

\[P = \class{kq}{\frac{5}{36}}\]

Luyện tập — Bài 1 và 2

Bài 1. (*) Từ nhà Nam đến trường có thể đi qua hiệu sách (3 đường nhà → hiệu sách, 2 đường hiệu sách → trường) hoặc đi qua sân bóng (2 đường nhà → sân bóng, 4 đường sân bóng → trường). Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn lộ trình?

Đáp số: \(3\times2+2\times4=\class{kq}{14}\) lộ trình.

Bài 2. (*) Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số mà tổng các chữ số bằng 4? (TIMO Khối 4)

Đáp số: 10 số (103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400).

Luyện tập — Bài 3 và 4

Bài 3. (*) Chọn 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 4, 6, 8 để lập số chẵn có 3 chữ số. Hỏi lập được bao nhiêu số? (TIMO Khối 4)

Đáp số: hàng đơn vị chẵn (4 cách), rồi \(4\times3\): 48 số.

Bài 4. (**) Có bao nhiêu số có 3 chữ số, các chữ số đôi một khác nhau, không chứa chữ số 0 và chữ số 8? (TIMO Khối 4 — chung kết)

Đáp số: \(8\times7\times6 = \class{kq}{336}\) số.

Luyện tập — Bài 5 và 6

Bài 5. (**) Có bao nhiêu số có 3 chữ số chứa chữ số 0? (TIMO Khối 4)
(Gợi ý: đếm phần bù — lấy tổng số trừ đi số "không chứa 0".)

Đáp số: \(900 - 9\times9\times9 = 900-729 = \class{kq}{171}\) số.

Bài 6. (**) Xếp 5 bạn thành hàng ngang chụp ảnh, trong đó hai bạn An và Bình đòi đứng cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
(Gợi ý: "buộc" An và Bình thành một khối.)

Đáp số: buộc An–Bình thành 1 khối: \(4!\times2 = \class{kq}{48}\) cách.

Luyện tập — Bài 7 và 8

Bài 7. (**) Một giải cờ vua có 8 kì thủ, hai kì thủ bất kì đấu với nhau đúng một ván. Hỏi cả giải có bao nhiêu ván cờ?

Đáp số: chọn nhóm 2 trong 8: \(\dfrac{8\times7}{2} = \class{kq}{28}\) ván.

Bài 8. (**) Hộp có 5 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả. Tính xác suất để hai quả khác màu.

Đáp số: \(\dfrac{5\times3}{28} = \class{kq}{\dfrac{15}{28}}\) (tử: 1 trắng và 1 đen; mẫu: 28 cách chọn 2 quả).

Luyện tập — Bài 9 và 10

Bài 9. (***) Một cầu thang có 5 bậc. Mỗi bước, Mary bước lên 1 hoặc 2 bậc. Hỏi Mary có bao nhiêu cách đi hết cầu thang? (TIMO Khối 4)
(Gợi ý: đếm dần từ cầu thang 1 bậc, 2 bậc, 3 bậc…)

Đáp số: \(1,2,3,5,8\) — dãy Fibonacci! Đáp số: 8.

Bài 10. (***) Cô giáo có 12 quyển vở giống nhau, chia hết cho 4 bạn sao cho bạn nào cũng có ít nhất 1 quyển. Hỏi có bao nhiêu cách chia?
(Gợi ý: 11 khe hở, 3 vách ngăn.)

Đáp số: \(\dfrac{11\times10\times9}{3!} = \class{kq}{165}\) cách.

Luyện tập — Bài 11 (thách thức)

Bài 11. (***) (Mức lớp 9 NC) Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tích số chấm trên hai con là số chẵn.
(Gợi ý: đếm phần bù — tích lẻ khi nào?)

Đáp số: tích lẻ khi cả hai mặt đều lẻ: \(\dfrac{9}{36}=\dfrac14\). Vậy \(P = 1-\dfrac14 = \class{kq}{\dfrac34}\).

Ba điều phải nhớ

Dặn dò và hẹn gặp lại

Buổi sau ta quay về khai thác phân số từ buổi 1:
Tỉ số — Tỉ lệ — Lãi suất và những bước đầu tiên của đại số!