Hành trình ba buổi học

Buổi 1, phân số xuất hiện khi phép chia không chia hết. Hôm nay ta gặp gương mặt quan trọng hơn nhiều của nó: tỉ số — công cụ để so sánh hai đại lượng.

Tỉ số — "linh hồn" của phân số nằm ngay quanh ta

• tỉ lệ pha nước muối, nồng độ dung dịch,
• lãi suất ngân hàng,
• vận tốc (tỉ số quãng đường và thời gian),
• tỉ lệ bản đồ, mật độ dân số, tỉ số trận bóng đá…

Tỉ số và tỉ số phần trăm

Ví dụ 1 — pha nước muối sinh lí (cơ bản)

Nước muối sinh lí dùng sát khuẩn nhẹ vết thương có nồng độ \(0{,}9\%\). Mẹ nhờ em pha \(500\) gam nước muối sinh lí. Hỏi cần bao nhiêu gam muối?

\(0{,}9\%\) của 500 gam là bao nhiêu?

Lời giải. Khối lượng muối \(= 500\times0{,}9\% = 500\times\dfrac{9}{1000} = \class{kq}{4{,}5}\) gam. (Phần nước: \(500-4{,}5=495{,}5\) gam.)

Ví dụ 2 — mặn quá, phải thêm nước! (nâng cao)

Em lỡ pha \(200\) gam nước muối nồng độ \(3\%\) — mặn quá! Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu gam nước lọc để được nước muối \(0{,}9\%\)?

Đổ thêm nước thì cái gì thay đổi — và cái gì không thay đổi?

Lời giải. Điểm mấu chốt: khi thêm nước, lượng muối không đổi: \(200\times3\% = 6\) gam.

Muốn \(6\) gam muối chiếm \(0{,}9\%\) thì tổng khối lượng phải là \[6 : 0{,}9\% = 6\times\frac{1000}{9} = \frac{2000}{3}\approx 666{,}7 \text{ gam}.\]

Vậy cần thêm khoảng \(666{,}7-200 \approx \class{kq}{466{,}7}\) gam nước.

Ví dụ 3 — bài toán hai tỉ số

Một giá sách có hai ngăn. Lúc đầu số sách ngăn trên bằng \(\dfrac{2}{3}\) số sách ngăn dưới. Sau khi chuyển 4 quyển từ ngăn dưới lên ngăn trên thì số sách ngăn trên bằng \(\dfrac{6}{7}\) số sách ngăn dưới. Hỏi lúc đầu mỗi ngăn có bao nhiêu quyển?

Hai tỉ số nói về hai thời điểm khác nhau — so trực tiếp được không?

Ví dụ 3 (tiếp) — quy cả hai tỉ số về đại lượng không đổi

Chuyển sách từ ngăn này sang ngăn kia thì tổng số sách không đổi — quy cả hai tỉ số về tổng:

• lúc đầu ngăn trên chiếm \(\dfrac{2}{2+3}=\dfrac{2}{5}=\dfrac{26}{65}\) tổng số;
• lúc sau ngăn trên chiếm \(\dfrac{6}{6+7}=\dfrac{6}{13}=\dfrac{30}{65}\) tổng số.

Phần tăng thêm \(\dfrac{30-26}{65}=\dfrac{4}{65}\) tổng số ứng đúng với 4 quyển được chuyển lên, nên tổng số sách là \(4:\dfrac{4}{65}=65\) quyển.

Lúc đầu: ngăn trên \(65\times\dfrac25=\class{kq}{26}\) quyển, ngăn dưới \(\class{kq}{39}\) quyển. Thử lại: chuyển 4 quyển được 30 và 35; quả thật \(\dfrac{30}{35}=\dfrac67\). Khớp!

Ví dụ 4 — lãi đơn

Bà ngoại gửi tiết kiệm \(100\) triệu đồng, lãi suất \(6\%\)/năm, tiền lãi mỗi năm đều rút ra tiêu. Hỏi sau 3 năm bà nhận được tổng cộng bao nhiêu tiền lãi?

Mỗi năm tiền lãi có thay đổi không?

Lời giải. Mỗi năm lãi \(100\times6\% = 6\) triệu — năm nào cũng tính trên vốn \(100\) triệu.

Ba năm: \(6\times3=\class{kq}{18}\) triệu đồng.

Ví dụ 5 — lãi kép: lãi "đẻ" ra lãi

Vẫn \(100\) triệu, lãi \(6\%\)/năm, nhưng cuối mỗi năm tiền lãi được nhập vào vốn. Hỏi sau 3 năm bà có bao nhiêu tiền?

Viết gọn: \(100\times1{,}06^3\). So với lãi đơn (\(118\) triệu), lãi kép hơn \(1{,}1016\) triệu — và càng nhiều năm khoảng cách càng "phình" ra.

Nhà bác học Einstein từng gọi lãi kép là "kì quan thứ tám của thế giới"!

Tỉ lệ thuận — tỉ lệ nghịch

Cùng tăng — thuận (thương không đổi); tăng–giảm ngược nhau — nghịch (tích không đổi)

Ví dụ 6 — đi nhanh hơn thì đến sớm hơn

(Bank Toán 7) Một ô tô đi từ \(A\) đến \(B\) hết 6 giờ. Hỏi ô tô đi từ \(A\) đến \(B\) hết bao nhiêu giờ nếu đi với vận tốc gấp \(1{,}2\) lần vận tốc cũ?

Cùng quãng đường: vận tốc và thời gian quan hệ thế nào?

Lời giải. Cùng quãng đường, vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch: vận tốc gấp \(1{,}2\) lần thì thời gian giảm \(1{,}2\) lần:

\[6:1{,}2 = \class{kq}{5} \text{ giờ}.\]

Ví dụ 7 — hai người cùng làm một dự án

(TIMO Khối 5) John làm một mình xong dự án trong 36 ngày, Mary làm một mình xong trong 12 ngày. Hỏi hai người cùng làm thì xong trong bao nhiêu ngày?

Mỗi ngày mỗi người làm được bao nhiêu phần dự án?

Lời giải. Mỗi ngày John làm \(\dfrac{1}{36}\) dự án, Mary làm \(\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{36}\) dự án;

cả hai làm \(\dfrac{4}{36}=\dfrac19\) dự án/ngày \(\Rightarrow\) xong trong \(\class{kq}{9}\) ngày.

Ví dụ 8 — chia gia tài theo tỉ lệ

(Bank Toán 7) Một vị tỉ phú chia gia tài \(10{,}5\) tỉ đồng cho ba người con tỉ lệ thuận với \(6;7;8\). Hỏi mỗi người con nhận bao nhiêu?

Lời giải (sơ đồ chia phần). Tổng số phần \(6+7+8=21\); mỗi phần trị giá \(10{,}5:21 = 0{,}5\) tỉ đồng. Ba người nhận \(\class{kq}{3}\); \(\class{kq}{3{,}5}\); \(\class{kq}{4}\) (tỉ đồng).

Ví dụ 8 (tiếp) — cùng một ý, cách viết lớp 7

Nói "ba số tỉ lệ với \(6;7;8\)" nghĩa là vẽ sơ đồ 6 phần — 7 phần — 8 phần, đúng kiểu sơ đồ đoạn thẳng tổng–tỉ em vẫn vẽ!

Lên lớp 7, sơ đồ này được viết gọn thành dãy tỉ số bằng nhau: gọi ba phần là \(a,b,c\) thì \[\frac{a}{6}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=\frac{a+b+c}{6+7+8}=\frac{10{,}5}{21}=0{,}5\]

— con số \(0{,}5\) chính là "giá trị một phần" trong sơ đồ! Vẫn là "một phần bằng tổng chia tổng số phần", chỉ thay lời nói bằng kí hiệu.

Ví dụ 9 — 85 tờ tiền, ba loại trị giá bằng nhau

(Bank Toán 7) Có 85 tờ tiền gồm ba loại \(10\) nghìn, \(20\) nghìn và \(50\) nghìn đồng. Tổng trị giá mỗi loại tiền đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu tờ?

Mệnh giá càng to thì số tờ càng… gì?

Lời giải. Trị giá bằng nhau nên số tờ tỉ lệ nghịch với mệnh giá, tức tỉ lệ thuận với \[\frac{1}{10}:\frac{1}{20}:\frac{1}{50} = 10:5:2.\]

Tổng phần: \(17\); mỗi phần \(85:17=5\) tờ. Vậy có \(\class{kq}{50}\) tờ, \(\class{kq}{25}\) tờ và \(\class{kq}{10}\) tờ.

Em đã giải hệ phương trình từ lúc 5 tuổi!

Hồi mẫu giáo và tiểu học, em từng giải những bài kiểu:

\[\square+\square+\bigcirc = 5,\qquad \square+\square+\square = 6.\]

Ô vuông bằng mấy? Rồi hình tròn bằng mấy?

Từ dòng thứ hai: \(\square = 2\); thay vào dòng đầu: \(2+2+\bigcirc=5\) nên \(\bigcirc=\class{kq}{1}\).

Chúc mừng — em đã giải hệ phương trình bằng phương pháp thế từ lúc 5 tuổi mà không biết!

Đại số chỉ là thay hình vẽ bằng chữ cái

Đại số chỉ làm đúng một việc: thay ô vuông, hình tròn bằng chữ cái \(x, y\) cho nhanh gọn. Cách nghĩ không hề mới:

Hai "chiêu thức" giải hệ

Rút được một ẩn — thế; hai dòng giống nhau một phần — cộng đại số.

Ví dụ 10 — mua vở và bút

Mua 3 quyển vở và 2 chiếc bút hết \(31\) nghìn đồng; mua 3 quyển vở và 5 chiếc bút (cùng loại) hết \(46\) nghìn đồng. Hỏi giá mỗi quyển vở, mỗi chiếc bút?

Hai lần mua giống nhau ở chỗ nào, khác nhau ở chỗ nào?

Gọi giá vở là \(x\), giá bút là \(y\) (nghìn đồng): \[3x+2y=31,\qquad 3x+5y=46.\]

Lời giải. Hai lần mua đều có cùng 3 quyển vở, chỉ khác nhau 3 chiếc bút — vậy 3 chiếc bút giá \(46-31=15\) nghìn.

Đó chính là phương pháp cộng đại số: lấy phương trình dưới trừ phương trình trên vế theo vế, phần \(3x\) giống hệt nhau tự biến mất: \[3y = 15 \Rightarrow y = 5;\qquad 3x = 31-2\times5 = 21 \Rightarrow x = 7.\]

Vậy vở \(\class{kq}{7}\) nghìn, bút \(\class{kq}{5}\) nghìn. Thử lại: \(3\times7+2\times5=31\) (đúng); \(3\times7+5\times5=46\) (đúng).

Lời nhắn của thầy giáo

Ví dụ 11 — phương pháp thế (TIMO Khối 5)

Tìm hai số biết tổng của chúng là \(2020\) và số lớn gấp \(4\) lần số bé.

Bài tổng–tỉ quen thuộc — thử viết bằng chữ \(x\) xem sao?

Lời giải. Gọi số bé là \(x\), số lớn là \(y\): \(x+y=2020\) và \(y=4x\).

Thế \(y=4x\) vào phương trình đầu: \[x+4x=2020 \Rightarrow 5x=2020 \Rightarrow x=\class{kq}{404},\quad y=\class{kq}{1616}.\]

So sánh với cách tiểu học "tổng–tỉ": vẽ sơ đồ 1 phần + 4 phần = 5 phần — cùng một ý tưởng, đại số chỉ thay sơ đồ đoạn thẳng bằng chữ \(x\)!

Dấu "=" là một chiếc cân thăng bằng

Hằng đẳng thức — quà tặng từ lớp 8

Ví dụ 12. (TIMO Khối 5 — vòng chung kết) Tính nhanh \(81\times81 - 19\times19\).

Lời giải. Đây là \(a^2-b^2\)! \[81^2-19^2 = (81+19)(81-19) = 100\times62 = \class{kq}{6200}.\] Không cần bình phương con số nào cả.

Ví dụ 13 — tìm x qua nhiều lớp áo

Tìm \(x\) biết \(27+288:(x-3)^2 = 35\). (Bank Toán 6)

Bóc từng "lớp áo" từ ngoài vào: cái gì đang cộng với 27?

Lời giải. Chuyển vế: \[288:(x-3)^2 = 35-27=8 \Rightarrow (x-3)^2 = 288:8=36.\]

Vì \(x\) là số tự nhiên nên \(x-3=6\), tức \(x=\class{kq}{9}\).

Thử lại: \(27+288:36 = 27+8=35\). Đúng!

Ví dụ 14 — (Mức lớp 8) chứng minh cho vô số trường hợp

Chọn một số tự nhiên bất kì, đem số đó cộng 4 rồi bình phương, xong trừ đi bình phương của số ban đầu. Chứng tỏ kết quả luôn chia hết cho 8, dù chọn số nào.

Thử vài số trước cho tin!

Chọn 3: \(7^2-3^2=49-9=40\) — chia hết cho 8. Chọn 10: \(14^2-10^2 = 196-100=96\) — cũng chia hết cho 8!

Nhưng thử mãi không xuể — ta gọi số được chọn là \(n\) (\(n\) là "ô vuông" chứa số bất kì) và dùng hằng đẳng thức: \[(n+4)^2-n^2 = (n+4+n)\times(n+4-n) = (2n+4)\times4 = (n+2)\times8.\]

Kết quả là "một số nhân với 8" nên chắc chắn chia hết cho 8. Biến đổi đại số biến một câu "kiểm tra vô số trường hợp" thành một dòng!

Luyện tập — Bài 1 và 2

Bài 1. (*) Pha \(250\) gam nước muối sinh lí \(0{,}9\%\) cần bao nhiêu gam muối? Nếu chỉ có sẵn \(3\) gam muối thì pha được nhiều nhất bao nhiêu gam nước muối \(0{,}9\%\)?

Đáp số: \(250\times0{,}9\% = \class{kq}{2{,}25}\) g muối; \(3:0{,}9\% \approx \class{kq}{333{,}3}\) g nước muối.

Bài 2. (*) (Bank Toán 7) Ba máy cày cày xong một cánh đồng hết 30 giờ. Hỏi 5 máy cày như thế (cùng năng suất) cày xong cánh đồng đó hết bao nhiêu giờ?

Đáp số: tỉ lệ nghịch: \(30\times3:5 = \class{kq}{18}\) giờ.

Luyện tập — Bài 3 và 4

Bài 3. (*) (TIMO Khối 5) Cần 12 người làm trong 34 ngày để hoàn thành một công việc. Hỏi 8 người cần bao nhiêu ngày để hoàn thành công việc đó?

Đáp số: \(12\times34:8 = \class{kq}{51}\) ngày.

Bài 4. (**) (Bank Toán 7) Chu vi một tam giác là \(34\) m, ba cạnh tỉ lệ với \(4;5;8\). Tính độ dài mỗi cạnh.

Đáp số: mỗi phần \(34:17=2\) m; ba cạnh \(\class{kq}{8}\) m, \(\class{kq}{10}\) m, \(\class{kq}{16}\) m.

Luyện tập — Bài 5 và 6

Bài 5. (**) (Bank Toán 7) Học sinh ba lớp 7 cần trồng \(50\) cây xanh. Lớp 7A có 45 học sinh, lớp 7B có 54 học sinh, lớp 7C có 51 học sinh. Số cây tỉ lệ thuận với số học sinh — hỏi mỗi lớp trồng bao nhiêu cây?

Đáp số: mỗi học sinh \(\dfrac{50}{150}=\dfrac13\) cây: lớp 7A \(\class{kq}{15}\), 7B \(\class{kq}{18}\), 7C \(\class{kq}{17}\) cây.

Bài 6. (**) (TIMO Khối 4) Hiện tại tổng tuổi bố và mẹ là 93. Tuổi bố 3 năm trước bằng tuổi mẹ 8 năm nữa. Hỏi bố bao nhiêu tuổi? (Gợi ý: hiệu tuổi bố và mẹ là \(3+8=11\) — bài tổng–hiệu quen thuộc, hãy giải cả bằng sơ đồ lẫn bằng hệ \(x+y=93\), \(x-y=11\).)

Đáp số: bố \((93+11):2 = \class{kq}{52}\) tuổi.

Luyện tập — Bài 7 và 8

Bài 7. (**) Anh có \(90\) nghìn đồng gồm tiền \(5\) nghìn và \(10\) nghìn, tất cả \(12\) tờ. Hỏi mỗi loại mấy tờ? (Giải bằng phương pháp thế: \(x+y=12\), \(5x+10y=90\).)

Đáp số: \(y=6\), \(x=6\): mỗi loại \(\class{kq}{6}\) tờ.

Bài 8. (**) Gửi tiết kiệm \(50\) triệu đồng, lãi kép \(6\%\)/năm. Tính số tiền nhận được sau 2 năm. So sánh với lãi đơn cùng kì hạn.

Đáp số: lãi kép \(50\times1{,}06^2 = \class{kq}{56{,}18}\) triệu; lãi đơn \(56\) triệu — kém \(180\) nghìn đồng.

Luyện tập — Bài 9 và 10

Bài 9. (***) (Hai tỉ số) Lúc đầu số bi của An bằng \(\dfrac{3}{5}\) số bi của Bình. Sau khi Bình cho An 10 viên thì số bi của An bằng \(\dfrac{5}{7}\) số bi của Bình. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi? (Gợi ý: tổng số bi không đổi.)

Đáp số: An lúc đầu chiếm \(\dfrac{3}{8}\), lúc sau \(\dfrac{5}{12}\) tổng; chênh \(\dfrac{1}{24}\) tổng \(=10\) viên \(\Rightarrow\) tổng 240: An \(\class{kq}{90}\), Bình \(\class{kq}{150}\) viên.

Bài 10. (***) (Bank Toán 7) Tại một trạm xe có 114 chiếc ô tô loại 40 tấn, 25 tấn và 5 tấn. Biết \(\dfrac{2}{3}\) số xe loại 40 tấn bằng \(\dfrac{2}{5}\) số xe loại 25 tấn và bằng \(\dfrac{3}{7}\) số xe loại 5 tấn. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu chiếc?

Đáp số: đặt \(\dfrac23a=\dfrac25b=\dfrac37c=k\): tổng \(=\dfrac{19k}{3}=114 \Rightarrow k=18\): có \(\class{kq}{27}\), \(\class{kq}{45}\), \(\class{kq}{42}\) chiếc.

Luyện tập — Bài 11 và 12 (thách thức)

Bài 11. (***) (TIMO Khối 5) Tính nhanh \(1003\times1003 - 997\times997\).

Đáp số: \((1003+997)(1003-997) = 2000\times6 = \class{kq}{12\,000}\).

Bài 12. (***) (Mức lớp 8) Không dùng máy tính, hãy tính \(\dfrac{2026^2 - 2024^2}{2025^2-2023^2}\).

Đáp số: \(\dfrac{(2026+2024)\times2}{(2025+2023)\times2} = \dfrac{4050}{4048} = \class{kq}{\dfrac{2025}{2024}}\).

Ba điều phải nhớ của buổi 3