Hành trình các buổi học

Buổi 3 ta dùng tỉ số để so sánh số bi, số sách, số tiền. Hôm nay ta dùng đúng công cụ ấy để so sánh diện tích — thứ mà mắt thường rất dễ nhìn nhầm.

Vì sao phải học tỉ số diện tích?

Bố có một mảnh vườn hình tam giác. Bố muốn cắm một cây cọc trên bờ rào dưới rồi chia vườn thành hai phần: phần của anh gấp đôi phần của em. Cắm cọc ở đâu?

Không cần thước đo diện tích — chỉ cần biết tỉ số hai phần. Đó là bài học hôm nay.

Lộ trình buổi 4

Toàn bộ buổi học chỉ dùng đúng một công thức em đã biết từ lớp 5: diện tích tam giác bằng đáy nhân chiều cao rồi chia đôi.

Chặng 1 — Tỉ số chính là một phân số

Lớp em có 12 bạn nam và 18 bạn nữ. Tỉ số số nam và số nữ là \[\frac{12}{18}=\frac{2}{3}.\]

Con số \(\dfrac{2}{3}\) nói gọn hơn hẳn: cứ 2 bạn nam thì có 3 bạn nữ. Muốn đọc được điều đó, phải biết rút gọn.

Chặng 2 — Rút gọn: vì sao "gạch" được thừa số chung?

Rút gọn là chia cả tử và mẫu cho cùng một số. Nhưng có một cách nhìn nhanh hơn nhiều: viết tử và mẫu thành tích rồi tách ra:

\[\frac{12}{18}=\frac{6\times 2}{6\times 3} =\frac{6}{6}\times\frac{2}{3}=1\times\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\]

Ví dụ 1 — tách thừa số để rút gọn nhanh

Rút gọn \(\dfrac{105}{126}\) mà không bấm máy tính.

Cách chậm. Chia dần từng bước: \(\dfrac{105}{126}\xrightarrow{\;:3\;}\dfrac{35}{42}\xrightarrow{\;:7\;}\dfrac{5}{6}\).

Cách nhanh. Nhìn ra ngay thừa số chung \(21\): \[\frac{105}{126}=\frac{21\times 5}{21\times 6}=\class{kq}{\frac{5}{6}}.\]

Ví dụ 2 — đừng nhân vội!

Tính \(\dfrac{45\times 28}{35\times 27}.\)

Nhân trước thì phải làm \(45\times28=1260\) và \(35\times27=945\), rồi vẫn phải rút gọn \(\dfrac{1260}{945}\) — vất vả gấp đôi.

Tách thừa số trước, gạch sau (gạch \(9\) với \(9\), \(5\) với \(5\), \(7\) với \(7\)): \[\frac{45\times 28}{35\times 27} =\frac{(9\times 5)\times(7\times 4)}{(7\times 5)\times(9\times 3)} =\class{kq}{\frac{4}{3}}\]

Luyện tay 30 giây

Rút gọn bằng cách tách thừa số chung:

Đáp số: \(\dfrac{12\times2}{12\times3}=\class{kq}{\dfrac23}\);  \(\dfrac{42\times2}{42\times3}=\class{kq}{\dfrac23}\);  \(\dfrac{9\times7}{9\times9}=\class{kq}{\dfrac79}\);  \(\dfrac{(4\times4)(5\times5)}{(4\times5)(4\times6)}=\class{kq}{\dfrac56}\).

Chặng 3 — Diện tích tam giác, vì sao chia đôi?

Vẽ hình chữ nhật bao quanh tam giác. Đường cao \(AH\) chia hình thành hai hình chữ nhật nhỏ, và mỗi hình chữ nhật nhỏ bị đường xiên cắt thành hai nửa bằng nhau.

Hai mảnh a bằng nhau, hai mảnh b bằng nhau — nên phần tô đậm là đúng một nửa hình chữ nhật.

\(S=\dfrac{1}{2}\times \text{đáy}\times\text{chiều cao}\)

Một tam giác có ba cặp "đáy — chiều cao"

Chặng 4 — Quay lại mảnh vườn của bố

Tam giác \(ABC\), điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC.\) So sánh diện tích hai tam giác \(ABM\) và \(ACM.\)

Hai tam giác này giống nhau ở điểm gì?

Chúng dùng chung một chiều cao: đoạn \(AH\) — khoảng cách từ \(A\) xuống đường thẳng \(BC.\)

Lập tỉ số — rồi gạch!

Đặt \(h=AH.\) Chọn \(BM\) và \(CM\) làm đáy:

\[S_{ABM}=\frac12\times BM\times h,\qquad S_{ACM}=\frac12\times CM\times h.\]

Lập tỉ số hai diện tích, tử và mẫu đều là tích — đúng lúc dùng kĩ thuật chặng 2:

\[\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}} =\frac{\dfrac12\times BM\times h}{\dfrac12\times CM\times h} =\class{kq}{\frac{BM}{CM}}\]

Hai thừa số \(\dfrac12\) và \(h\) giống hệt nhau ở tử và mẫu nên gạch sạch. Chỉ còn lại tỉ số hai đáy!

QUY TẮC VÀNG của buổi học

Chỉ có thế. Mọi bài khó phía sau đều là quy tắc này dùng đi dùng lại vài lần.

Làm sao NHẬN RA hai tam giác chung đường cao?

Ở hình vừa rồi: \(\triangle ABM\) và \(\triangle ACM\) chung đỉnh \(A\); hai đáy \(BM\), \(CM\) cùng nằm trên đường thẳng \(BC.\) Đủ điều kiện!

Hệ quả đầu tiên — đường trung tuyến chia đôi diện tích

Nếu \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì \(BM=CM\), nên

\[\frac{S_{ABM}}{S_{ACM}}=\frac{BM}{CM}=1 \quad\Rightarrow\quad S_{ABM}=S_{ACM}=\frac12 S_{ABC}.\]

Trả lời câu hỏi của bố: muốn phần anh gấp đôi phần em, cắm cọc tại \(M\) sao cho \(BM = 2\,MC\) — nghĩa là \(M\) cách \(B\) bằng \(\class{kq}{\dfrac23}\) chiều dài bờ rào.

Ví dụ 3 (*) — trung điểm

Tam giác \(ABC\) có diện tích \(50\ \mathrm{cm^2}.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC.\) Tính diện tích tam giác \(ABI.\)

Trung điểm — nhớ ngay điều gì?

Lời giải. \(\triangle ABI\) và \(\triangle ACI\) chung đỉnh \(A\), hai đáy \(BI=CI\) cùng nằm trên \(BC\) nên diện tích bằng nhau:

\[S_{ABI}=\frac12\times 50=\class{kq}{25}\ \mathrm{cm^2}.\]

Ví dụ 4 (*) — biết một phần, tìm cả hình

Tam giác \(ABC\), điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) sao cho \(MB=2\,MC.\) Biết \(S_{ABM}=48\ \mathrm{cm^2}.\) Tính \(S_{ABC}.\)

\(MB\) chiếm mấy phần của \(BC\)?

Cách 1 — so hai mảnh với nhau. \(\dfrac{S_{ABM}}{S_{ACM}}=\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{2}{1}\) nên \(S_{ACM}=48:2=24\); vậy \(S_{ABC}=48+24=\class{kq}{72}\ \mathrm{cm^2}.\)

Cách 2 — so mảnh với cả hình. \(MB=\dfrac23 BC\) nên \(\dfrac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\dfrac{MB}{BC}=\dfrac23\), suy ra \(S_{ABC}=48:\dfrac23=\class{kq}{72}\ \mathrm{cm^2}.\)

Ví dụ 5 (**) — hai bước nhảy

Tam giác \(ABC\) có diện tích \(60\ \mathrm{cm^2}.\) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC.\) Trên đoạn \(AM\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN=2\,NM.\) Tính \(S_{ABN}.\)

Từ \(ABC\) sang \(ABN\) — nhảy thẳng một bước có được không?

Lời giải. Không nhảy thẳng được, nên ta bắc cầu qua \(\triangle ABM.\)

Bước 1. \(\triangle ABM\) và \(\triangle ABC\) chung đỉnh \(A\), đáy \(BM\) và \(BC\) cùng nằm trên đường thẳng \(BC\): \(S_{ABM}=\dfrac{BM}{BC}\times 60=\dfrac12\times 60=30.\)

Bước 2. \(\triangle ABN\) và \(\triangle ABM\) chung đỉnh \(B\), đáy \(AN\) và \(AM\) cùng nằm trên đường thẳng \(AM\), mà \(AN=\dfrac23 AM\): \(S_{ABN}=\dfrac23\times 30=\class{kq}{20}\ \mathrm{cm^2}.\)

Ví dụ 6 (**) — cắt một góc của tam giác

Tam giác \(ABC.\) Lấy \(M\) trên \(AB\) với \(AM=\dfrac23 AB\), lấy \(N\) trên \(AC\) với \(AN=\dfrac12 AC\). Hỏi \(S_{AMN}\) bằng mấy phần \(S_{ABC}\)?

Nối thêm đoạn \(MC\) (nét đứt) — em thấy được cây cầu chưa?

Ví dụ 6 (tiếp) — nhân hai tỉ số lại

Bước 1. \(\triangle AMN\) và \(\triangle AMC\) chung đỉnh \(M\), hai đáy \(AN\), \(AC\) cùng nằm trên đường thẳng \(AC\): \(\dfrac{S_{AMN}}{S_{AMC}}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac12\).

Bước 2. \(\triangle AMC\) và \(\triangle ABC\) chung đỉnh \(C\), hai đáy \(AM\), \(AB\) cùng nằm trên đường thẳng \(AB\): \(\dfrac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac23\).

Nhân hai kết quả (thừa số \(S_{AMC}\) tự gạch đi!): \[\frac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\frac12\times\frac23=\class{kq}{\frac13}.\]

Ví dụ 7 (***) — một điểm bất kì trong hình bình hành

Cho hình bình hành \(ABCD\) và điểm \(P\) bất kì nằm bên trong. Chứng tỏ rằng \(S_{APD}+S_{BPC}\) luôn bằng nửa diện tích hình bình hành, dù \(P\) ở đâu.

Hai cạnh \(AD\) và \(BC\) có gì đặc biệt?

Ví dụ 7 (tiếp) — cộng hai chiều cao lại

\(AD\) và \(BC\) là hai cạnh đối của hình bình hành nên song song và bằng nhau. Gọi \(a=AD=BC.\)

Hai đoạn vuông góc \(h_1\) (từ \(P\) xuống \(AD\)) và \(h_2\) (từ \(P\) xuống \(BC\)) ghép lại đúng bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, tức bằng chiều cao \(h\) của hình bình hành: \(h_1+h_2=h.\)

\[S_{APD}+S_{BPC}=\frac12 a\,h_1+\frac12 a\,h_2 =\frac12 a\,(h_1+h_2)=\frac12 a\,h=\class{kq}{\frac12 S_{ABCD}}.\]

Ví dụ 8 (***) — tam giác nằm giữa

Tam giác \(ABC\) diện tích \(S.\) Lấy \(M\) trên \(AB\), \(N\) trên \(BC\), \(P\) trên \(CA\) sao cho \(AM=2\,BM\), \(BN=2\,NC\), \(CP=2\,PA.\) Tính diện tích tam giác \(MNP\) theo \(S.\)

Tính thẳng phần giữa rất khó — thử tính ba góc bị cắt xem sao?

Ví dụ 8 (tiếp) — cắt ba góc rồi trừ đi

Ba tam giác bị cắt đều dùng công thức "cắt góc" của ví dụ 6. Chú ý \(AM=2BM\) nghĩa là \(BM=\dfrac13 AB\) và \(AM=\dfrac23 AB\).

• Góc \(B\): \(\dfrac{S_{BMN}}{S}=\dfrac{BM}{BA}\times\dfrac{BN}{BC} =\dfrac13\times\dfrac23=\dfrac29\).
• Góc \(A\): \(\dfrac{S_{AMP}}{S}=\dfrac{AM}{AB}\times\dfrac{AP}{AC} =\dfrac23\times\dfrac13=\dfrac29\).
• Góc \(C\): \(\dfrac{S_{CNP}}{S}=\dfrac{CN}{CB}\times\dfrac{CP}{CA} =\dfrac13\times\dfrac23=\dfrac29\).

\[\frac{S_{MNP}}{S}=1-3\times\frac29=1-\frac23=\class{kq}{\frac13} \quad\Rightarrow\quad S_{MNP}=\frac13 S.\]

Ba nhát cắt "hai phần ba" lại để lại đúng một phần ba — kết quả đẹp bất ngờ.

Ví dụ 9 (***) — nở tam giác ra bảy lần

Tam giác \(ABC.\) Kéo dài \(AB\) thêm một đoạn \(BM=BA\); kéo dài \(BC\) thêm \(CN=CB\); kéo dài \(CA\) thêm \(AP=AC.\) Chứng tỏ \(S_{MNP}=7\,S_{ABC}.\)

Ở đây điểm nằm ngoài cạnh — quy tắc vàng còn dùng được không?

Ví dụ 9 (tiếp) — bảy mảnh bằng nhau

Còn dùng được, vì \(A\), \(B\), \(M\) vẫn nằm trên cùng một đường thẳng. Đặt \(S=S_{ABC}\), ta bóc dần từng mảnh:

• \(\triangle BCM\) và \(\triangle BCA\) chung đỉnh \(C\), đáy \(BM=BA\) \(\Rightarrow S_{BCM}=S.\)
• \(\triangle CMN\) và \(\triangle CMB\) chung đỉnh \(M\), đáy \(CN=CB\) \(\Rightarrow S_{CMN}=S_{BCM}=S.\)
• Làm y hệt quanh đỉnh \(A\) và đỉnh \(B\), ta được thêm bốn mảnh nữa: \(S_{ACN}=S_{ANP}=S_{ABP}=S_{BPM}=S.\)

Tam giác lớn \(MNP\) gồm đúng \(\triangle ABC\) và 6 mảnh diện tích \(S\): \[S_{MNP}=S+6S=\class{kq}{7\,S_{ABC}}.\]

Luyện tập — Bài 1 và 2

Bài 1. (*) Rút gọn bằng cách tách thừa số chung: \(\dfrac{84}{126}\) và \(\dfrac{24\times 35}{28\times 45}.\)

Đáp số: \(\dfrac{42\times2}{42\times3}=\class{kq}{\dfrac23}\);   \(\dfrac{(4\times6)(5\times7)}{(4\times7)(5\times9)}=\dfrac{6}{9}=\class{kq}{\dfrac23}\).

Bài 2. (*) Tam giác \(ABC\) có diện tích \(84\ \mathrm{cm^2}.\) Trên \(BC\) lấy \(M\) sao cho \(BM=3\,MC.\) Tính \(S_{ABM}\) và \(S_{ACM}.\)

Đáp số: \(BM=\dfrac34 BC\) nên \(S_{ABM}=\dfrac34\times84=\class{kq}{63}\ \mathrm{cm^2}\), \(S_{ACM}=\class{kq}{21}\ \mathrm{cm^2}.\)

Luyện tập — Bài 3 và 4

Bài 3. (*) Tam giác \(ABC\), điểm \(M\) trên \(BC\) sao cho \(BC=3\,BM.\) Biết \(S_{ACM}=60\ \mathrm{cm^2}.\) Tính \(S_{ABC}.\)

Đáp số: \(MC=\dfrac23 BC\) nên \(S_{ABC}=60:\dfrac23=\class{kq}{90}\ \mathrm{cm^2}.\)

Bài 4. (*) Tam giác \(ABC\), điểm \(M\) trên \(AC\) sao cho \(AM=3\,MC.\) Biết \(S_{ABM}=24\ \mathrm{cm^2}.\) Tính \(S_{ABC}.\)

Đáp số: \(AM=\dfrac34 AC\) nên \(S_{ABC}=24:\dfrac34=\class{kq}{32}\ \mathrm{cm^2}.\)

Luyện tập — Bài 5 và 6

Bài 5. (**) Tam giác \(ABC\) có diện tích \(64\ \mathrm{dm^2}.\) Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\), \(N\) là trung điểm \(AM.\) Tính \(S_{ABN}.\)

Đáp số: \(S_{ABM}=\dfrac12\times64=32\); rồi \(S_{ABN}=\dfrac12\times32=\class{kq}{16}\ \mathrm{dm^2}.\)

Bài 6. (**) Tam giác \(ABC\) có diện tích \(24\ \mathrm{cm^2}.\) Trên \(AB\) lấy \(I\) sao cho \(AI=2\,IB\); gọi \(E\) là trung điểm \(AC.\) Tính \(S_{AIE}.\)

Đáp số (công thức cắt góc): \(\dfrac{S_{AIE}}{S_{ABC}}=\dfrac{AI}{AB}\times\dfrac{AE}{AC}=\dfrac23\times\dfrac12=\dfrac13\), nên \(S_{AIE}=\class{kq}{8}\ \mathrm{cm^2}.\)

Luyện tập — Bài 7 và 8

Bài 7. (**) Tam giác \(ABC\) có diện tích \(4\ \mathrm{cm^2}.\) Kéo dài \(BC\) về phía \(C\), lấy \(M\) sao cho \(C\) là trung điểm \(BM.\) Trên \(AM\) lấy \(N\) sao cho \(MN=3\,AN.\) Tính \(S_{ABN}.\)

Đáp số: \(BM=2\,BC\) nên \(S_{ABM}=2\times4=8\); \(AN=\dfrac14 AM\) nên \(S_{ABN}=\dfrac14\times8=\class{kq}{2}\ \mathrm{cm^2}.\)

Bài 8. (**) Tam giác \(ABC\) có diện tích \(96\ \mathrm{cm^2}.\) Gọi \(D\) là trung điểm \(BC\), \(E\) là trung điểm \(AD\), \(F\) là trung điểm \(BE.\) Tính \(S_{FBC}.\)

Đáp số: \(E\) là trung điểm \(AD\) nên chiều cao từ \(E\) xuống \(BC\) bằng nửa chiều cao từ \(A\) \(\Rightarrow S_{EBC}=48\); \(F\) là trung điểm \(BE\) nên \(S_{FBC}=\dfrac12\times48=\class{kq}{24}\ \mathrm{cm^2}.\)

Luyện tập — Bài 9 và 10

Bài 9. (***) Tam giác \(ABC\) có diện tích \(96\ \mathrm{cm^2}.\) Trên \(AB\) lấy \(M\) với \(AM=\dfrac13 AB\); trên \(AC\) lấy \(N\) với \(AN=\dfrac34 AC\). Tính \(S_{AMN}\) và diện tích tứ giác \(MBCN.\)

Đáp số: \(\dfrac13\times\dfrac34=\dfrac14\) nên \(S_{AMN}=\class{kq}{24}\ \mathrm{cm^2}\); tứ giác \(MBCN\) còn \(96-24=\class{kq}{72}\ \mathrm{cm^2}.\)

Bài 10. (***) (TIMO Khối 5) \(P\) là một điểm nằm trong hình bình hành \(ABCD.\) Biết \(S_{APD}=39\ \mathrm{cm^2}\) và \(S_{BCP}\) bằng \(37\%\) diện tích hình bình hành. Tính \(S_{ABCD}.\)

Đáp số (ví dụ 7): \(39+37\%\,S=50\%\,S\) \(\Rightarrow 13\%\,S=39\Rightarrow S=\class{kq}{300}\ \mathrm{cm^2}.\)

Luyện tập — Bài 11 và 12 (thách thức)

Bài 11. (***) Hình thang \(ABCD\) có \(AB\parallel CD\), hai đường chéo cắt nhau tại \(O.\) Chứng tỏ \(S_{AOD}=S_{BOC}.\)

Đáp số: \(\triangle ACD\) và \(\triangle BCD\) chung đáy \(CD\); vì \(AB\parallel CD\) nên \(A\) và \(B\) cách \(CD\) bằng nhau \(\Rightarrow S_{ACD}=S_{BCD}.\) Cùng bớt phần chung \(S_{OCD}\) được \(\class{kq}{S_{AOD}=S_{BOC}}.\)

Bài 12. (***) Tam giác \(ABC\) có \(BC=6\ \mathrm{cm}.\) Lấy \(M\) trên \(AC\) sao cho \(AM=\dfrac13 AC\). Tìm điểm \(N\) trên \(BC\) để \(MN\) chia tam giác thành hai phần, trong đó phần \(ABNM\) có diện tích gấp ba phần \(CMN.\)

Đáp số: \(S_{CMN}=\dfrac14 S_{ABC}\); mà \(\dfrac{S_{CMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{CM}{CA}\times\dfrac{CN}{CB}=\dfrac23\times\dfrac{CN}{6}\). Vậy \(\dfrac{CN}{6}=\dfrac38\Rightarrow CN=\class{kq}{2{,}25}\ \mathrm{cm}.\)

Bốn điều phải nhớ của buổi 4