Mệnh đề — Lời giải chi tiết

🔑 Lời giải

a)

• $7+5=3$ → mệnh đề sai (vì $7+5=12$).
• $7+x>3$ → không phải mệnh đề (mệnh đề chứa biến).
• $\sqrt2>1$ → mệnh đề đúng.
• “$15$ không chia hết cho $3$” → mệnh đề sai (vì $15=3\cdot5$).
• “$\dfrac32$ có phải là số nguyên?” → không phải mệnh đề (câu hỏi).

b) $P(2)$: $2>2^2=4$ là sai;   $P\!\left(\dfrac12\right)$: $\dfrac12>\dfrac14$ là đúng.

c)

• “Nếu $a\,\vdots\,9$ thì $a\,\vdots\,3$” → đúng: $a=9k=3(3k)\,\vdots\,3$.
• “Nếu $a\ge b$ thì $a^2\ge b^2$” → sai: lấy $a=-1\ge b=-2$ nhưng $a^2=1<4=b^2$.

🔑 Lời giải

a)

• $\overline A$: “Hình thoi có hai đường chéo không vuông góc với nhau” → sai (vì $A$ đúng).
• $\overline B$: “$6$ không là số nguyên tố” → đúng (vì $6$ là hợp số).

b)

• $\overline{\forall x\in\mathbb R:\ x^2>0}=\exists x\in\mathbb R:\ x^2\le0$.
• $\overline{\exists x\in\mathbb R:\ x>x^2}=\forall x\in\mathbb R:\ x\le x^2$.
• $\overline{\forall n\in\mathbb N,\ n^2+1\ \text{không}\,\vdots\,3}=\exists n\in\mathbb N,\ n^2+1\,\vdots\,3$.

🔑 Lời giải

a) “Có chữ số tận cùng là $5$” là điều kiện đủ để “chia hết cho $5$”; hay “chia hết cho $5$” là điều kiện cần để “có chữ số tận cùng là $5$”.

b)

• Đảo: “Nếu tứ giác có ba góc vuông thì nó là hình chữ nhật” → đúng (có ba góc vuông thì góc thứ tư cũng vuông).
• Đảo: “Nếu $a\,\vdots\,3$ thì $a\,\vdots\,6$” → sai (lấy $a=3$).

c) “Chia hết cho $2$ và cho $3$” là điều kiện cần và đủ để “chia hết cho $6$” (vì $6=\text{BCNN}(2,3)$).

🔑 Lời giải

a)

• $\forall x\in\mathbb R,\ x^2>0$ → sai (tại $x=0$ thì $x^2=0$).
• $\forall x\in\mathbb R,\ x^2-x+1>0$ → đúng: $x^2-x+1=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34\ge\dfrac34>0$.
• $\exists x\in\mathbb N,\ x^2+2x+5$ là hợp số → đúng: $x=1$ cho $1+2+5=8=2^3$.
• $\forall n\in\mathbb N^*,\ n(n+1)$ lẻ → sai: $n,n+1$ liên tiếp nên có một số chẵn, tích chẵn.

b) $\forall x\in\mathbb R,\ x^2\ge0$;   $\exists n\in\mathbb Z,\ n^2=n$.

🔑 Lời giải

a) Giả sử trái lại $a\ge1$ và $b\ge1$. Khi đó $a+b\ge2$, mâu thuẫn với $a+b<2$. Vậy phải có một số nhỏ hơn $1$.

b) Giả sử $x+y+xy=-1$. Khi đó $x+y+xy+1=0\Leftrightarrow(x+1)(y+1)=0$, suy ra $x=-1$ hoặc $y=-1$ — mâu thuẫn giả thiết. Vậy $x+y+xy\ne-1$.

c) Vì $x^2\ge0$ và $y^2\ge0$ nên tổng $x^2+y^2=0$ chỉ xảy ra khi $x^2=0$ và $y^2=0$, tức $x=0$ và $y=0$.