Tập hợp — Lời giải chi tiết

Toán 10 · Chương 1: Mệnh đề và Tập hợp · Bài 2

✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm

📖 Lý thuyết 1

Cách xác định một tập hợp

Liệt kê: viết các phần tử trong dấu $\{\ \}$, mỗi phần tử chỉ viết một lần.
Tính chất đặc trưng: $X=\{x\mid x\ \text{có tính chất}\ P\}$ — tìm quy luật chung của các phần tử.
Biểu đồ Ven: minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín.

🔍 Luôn chú ý tập số chứa biến ($\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$): giải xong điều kiện rồi mới loại các nghiệm không thuộc tập số đó.

📖 Lý thuyết 2

Tập con · tập bằng nhau · tập rỗng

$A\subset B\Leftrightarrow(\forall x:\ x\in A\Rightarrow x\in B)$. Luôn có $\varnothing\subset A$ và $A\subset A$.
$A=B\Leftrightarrow(A\subset B$ và $B\subset A)$.
Nếu $A$ có $n$ phần tử thì $A$ có $2^n$ tập con; số tập con gồm đúng $2$ phần tử là $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
Tập rỗng $\varnothing$: không chứa phần tử nào.

✍ Bài tập luyện tập

1 Liệt kê phần tử và chỉ ra tính chất đặc trưng

a) Liệt kê: $A=\{n\in\mathbb N\mid 3

b) Liệt kê $D=\{x\in\mathbb R\mid(2x-x^2)(2x^2-3x-2)=0\}$.

c) Nêu tính chất đặc trưng: $E=\{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$; $\;F=\{1;2;3;4;6;9;12;18;36\}$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 1: giải điều kiện rồi chọn các phần tử thuộc đúng tập số đã cho.

$3
$|x|<3\Leftrightarrow-3
$-4<3k<12\Leftrightarrow-\dfrac43

b) $2x-x^2=0\Rightarrow x=0;\,2$; $2x^2-3x-2=0\Rightarrow x=2;\,-\dfrac12$. Vậy $D=\left\{-\dfrac12;\,0;\,2\right\}$.

c) $E=\{x\in\mathbb Z\mid |x|\le3\}$; $F=\{x\in\mathbb N\mid x\ \text{là ước của}\ 36\}$.

⚠️ Bẫy: ở $C$, biến điều kiện là $k$ chứ không phải $x$; giải $-\dfrac43

2 Biểu đồ Ven biểu diễn tập hợp

$A$ là tập học sinh lớp $10$ đang học ở trường, $B$ là tập học sinh đang học Tiếng Anh ở trường. Diễn đạt bằng lời $A\cap B,\ A\cup B,\ A\setminus B,\ B\setminus A$ và vẽ biểu đồ Ven.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 1: mỗi tập là một vòng kín; phần chung của hai vòng là phần giao.

$A\cap B$: học sinh lớp $10$ và đang học Tiếng Anh.
$A\cup B$: học sinh lớp $10$ hoặc đang học Tiếng Anh.
$A\setminus B$: học sinh lớp $10$ nhưng không học Tiếng Anh.
$B\setminus A$: học sinh học Tiếng Anh nhưng không thuộc lớp $10$.

3 Tập con và tập hợp bằng nhau

a) Tìm tất cả tập con của $B=\{1;2;3\}$ và của $A=\{a;b\}$.

b) Cho $X=\{1;2;3;4;5;6;7\}$. Có bao nhiêu tập con của $X$ gồm đúng $2$ phần tử? Tìm các tập con chứa cả $1;3;5;7$.

c) Xét quan hệ giữa $A=\{x\in\mathbb N\mid1\le x<4\}$ và $B=\{x\in\mathbb Z\mid x^2-9=0\}$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: tập $n$ phần tử có $2^n$ tập con; $A=B$ khi bao hàm cả hai chiều.

$B=\{1;2;3\}$ có $2^3=8$ tập con: $\varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1;2\},\{1;3\},\{2;3\},\{1;2;3\}$.
$A=\{a;b\}$ có $2^2=4$ tập con: $\varnothing,\{a\},\{b\},\{a;b\}$.

b) Số tập con gồm $2$ phần tử $=\dfrac{7\cdot6}{2}=$ $21$. Tập con chứa sẵn $\{1;3;5;7\}$ chỉ cần thêm tuỳ ý từ $\{2;4;6\}$, có $2^3=$ $8$ tập.

c) $A=\{1;2;3\}$, $B=\{-3;3\}$. Vì $2\in A,\ 2\notin B$ và $-3\in B,\ -3\notin A$ nên $A\not\subset B$ và $B\not\subset A$ (hai tập không bao hàm nhau).

4 Tập hợp rỗng

a) Tìm $m$ để mỗi tập rỗng: $A=\{x\in\mathbb R\mid x2m+1\}$; $\;B=\{x\in\mathbb R\mid x^2-2x+m=0\}$.

b) Tập nào rỗng? $C=\{x\in\mathbb Z\mid |x|<1\}$; $\;D=\{x\in\mathbb R\mid x^2-x+1=0\}$; $\;E=\{x\in\mathbb Q\mid x^2-4x+2=0\}$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: tập nghiệm bậc hai rỗng khi $\Delta<0$; khoảng $\{x\mid\alpha

$A=\varnothing\Leftrightarrow m\le 2m+1\Leftrightarrow m\ge-1$.
$B=\varnothing\Leftrightarrow x^2-2x+m=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow\Delta'=1-m<0\Leftrightarrow m>1$.

$C=\{x\in\mathbb Z\mid |x|<1\}=\{0\}\ne\varnothing$.
$D=\varnothing$ vì $x^2-x+1=0$ có $\Delta=-3<0$.
$E=\varnothing$ vì $x^2-4x+2=0$ cho $x=2\pm\sqrt2\notin\mathbb Q$.

⚠️ Bẫy: $|x|<1$ với $x\in\mathbb Z$ vẫn còn $x=0$ nên $C$ không rỗng; đừng vội kết luận rỗng chỉ vì khoảng $(-1;1)$ “ngắn”.

⚠️ Chú ý ghi nhớ

Liệt kê: mỗi phần tử một lần; luôn loại nghiệm không thuộc tập số ($\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb Q,\mathbb R$).
Số tập con: $2^n$ tập con; số tập con $2$ phần tử là $\dfrac{n(n-1)}{2}$.
Tập rỗng: bậc hai vô nghiệm ($\Delta<0$); khoảng $\{x\mid\alpha
$A=B$ phải kiểm tra cả hai chiều bao hàm.