Các phép toán trên tập hợp — Lời giải chi tiết
Toán 10 · Chương 1: Mệnh đề và Tập hợp · Bài 3
Giao · hợp · hiệu · phần bù
- $A\cap B=\{x\mid x\in A$ và $x\in B\}$ · $A\cup B=\{x\mid x\in A$ hoặc $x\in B\}$.
- $A\setminus B=\{x\mid x\in A$ và $x\notin B\}$. Khi $B\subset A$ thì $A\setminus B$ là phần bù $C_AB$; đặc biệt $C_{\mathbb R}A=\mathbb R\setminus A$.
- Với khoảng/đoạn nên vẽ trục số rồi lấy phần chung (giao), phần gộp (hợp), phần còn lại (hiệu).
Số phần tử · bài toán tham số
- $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$; bài ba tập hợp dùng biểu đồ Ven, đặt ẩn cho từng miền.
- Bài chứa tham số: luôn đặt điều kiện tập khác rỗng trước, rồi dịch yêu cầu đề thành bất phương trình theo tham số.
- $A\subset B$ (đoạn/khoảng) ⟺ so sánh đồng thời hai đầu mút.
1 Phép giao hai tập hợp
Tìm $A\cap B$: a) $A=\{0;1;2;3;4\}$, $B=\{2;3;4;5;6\}$. b) $A=(-1;3)$, $B=(0;5]$. c) $A$ là ước tự nhiên của $18$, $B$ là ước tự nhiên của $30$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: $A\cap B$ lấy phần tử thuộc đồng thời cả hai tập.a) Phần chung: $A\cap B=\{2;3;4\}$.
b) Trên trục số, phần chung của $(-1;3)$ và $(0;5]$ là $A\cap B=(0;3)$.
c) $A=\{1;2;3;6;9;18\}$, $B=\{1;2;3;5;6;10;15;30\}$ nên $A\cap B=\{1;2;3;6\}$ (các ước chung).
2 Phép hợp hai tập hợp
Tìm $A\cup B$: a) $A=\{0;1;2;3;4\}$, $B=\{2;3;4;5;6\}$. b) $A=(-1;3)$, $B=(0;5]$. c) $A=[-2;7)$, $B=[1;9]$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: $A\cup B$ gộp tất cả phần tử, phần tử chung kể một lần.a) $A\cup B=\{0;1;2;3;4;5;6\}$.
b) $A\cup B=(-1;5]$.
c) Hai nửa khoảng/đoạn giao nhau nên gộp lại: $A\cup B=[-2;9]$.
3 Phép hiệu và phần bù
a) $A=\{0;1;2;3;4\}$, $B=\{2;3;4;5;6\}$: tìm $A\setminus B$, $B\setminus A$.
b) $E=\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$, $A=\{1;2;3;4\}$, $B=\{2;4;6;8\}$: tìm $C_E A$, $C_E B$, $C_E(A\cup B)$, $C_E A\cap C_E B$ và kiểm tra De Morgan.
c) $A=(2;+\infty)$: tìm $C_{\mathbb R}A$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: $A\setminus B$ giữ phần tử của $A$ mà không thuộc $B$; $C_{\mathbb R}A=\mathbb R\setminus A$.a) $A\setminus B=\{0;1\}$, $B\setminus A=\{5;6\}$.
b) $C_E A=\{5;6;7;8;9\}$; $C_E B=\{1;3;5;7;9\}$; $A\cup B=\{1;2;3;4;6;8\}$ nên $C_E(A\cup B)=\{5;7;9\}$; $C_E A\cap C_E B=\{5;7;9\}$.
Hai kết quả bằng nhau, đúng luật De Morgan: $C_E(A\cup B)=C_E A\cap C_E B$.
c) $C_{\mathbb R}(2;+\infty)=\mathbb R\setminus(2;+\infty)=(-\infty;2]$.
4 Bài toán về số phần tử
a) Lớp $10A$ có $45$ học sinh: $25$ thích Văn, $20$ thích Toán, $18$ thích Sử, $6$ không thích môn nào, $5$ thích cả ba môn. Hỏi có bao nhiêu em chỉ thích đúng một môn?
b) Một lớp có $25$ học sinh giỏi Toán, $23$ giỏi Lý, $14$ giỏi cả hai, $6$ không giỏi môn nào. Lớp có bao nhiêu học sinh?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: dùng số em “ít nhất một môn” và công thức Ven.a) Số em thích ít nhất một môn $=45-6=39$. Gọi $S_1,S_2,S_3$ là số em thích đúng $1,2,3$ môn. Tổng lượt thích $=25+20+18=63$ đếm em đúng $1$ môn một lần, đúng $2$ môn hai lần, đúng $3$ môn ba lần:
$\;S_1+2S_2+3S_3=63$ và $S_1+S_2+S_3=39$, với $S_3=5$.
Trừ hai phương trình: $S_2+2S_3=24\Rightarrow S_2=24-10=14$. Vậy $S_1=39-14-5=$ $20$ em chỉ thích đúng một môn.
b) Số em giỏi ít nhất một môn $=25+23-14=34$; thêm $6$ em không giỏi môn nào: lớp có $34+6=$ $40$ học sinh.
5 Kết hợp nhiều phép toán — Tìm tham số
a) $A=[-4;1]$, $B=[-3;m]$. Tìm $m$ để (1) $A\cap B=[-3;1]$; (2) $A\cup B=A$.
b) $A=[-2;3]$, $B=(m;m+6)$. Tìm $m$ để $A\subset B$.
c) $A=(m-1;4]$, $B=(-2;2m+2)$ khác rỗng. Tìm $m$ để (1) $A\cap B\ne\varnothing$; (2) $B\subset A$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: biểu diễn trên trục số, đặt điều kiện khác rỗng rồi so sánh đầu mút.a) ($B=[-3;m]$ cần $m\ge-3$.)
- (1) $A\cap B=[-3;1]\Leftrightarrow m\ge1$ (để đầu phải của giao đạt tới $1$).
- (2) $A\cup B=A\Leftrightarrow B\subset A\Leftrightarrow m\le1$. Kết hợp $m\ge-3$: $\;-3\le m\le1$.
b) $A\subset B\Leftrightarrow\begin{cases}m<-2\\ m+6>3\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m<-2\\ m>-3\end{cases}\Leftrightarrow -3 c) Điều kiện khác rỗng: $m-1<4$ và $2m+2>-2$, tức $-2
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Vẽ trục số khi làm việc với khoảng/đoạn; cẩn thận ngoặc vuông “$[\,]$” (lấy đầu mút) và tròn “$(\,)$” (không lấy).
- Phần bù: $C_{\mathbb R}A=\mathbb R\setminus A$; đầu mút bị loại ở $A$ sẽ được lấy trong phần bù.
- Số phần tử: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$; ba tập thì vẽ Ven và đặt ẩn từng miền.
- Tham số: điều kiện khác rỗng trước → so sánh đồng thời hai đầu mút.