Ôn tập chương I — Lời giải chi tiết

Toán 10 · Chương 1: Mệnh đề và Tập hợp · Ôn tập

📝 Phần 1 — Trắc nghiệm (giải thích đáp án)

1 Mười câu trắc nghiệm

Câu 1. Phát biểu nào là một mệnh đề? A. Mùa thu Hà Nội đẹp quá! B. Bạn có đi học không? C. Đề thi môn Toán khó quá! D. Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.

A, B, C là câu cảm thán/câu hỏi nên không là mệnh đề. Chọn D.

Câu 2. Mệnh đề phủ định của “$\forall x\in\mathbb R,\ x^2+3x+5>0$” là: A. $\forall x\in\mathbb R,\ x^2+3x+5>0$ B. $\exists x\in\mathbb R,\ x^2+3x+5\le0$ C. $\forall x\in\mathbb R,\ x^2+3x+5<0$ D. $\exists x\in\mathbb R,\ x^2+3x+5>0$

Đổi $\forall\to\exists$ và “$>$” thành “$\le$”. Chọn B.

Câu 3. Chọn mệnh đề đúng: A. $\forall x\in\mathbb R,\ x+1>x$ B. $\forall x\in\mathbb R,\ |x|=x$ C. $\exists x\in\mathbb R,\ x-3=x^2$ D. $\exists x\in\mathbb R,\ x^2<0$

A đúng vì $x+1>x$ luôn đúng. B sai khi $x<0$; C sai vì $x^2-x+3=0$ có $\Delta<0$; D sai vì $x^2\ge0$. Chọn A.

Câu 4. Mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng? A. Nếu $a,b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a+b$ chia hết cho $c$. B. Nếu hai tam giác bằng nhau thì diện tích bằng nhau. C. Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $9$. D. Nếu một số tận cùng bằng $0$ thì chia hết cho $5$.

Đảo của C là “$a\,\vdots\,9\Rightarrow a\,\vdots\,3$” — đúng. Các đảo còn lại đều sai. Chọn C.

⚠️ Lưu ý: bản thân mệnh đề C (“$a\,\vdots\,3\Rightarrow a\,\vdots\,9$”) sai, nhưng đề hỏi mệnh đề đảo đúng — phải xét $Q\Rightarrow P$, không phải $P\Rightarrow Q$.

Câu 5. Cho $X=\{a;b;c\}$. Số tập con của $X$ là: A. $4$ B. $6$ C. $8$ D. $12$

$X$ có $3$ phần tử nên có $2^3=8$ tập con. Chọn C.

Câu 6. $X=\{1;5\}$, $Y=\{1;3;5\}$. Tập $X\cap Y$ là: A. $\{1\}$ B. $\{1;3\}$ C. $\{1;3;5\}$ D. $\{1;5\}$

$X\subset Y$ nên $X\cap Y=X=\{1;5\}$. Chọn D.

Câu 7. $A=\{1;2;3;4;5\}$, $B=\{1;3;5;7;9\}$. Tập $A\cap B$ là: A. $\{1;3;5\}$ B. $\{1;2;3;4;5\}$ C. $\{2;4;6;8\}$ D. $\{1;2;3;4;5;7;9\}$

Phần chung là $\{1;3;5\}$. Chọn A.

Câu 8. $A=[-5;3)$, $B=(1;+\infty)$. Khi đó $A\cap B$ là: A. $(1;3)$ B. $(1;3]$ C. $[-5;+\infty)$ D. $[-5;1]$

Phần chung trên trục số là $(1;3)$ (đầu $3$ mở vì $A$ mở tại $3$). Chọn A.

Câu 9. $A=(-\infty;-1]$, $B=(-2;+\infty)$. Khi đó $A\cup B$ là: A. $(-2;+\infty)$ B. $(-2;-1]$ C. $\mathbb R$ D. $\varnothing$

Vì $-2<-1$ nên hai tập đã phủ kín trục số: $A\cup B=\mathbb R$. Chọn C.

Câu 10. Một lớp có $25$ giỏi Toán, $23$ giỏi Lý, $14$ giỏi cả hai, $6$ không giỏi môn nào. Lớp có bao nhiêu học sinh? A. $54$ B. $40$ C. $26$ D. $68$

Giỏi ít nhất một môn $=25+23-14=34$; cả lớp $=34+6=40$. Chọn B.

✍ Phần 2 — Tự luận

2 Mệnh đề và phủ định

a) Xét tính đúng sai và nêu phủ định: “$\forall x\in\mathbb R,\ x^2-x+1>0$”.

b) Lập mệnh đề đảo và xét tính đúng sai của: “Nếu $a\,\vdots\,6$ thì $a\,\vdots\,3$”.

🔑 Lời giải

a) $x^2-x+1=\left(x-\dfrac12\right)^2+\dfrac34\ge\dfrac34>0$ với mọi $x$, nên mệnh đề đúng. Phủ định: “$\exists x\in\mathbb R,\ x^2-x+1\le0$” (mệnh đề này sai).

b) Mệnh đề gốc đúng. Đảo: “Nếu $a\,\vdots\,3$ thì $a\,\vdots\,6$” — sai, phản ví dụ $a=3$ ($3\,\vdots\,3$ nhưng $3\not\vdots\,6$).

3 Tập hợp

a) Liệt kê $A=\{x\in\mathbb Z\mid |x|<3\}$ và nêu tính chất đặc trưng của $B=\{2;3;5;7\}$.

b) Cho $C=\{x\in\mathbb R\mid x^2-2x+m=0\}$. Tìm $m$ để $C=\varnothing$.

🔑 Lời giải

a) $|x|<3\Leftrightarrow-3

b) $C=\varnothing\Leftrightarrow x^2-2x+m=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow\Delta'=1-m<0\Leftrightarrow$ $m>1$.

4 Các phép toán trên tập hợp

a) $A=[-2;3]$, $B=[1;5]$, $C=[0;1)$. Tìm $(A\setminus B)\cap C$ và $A\cup B$.

b) $A=[m-3;m+2]$, $B=(-3;5)$. Tìm các giá trị nguyên của $m$ để $A\subset B$.

🔑 Lời giải

a) $A\setminus B=[-2;1)$ (bỏ phần $[1;5]$ khỏi $[-2;3]$). Khi đó $(A\setminus B)\cap C=[-2;1)\cap[0;1)=[0;1)$. $A\cup B=[-2;5]$.

b) $A\subset B\Leftrightarrow\begin{cases}m-3>-3\\ m+2<5\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}m>0\\ m<3\end{cases}\Leftrightarrow 0$m\in\{1;2\}$.

⚠️ Bẫy ngoặc: $B=(-3;5)$ là khoảng mở nên điều kiện là $m-3>-3$ (dấu “$>$” chứ không phải “$\ge$”); nếu lấy “$\ge$” sẽ thừa giá trị $m=0$.

⚠️ Chú ý ghi nhớ

Trắc nghiệm: cảnh giác bẫy nhầm dấu khi phủ định, nhầm ngoặc vuông/tròn ở đầu mút, và phân biệt mệnh đề với mệnh đề đảo.
Bài số phần tử: phân biệt “ít nhất một”, “chỉ một”, “cả hai/ba” — nên vẽ biểu đồ Ven.
Bài tham số: đặt điều kiện tập khác rỗng trước; $A\subset B$ so sánh đồng thời hai đầu mút, đúng loại ngoặc.