CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP

Bài 1. Mệnh đề

I. Lý thuyết

1. Mệnh đề

• Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
• Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

Ví dụ 1: Mặt trời mọc phía đông: Giá trị: đúng. Kéo theo phát biểu: “Mặt trời mọc phía đông” là mệnh đề. (Tính đúng sai của mệnh đề này phù thuộc vào Quy ước mà cả thế giới công nhận)

Ví dụ 2: “Thầy Mười đẹp trai.”: Với Thầy Mười; là đúng; với người khác thì nó không đúng, vì họ có thể đẹp trai hơn. Câu này Không có tính đúng sai. Nên nó không là mệnh đề.

• Mệnh đề thì cần có Quy Ước.
• Chúng ta không xem xét câu nói vừa đúng vừa sai.

Bài 1. Nhận biết mệnh đề

Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

a) Số 11 là số chẵn.

b) Bạn có chăm học không?

c) Huế là một thành phố của Việt Nam.

d) $2x+3$ là một số nguyên dương.

e) $2 - \sqrt{5} < 0$.

f) $4 + x = 3$.

g) Hãy trả lời câu hỏi này!

h) Paris là thủ đô nước Ý.

i) Phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ có nghiệm.

k) 13 là một số nguyên tố.

Lời giải a) Số 11 là số chẵn.

Có là mệnh đề: Giá trị: đúng (tin học hay quy ước: 1). Tại sao lại đúng: Quy ước số chẵn là số nguyên chia hết cho 2 (hoặc chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8).

b) Bạn có chăm học không?

Không là mệnh đề: Câu hỏi, phụ thuộc vào mỗi người.

• Câu hỏi, câu cảm thán, câu ý kiến cá nhân thì sẽ không là mệnh đề

c) Huế là một thành phố của Việt Nam.

Có là mệnh đề: Giá trị: đúng. Dựa vào bộ luật của Việt Nam (Mang tính thời điểm)

d) $2x+3$ là một số nguyên dương.

Mệnh đề chứa biến: nó phụ thuộc vào giá trị của $x$ (bàn trong phần mệnh chứa biến.)

e) $2 - \sqrt{5} < 0$.

Có là mệnh đề; Giá trị: Đúng; Vì $2=\sqrt{4}\lt \sqrt{5}$ có $2-\sqrt{5}\lt 0.$

f) $4 + x = 3$.

Là mệnh đề chứa biến: phụ thuộc vào giá trị của $x$.

g) Hãy trả lời câu hỏi này!

h) Paris là thủ đô nước Ý.

i) Phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ có nghiệm.

Có là mệnh đề; giá trị: Sai vì $\Delta =1^2-4=-3\lt 0.$ (Ôn lại cách giải phương trình bậc 2. $\Delta \geq 0$ thì $x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$)

k) 13 là một số nguyên tố.

Có là mệnh đề; giá trị: đúng. (Khái niệm số nguyên tố: là số nguyên dương lớn hơn 1 và chỉ có 2 ước dương là 1 và chính nó.) (Ôn lại số học: Hợp số: là số nguyên dương lớn hơn 1 và có nnhieuef hơn 2 ước dương. )

2. Mệnh đề phủ định

Cho mệnh đề P.

• Mệnh đề “Không phải $P$” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là $\overline{P}$.
• Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

  Bài 2. Mệnh đề phủ định

Viết mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) Số 11 là số chẵn.

b) Huế là một thành phố của Việt Nam.

c) $2 - \sqrt{5} < 0$.

d) Paris là thủ đô nước Ý.

e) Phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ có nghiệm.

f) 13 là một số nguyên tố.

Lời giải

• Kí hiệu mệnh đề:

A = “Số 11 là số chẵn.”

$\overline{A}$= “Số 11 là số lẽ” = “Số 11 không là số chẵn.”

B= “Huế là một thành phố của Việt Nam.”

$\overline{B}$ = “Huế không là một thành của Việt Nam.”

C= “$2 - \sqrt{5} < 0$.”

$\overline{C}$ = “$2 - \sqrt{5} \geq 0$.”

d) Paris là thủ đô nước Ý.

E= “Phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ có nghiệm.”

$\overline{E}$ =”Phương trình $x^2-x+1=0$ vô nghiệm.” (không có nghiệm; “vô” là Hán Việt)

F= “13 là một số nguyên tố.”

$\overline{F}$ = “13 không là số nguyên tố.”

3. Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$.

• Mệnh đề “Nếu $P$ thì $Q$” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P \Rightarrow Q$.
• Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. (Các trường hợp còn lại là đúng)

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
1 (Đúng)	1	1	Xem xét (Từ giả thiết: đúng suy ra đúng: được điểm)
1	0 (Sai)	0 (Sai)	Xem xét (Từ giả thiết: đúng suy ra sai thì lập luận là sai: không được điểm)
0	1	1	Mệnh đề ngớ ngẩn (Không xem xét)
0	0	1	Mệnh đề ngớ ngẩn (không xem xét)

(Bảng giá trị chân lý: 1: đúng; 0 là sai)

• Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng $P \Rightarrow Q$. Khi đó:
  • $P$ là giả thiết, $Q$ là kết luận;
  • $P$ là điều kiện đủ để có $Q$;
  • $Q$ là điều kiện cần để có $P$.

(Tên gọi giả thiết, kết luận, điều kiện đủ, điều kiện cần là rất quan trọng đi theo quy ước chung. Người khác nói mà ta hiểu khái niệm)

Bài 2. Xem xét tính đúng sai của mệnh đề với dạng số học và đại số

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3.

b) Nếu $a \ge b$ thì $a^2 \ge b^2$.

c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6.

d) Số $\pi$ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.

e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

f) 81 là một số chính phương.

g) $5 > 3$ hoặc $5 < 3$.

h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

Lời giải

a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3.

$P$=”Nếu a chia hết cho 9”: Có từ “Nếu” nên $P$ là đúng:

$Q$=”a chia hết cho 3.”

$a$ chia hết cho 9 nghĩa là $a=9.k, k\in \mathbb{Z}$ như vậy $a=3.(3k), 3k\in\mathbb{Z}$ do đó: $a$ chia hết 3. Ta có $Q$ là đúng.

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$
1	1	1

Mệnh đề $P\Rightarrow Q$ là đúng

b) Nếu $a \ge b$ thì $a^2 \ge b^2$.

P = $a \ge b$; Q = $a^2 \ge b^2$.

Với $a=-1$; $b=-2$ thì $a\geq b$; $a^2=1$; $b^2=4$ nên $a^2\lt b^2$. Nên $P\Rightarrow Q$ là sai.

c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6.

$a=15$ chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6. Nên mệnh đề sai.

d) Số $\pi$ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.

$\pi \approx 3,14$ nên $2\lt \pi\lt 4$. (Mệnh đề đúng)

e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

(Khái niệm 2 số nguyên tố cùng nhau: là 2 số nguyên có ước chung lớn nhất là 1.)

Ư(2)= ${1;2}$; Ư(3)=${1;3}$; ƯCLN(2;3)=1. Nên mệnh đề đúng.

f) 81 là một số chính phương.

(Số chính phương là số có dạng $n^{2}, n\in \mathbb{Z}$)

$81=9^2$ nên $81$ là một số chính phương (Mệnh đề đúng)

g) $5 > 3$ hoặc $5 < 3$.

(Nâng cao: Toán tử hoặc: 1 trong 2 đúng thì nó đúng): $5\gt 3$ đúng: nên mệnh đề đúng.

h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

15 chia hết cho 5 nên mệnh đề: “Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.” có giá trị đúng.

4. Mệnh đề đảo

• Cho mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$.

5. Mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$.

• Mệnh đề “$P$ nếu và chỉ nếu $Q$” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là $P \Leftrightarrow Q$.
• Mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng.

Bảng giá trị chân lý:

$P$	$Q$	$P\Rightarrow Q$	$Q\Rightarrow P$	$P\Leftrightarrow Q$
1	1	1	1	1
1	0	0	1	0
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

$P$ tương đương $Q$ nghĩa là $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai.

• Chú ý: Nếu mệnh đề $P \Leftrightarrow Q$ là một định lí thì ta nói $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$.

Bài 3. Xem xét tính đúng sai của mệnh đề với hình học

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng $60^\circ$.

d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.

f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.

g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

Lời giải

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

P: "2 tam giác bằng nhau"

; Q: "2 tam giác có diện tích bằng nhau."

$P\Rightarrow Q$ : “2 tam giác bằng nhau thì diện tích chúng bằng nhau”; Giá trị chân lý: đúng: Tại sao: 3 cạnh tương ứng bằng nhau; $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (công thức Herong: $p$ là nửa chu vi; $a$; $b$; $c$ là 3 cạnh của tam giác).

$Q\Rightarrow P$: “2 tam giác có diện tích bằng nhau thì 2 tam giác bằng nhau.” Sai ở trường hợp tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông là: 3 và 4: S=3.4:2=6; và 2 cạnh góc vuông có độ dài là 2 và 6; S=2.6:2=6. Nhưng 2 tam giác vuông này không bằng nhau. $Q\Rightarrow P$ là sai.

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng $60^\circ$.

d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.

f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.

g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

6. Mệnh đề chứa biến

• Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập $X$ nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc $X$ ta được một mệnh đề.

7. Kí hiệu $\forall$ và $\exists$

• ”$\forall x \in X, P(x)$”
• ”$\exists x \in X, P(x)$”
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\forall x \in X, P(x)$” là “$\exists x \in X, \overline{P(x)}$”.
• Mệnh đề phủ định của mệnh đề “$\exists x \in X, P(x)$” là “$\forall x \in X, \overline{P(x)}$”.

8. Phép chứng minh phản chứng

Giả sử ta cần chứng minh định lí: $A \Rightarrow B$.

• Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
• Cách 2 (Chứng minh phản chứng): Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

9. Bổ sung

Cho hai mệnh đề P và Q.

• Mệnh đề “P và Q” được gọi là giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là $P \wedge Q$.
• Mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là $P \vee Q$.
• Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: $\overline{P \wedge Q} = \overline{P} \vee \overline{Q}$ và $\overline{P \vee Q} = \overline{P} \wedge \overline{Q}$.

---

II. BÀI TẬP

Bài 1. Nhận biết mệnh đề

Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

a) Số 11 là số chẵn.

b) Bạn có chăm học không?

c) Huế là một thành phố của Việt Nam.

d) $2x+3$ là một số nguyên dương.

e) $2 - \sqrt{5} < 0$.

f) $4 + x = 3$.

g) Hãy trả lời câu hỏi này!

h) Paris là thủ đô nước Ý.

i) Phương trình $x^2 - x + 1 = 0$ có nghiệm.

k) 13 là một số nguyên tố.

Bài 2. Xem xét tính đúng sai của mệnh đề với dạng số học và đại số

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

a) Nếu a chia hết cho 9 thì a chia hết cho 3.

b) Nếu $a \ge b$ thì $a^2 \ge b^2$.

c) Nếu a chia hết cho 3 thì a chia hết cho 6.

d) Số $\pi$ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.

e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.

f) 81 là một số chính phương.

g) $5 > 3$ hoặc $5 < 3$.

h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

Bài 3. Xem xét tính đúng sai của mệnh đề với hình học

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.

c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng $60^\circ$.

d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.

e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.

f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.

g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

Bài 4. Mệnh đề $\forall, \exists$

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

a) $\forall x \in R, x^2 > 0$.

b) $\exists x \in R, x > x^2$.

c) $\exists x \in Q, 4x^2 - 1 = 0$.

d) $\forall n \in N, n^2 > n$.

e) $\forall x \in R, x^2 - x + 1 > 0$.

f) $\forall x \in R, x^2 > 9 \Rightarrow x > 3$.

g) $\forall x \in R, x > 3 \Rightarrow x^2 > 9$.

h) $\forall x \in R, x^2 < 5 \Rightarrow x < \sqrt{5}$.

i) $\exists x \in R, 5x - 3x^2 \le 1$.

k) $\exists x \in N, x^2 + 2x + 5$ là hợp số.

l) $\forall n \in N, n^2 + 1$ không chia hết cho 3.

m) $\forall n \in N^*, n(n+1)$ là số lẻ.

n) $\forall n \in N^*, n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 6.

Bài 5. Toán tử “và”, “hoặc”

Điền vào chỗ trống từ nối “và” hay “hoặc” để được mệnh đề đúng:

a) $\pi < 4$ …. $\pi > 5$.

b) $ab = 0$ khi $a = 0$ …. $b = 0$.

c) $ab \ne 0$ khi $a \ne 0$ …. $b \ne 0$.

d) $ab > 0$ khi ($a > 0$ …. $b > 0$) …. ($a < 0$ …. $b < 0$).

e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 …. cho 3.

f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 …. bằng 5.

Bài 6. Tìm $x$ để $P(x)$ đúng

Cho mệnh đề chứa biến $P(x)$, với $x \in R$. Tìm $x$ để $P(x)$ là mệnh đề đúng:

a) $P(x)$: ‘‘$x^2 - 5x + 4 = 0$’’

b) $P(x)$: “$x^2 - 5x + 6 = 0$”

c) $P(x)$: “$x^2 - 3x > 0$”

d) $P(x)$: “$\sqrt{x} \ge x$”

e) $P(x)$: “$2x + 3 \le 7$”

f) $P(x)$: “$x^2 + x + 1 > 0$”

Bài 7. Mệnh đề phủ định

Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.

b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.

c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.

d) Số tự nhiên n có ước số bằng 1 và bằng n.

Bài 8. Phủ định mệnh đề $\forall, \exists$

Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) $\forall x \in R: x^2 > 0$.

b) $\exists x \in R: x > x^2$.

c) $\exists x \in Q: 4x^2 - 1 = 0$.

d) $\forall x \in R: x^2 - x + 7 > 0$.

e) $\forall x \in R: x^2 - x - 2 < 0$.

f) $\exists x \in R: x^2 = 3$.

g) $\forall n \in N, n^2 + 1$ không chia hết cho 3.

h) $\forall n \in N, n^2 + 2n + 5$ là số nguyên tố.

i) $\forall n \in N, n^2 + n$ chia hết cho 2.

k) $\forall n \in N, n^2 - 1$ là số lẻ.

Bài 9. Điều kiện cần, điều kiện đủ cho đại số

Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.

b) Nếu $a + b > 0$ thì một trong hai số a và b phải dương.

c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.

d) Nếu $a = b$ thì $a^2 = b^2$.

e) Nếu $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$.

Bài 10. Điều kiện cần, điều kiện đủ cho hình học

Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.

b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.

e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.

Bài 11. Điều kiện cần, điều kiện đủ cho hình học (tiếp)

Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”:

a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.

c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.

d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.

e) Số tự nhiên n là số lẻ khi và chỉ khi $n^2$ là số lẻ.

Bài 12. Phương pháp phản chứng

Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:

a) Nếu $a + b < 2$ thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.

b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn $60^\circ$.

c) Nếu $x \ne -1$ và $y \ne -1$ thì $x + y + xy \ne -1$.

d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn.

e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

g) Nếu $x^2 + y^2 = 0$ thì $x = 0$ và $y = 0$.