Bài 1. Hàm số

1. Định nghĩa

Cho $D \subset R, D \ne \emptyset$. Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tương ứng mỗi số $x \in D$ với một và chỉ một số $y \in R$.
x được gọi là biến số (đối số), y được gọi là giá trị của hàm số f tại x. Kí hiệu: $y = f(x)$.
D được gọi là tập xác định của hàm số.
$T = \{y = f(x) | x \in D\}$ được gọi là tập giá trị của hàm số.

2. Cách cho hàm số

Cho bằng bảng.
Cho bằng biểu đồ.
Cho bằng công thức $y = f(x)$.
- Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức $f(x)$ có nghĩa.

3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm $M(x, f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ với mọi $x \in D$.
Chú ý: Ta thường gặp đồ thị của hàm số $y = f(x)$ là một đường. Khi đó ta nói $y = f(x)$ là phương trình của đường đó.

4. Sự biến thiên của hàm số

Cho hàm số f xác định trên K.

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến (tăng) trên K nếu $\forall x_1, x_2 \in K: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến (giảm) trên K nếu $\forall x_1, x_2 \in K: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.

5. Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số $y = f(x)$ có tập xác định D.

Hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = f(x)$.
Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với $\forall x \in D$ thì $-x \in D$ và $f(-x) = -f(x)$.
Chú ý:
- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
- Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng.

VẤN ĐỀ 1: Tìm tập xác định của hàm số

Phương pháp:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = f(x)$ là tìm tất cả những giá trị của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa: $D = \{x \in R | f(x) \text{ có nghĩa}\}$.

Điều kiện xác định của một số hàm số thường gặp:

Hàm số $y = \frac{P(x)}{Q(x)}$: Điều kiện xác định là $Q(x) \ne 0$.
Hàm số $y = \sqrt{R(x)}$: Điều kiện xác định là $R(x) \ge 0$.

Chú ý:

Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện với nhau.
Điều kiện để hàm số xác định trên tập A là $A \subset D$.
$A \cdot B \ne 0 \Leftrightarrow \begin{cases} A \ne 0 \\ B \ne 0 \end{cases}$.

Bài 1. Tính giá trị của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

$f(x) = -5x$. Tính $f(0), f(2), f(-2), f(3)$.
$f(x) = \frac{x-1}{2x^2 - 3x + 1}$. Tính $f(2), f(0), f(3), f(-2)$.
$f(x) = 2|x-1| + 3|x| - 2$. Tính $f(2), f(-2), f(0), f(1)$.
$f(x) = \begin{cases} \frac{x-1}{2} & \text{khi } x < 0 \\ \sqrt{x+1} & \text{khi } 0 \le x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{khi } x > 2 \end{cases}$. Tính $f(-2), f(0), f(1), f(2), f(3)$.
$f(x) = \begin{cases} -1 & \text{khi } x < 0 \\ 0 & \text{khi } x = 0 \\ 1 & \text{khi } x > 0 \end{cases}$. Tính $f(-2), f(-1), f(0), f(2), f(5)$.

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

$y = \frac{2x+1}{3x+2}$
$y = \frac{x-3}{5-2x}$
$y = \frac{4}{x+4}$
$y = \frac{x}{x^2 - 3x + 2}$
$y = \frac{x-1}{2x^2 - 5x + 2}$
$y = \frac{3x}{x^2 + x + 1}$
$y = \frac{x-1}{x^3 + 1}$
$y = \frac{2x+1}{(x-2)(x^2 - 4x + 3)}$
$y = \frac{1}{x^4 + 2x^2 - 3}$

Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

$y = \sqrt{2x-3}$
$y = \sqrt{|2x-3|}$
$y = \sqrt{4-x} + \sqrt{x+1}$
$y = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3}$
$y = \frac{1}{(x+2)\sqrt{x-1}}$
$y = \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}$
$y = \frac{\sqrt{5-2x}}{(x-2)\sqrt{x-1}}$
$y = \sqrt{2x-1} + \sqrt{\frac{1}{3-x}}$
$y = \sqrt{x+3} + \frac{1}{x^2-4}$

Bài 4. Tìm a để hàm số xác định trên tập K đã chỉ ra:

$y = \frac{2x+1}{x^2 - 6x + a - 2}$; $K = R$. (ĐS: $a > 11$)
$y = \frac{3x+1}{x^2 - 2ax + 4}$; $K = R$. (ĐS: $-2 < a < 2$)
$y = \sqrt{x-a} + \sqrt{2x-a-1}$; $K = (0; +\infty)$. (ĐS: $a \le 0$)
$y = \sqrt{2x-3a+4} + \frac{x-a}{x+a-1}$; $K = (0; +\infty)$. (ĐS: $1 \le a \le \frac{4}{3}$)
$y = \sqrt{2x+a+1} + \frac{1}{x-a}$; $K = (1; +\infty)$. (ĐS: $-3 \le a \le 1$)
$y = \frac{1}{\sqrt{x-a}} + \sqrt{-x+2a+6}$; $K = (-1; 0)$. (ĐS: $-1 \le a \le 1$)

VẤN ĐỀ 2: Xét sự biến thiên của hàm số

Phương pháp:

Cho hàm số f xác định trên K.

$y=f(x)$ đồng biến trên $K \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in K, x_1 \ne x_2 \Rightarrow \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} > 0$.
$y=f(x)$ nghịch biến trên $K \Leftrightarrow \forall x_1, x_2 \in K, x_1 \ne x_2 \Rightarrow \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} < 0$.

Bài 1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã chỉ ra:

$y = 2x + 3$ trên $R$.
$y = -x + 5$ trên $R$.
$y = x^2 - 4x$ trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.
$y = 2x^2 + 4x + 1$ trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. (Lưu ý: đỉnh x=-1)
$y = \frac{4}{x+1}$ trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
$y = \frac{3}{2-x}$ trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$.

Bài 2. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định):

$y = (m-2)x + 5$
$y = (m+1)x + m-2$
$y = \frac{m}{x-2}$
$y = \frac{m+1}{x}$

VẤN ĐỀ 3: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

Phương pháp:

Để xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=f(x)$, ta tiến hành các bước sau:

Tìm tập xác định D của hàm số và xét xem D có là tập đối xứng hay không (tức là $\forall x \in D \Rightarrow -x \in D$).
Nếu D là tập đối xứng, so sánh $f(-x)$ với $f(x)$:
- Nếu $f(-x) = f(x), \forall x \in D$ thì f là hàm số chẵn.
- Nếu $f(-x) = -f(x), \forall x \in D$ thì f là hàm số lẻ.

Chú ý:

Nếu tồn tại $x_0 \in D$ mà $f(-x_0) \ne \pm f(x_0)$ hoặc D không là tập đối xứng thì f là hàm số không chẵn không lẻ.

Bài 1. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

$y = x^4 - 4x^2 + 2$
$y = -2x^3 + 3x$
$y = |x+2| - |x-2|$
$y = |2x+1| + |2x-1|$
$y = (x-1)^2$
$y = x^2 + x$
$y = \frac{x^4+4}{x^2}$
$y = \frac{|x+1|+|x-1|}{|x+1|-|x-1|}$
$y = 2x^2 - |x|$