Bài 1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Đổi đơn vị độ ↔ rađian · độ dài cung tròn · hệ thức cơ bản · cung liên kết · rút gọn và chứng minh.

✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm

📖 Lý thuyết 1

Đổi đơn vị đo góc và độ dài cung tròn

Quan hệ độ – rađian: $180^\circ = \pi$ rad, do đó $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ rad và $1\ \text{rad} = \dfrac{180^\circ}{\pi}$.
Đổi từ độ sang rad: nhân với $\dfrac{\pi}{180}$. Đổi từ rad sang độ: nhân với $\dfrac{180^\circ}{\pi}$.
Độ dài cung: cung có số đo $\alpha$ rad trên đường tròn bán kính $R$ có độ dài $\boxed{\ell = R\,\alpha}$ ($\alpha$ phải tính bằng rađian).
Suy ra số đo cung: $\alpha = \dfrac{\ell}{R}$ (rad).

📖 Lý thuyết 2

Hệ thức cơ bản & dấu của giá trị lượng giác

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$; $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$; $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$; $\tan\alpha\cdot\cot\alpha = 1$.
Dấu theo phần tư (nhớ câu “nhất cả – nhì sin – tam tan – tứ cos” mang dấu dương):

🔍 Quy trình khi biết một giá trị lượng giác: dùng hệ thức tính bình phương giá trị cần tìm, rồi chọn dấu dựa vào phần tư chứa điểm cuối của góc trước khi lấy căn.

📖 Lý thuyết 3

Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt

Đối nhau ($-\alpha$): $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$, còn $\sin,\tan,\cot$ đổi dấu — “cos đối”.
Bù nhau ($\pi-\alpha$): $\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$, ba cái còn lại đổi dấu — “sin bù”.
Phụ nhau ($\tfrac{\pi}{2}-\alpha$): $\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\big)=\cos\alpha$, $\cos\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\big)=\sin\alpha$, $\tan\leftrightarrow\cot$ — “phụ chéo”.
Hơn kém $\pi$: $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$, $\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$, $\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$, $\cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha$ — “hơn kém $\pi$ tang, côtang”.

✍ Bài tập luyện tập

1 Đổi đơn vị đo góc — độ dài cung tròn

a) Đổi sang rađian: $10^\circ$; $\;160^\circ$.

b) Đổi sang độ: $\dfrac{\pi}{8}$; $\;\dfrac{20\pi}{9}$.

c) Đường tròn $R=25$ m. Tính độ dài cung số đo $20^\circ$ và cung số đo $\dfrac{2\pi}{3}$.

d) Đường tròn $R=15$ m. Tính số đo (rad) của cung dài $50$ m và cung dài $10$ m.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 1: đổi $1^\circ=\tfrac{\pi}{180}$, $1\,\text{rad}=\tfrac{180^\circ}{\pi}$; độ dài cung $\ell=R\alpha$.

a) $10^\circ = 10\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{18}$; $160^\circ = 160\cdot\dfrac{\pi}{180} = \dfrac{8\pi}{9}$.

b) $\dfrac{\pi}{8} = \dfrac{\pi}{8}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} = 22^\circ 30'$ (tức $22{,}5^\circ$); $\dfrac{20\pi}{9} = \dfrac{20\pi}{9}\cdot\dfrac{180^\circ}{\pi} = 400^\circ$.

c) Đổi $20^\circ = \dfrac{\pi}{9}$ rad. Khi đó:

Cung $20^\circ$: $\ell = R\alpha = 25\cdot\dfrac{\pi}{9} = \dfrac{25\pi}{9} \approx 8{,}73$ m.
Cung $\dfrac{2\pi}{3}$: $\ell = 25\cdot\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{50\pi}{3} \approx 52{,}36$ m.

d) Số đo cung $\alpha = \dfrac{\ell}{R}$: cung dài $50$ m: $\alpha = \dfrac{50}{15} = \dfrac{10}{3}$ rad; cung dài $10$ m: $\alpha = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ rad.

⚠️ Bẫy: công thức $\ell=R\alpha$ chỉ đúng khi $\alpha$ tính bằng rađian. Với số đo độ phải đổi sang rad trước (như câu c đổi $20^\circ\to\tfrac{\pi}{9}$).

2 Tính giá trị lượng giác của một góc

a) $\sin\alpha=\dfrac{1}{5}$, $0\le\alpha<\dfrac{\pi}{2}$. Tính $\cos\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha$.

b) $\sin x=-\dfrac{3}{5}$, $\pi

c) $\tan\alpha=2$, $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$. Tính $\sin\alpha,\cos\alpha,\cot\alpha$.

d) $\cot x=2$. Tính $B=\dfrac{2\sin x+3\cos x}{3\sin x-2\cos x}$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: hệ thức cơ bản để tính bình phương, rồi chọn dấu theo phần tư.

a) $\alpha$ thuộc phần tư thứ nhất nên $\cos\alpha>0$: $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\dfrac{1}{25}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$.

$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{1/5}{2\sqrt6/5}=\dfrac{1}{2\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{12}$; $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=2\sqrt6$.

b) $\pi

$\tan x=\dfrac{-3/5}{-4/5}=\dfrac{3}{4}$; $\cot x=\dfrac{4}{3}$.

c) $\alpha$ thuộc phần tư I, mọi giá trị dương. Từ $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$:

$\dfrac{1}{\cos^2\alpha}=1+4=5\Rightarrow\cos^2\alpha=\dfrac15\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}$.

$\sin\alpha=\tan\alpha\cdot\cos\alpha=2\cdot\dfrac{\sqrt5}{5}=\dfrac{2\sqrt5}{5}$; $\cot\alpha=\dfrac12$.

d) Chia cả tử và mẫu cho $\sin x\ (\sin x\neq0)$ rồi thay $\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x=2$:

$B=\dfrac{2+3\cot x}{3-2\cot x}=\dfrac{2+3\cdot2}{3-2\cdot2}=\dfrac{8}{-1}=\boxed{-8}$.

⚠️ Bẫy: câu d không cần biết riêng $\sin x,\cos x$. Mẹo “chia cho $\sin x$ (hoặc $\cos x$)” biến mọi thứ về $\cot x$ (hoặc $\tan x$) đã cho.

3 Giá trị lượng giác của các góc liên quan đặc biệt

Cho $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$, $\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}$.

a) Rút gọn rồi tính $A=\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\big)+\sin(\pi+\alpha)$.

b) Tính $C=\cos(\pi-\alpha)+\cot\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\big)$.

c) Cho $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$. Xét dấu của $\cos(\alpha+\pi)$; $\tan(\alpha-\pi)$; $\sin\!\big(\alpha+\tfrac{2\pi}{5}\big)$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 3: phụ chéo, sin bù/hơn kém $\pi$, cos đối… để rút gọn về $\alpha$.

a) $\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\big)=\cos\alpha$ (phụ chéo), $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$.

$A=\cos\alpha-\sin\alpha=-\dfrac45-\dfrac35=\boxed{-\dfrac75}$.

b) $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$, $\cot\!\big(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\big)=\tan\alpha$.

Với $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac34$:

$C=-\cos\alpha+\tan\alpha=-\!\left(-\dfrac45\right)+\left(-\dfrac34\right)=\dfrac{16}{20}-\dfrac{15}{20}=\boxed{\dfrac{1}{20}}$.

c) Vì $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$ nên $\sin\alpha>0,\cos\alpha>0,\tan\alpha>0$.

$\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha<0$ → mang dấu âm.
$\tan(\alpha-\pi)=\tan\alpha>0$ → mang dấu dương.
$\alpha+\dfrac{2\pi}{5}\in\left(\dfrac{2\pi}{5};\dfrac{9\pi}{10}\right)$ tức $(72^\circ;162^\circ)\subset(0;\pi)$ nên $\sin\!\big(\alpha+\tfrac{2\pi}{5}\big)>0$ → mang dấu dương.

4 Rút gọn — chứng minh đẳng thức

Chứng minh các đẳng thức:

a) $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=2\cos^2\alpha-1$.

b) $\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$.

c) $\tan^2\alpha-\sin^2\alpha=\tan^2\alpha\cdot\sin^2\alpha$.

d) $\dfrac{\sin^2x-\cos^2x+\cos^4x}{\cos^2x-\sin^2x+\sin^4x}=\tan^4x$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: chìa khoá là $\sin^2+\cos^2=1$ cùng các hằng đẳng thức đại số.

a) $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$.

Thay $\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$: $=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)=2\cos^2\alpha-1$. (đpcm)

b) $\sin^6\alpha+\cos^6\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^3-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)$

$=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha\cdot1=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$. (đpcm)

c) $\tan^2\alpha-\sin^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha=\sin^2\alpha\!\left(\dfrac{1}{\cos^2\alpha}-1\right)=\sin^2\alpha\cdot\dfrac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}$

$=\sin^2\alpha\cdot\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\sin^2\alpha\cdot\tan^2\alpha$. (đpcm)

d) Biến đổi riêng tử và mẫu:

Tử: $\sin^2x-\cos^2x+\cos^4x=(1-\cos^2x)-\cos^2x+\cos^4x=1-2\cos^2x+\cos^4x=(1-\cos^2x)^2=\sin^4x$.
Mẫu: $\cos^2x-\sin^2x+\sin^4x=(1-\sin^2x)-\sin^2x+\sin^4x=1-2\sin^2x+\sin^4x=(1-\sin^2x)^2=\cos^4x$.

Vậy biểu thức $=\dfrac{\sin^4x}{\cos^4x}=\tan^4x$. (đpcm)

⚠️ Chú ý ghi nhớ

$\ell=R\alpha$ và $\alpha=\dfrac{\ell}{R}$ chỉ dùng với $\alpha$ theo rađian; gặp số đo độ phải đổi trước.
Khi khai căn để tìm $\sin,\cos$, luôn xác định dấu theo phần tư chứa điểm cuối của góc.
Cung liên kết: nhớ “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém $\pi$ thì tang – côtang”.
Với biểu thức đối xứng theo $\sin x,\cos x$ (như câu 2d): chia cho $\sin x$ hoặc $\cos x$ để đưa hết về $\tan x$ / $\cot x$ đã biết.