Bài 2. Công thức lượng giác
Công thức cộng · nhân đôi – hạ bậc · biến đổi tích ↔ tổng · kết hợp để rút gọn, chứng minh.
Công thức cộng
- $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ (dấu ngược với dấu trong ngoặc).
- $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$ (dấu cùng).
- $\tan(a\pm b)=\dfrac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}$.
Công thức nhân đôi, nhân ba và hạ bậc
- $\sin2a=2\sin a\cos a$; $\cos2a=\cos^2a-\sin^2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$; $\tan2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2a}$.
- Nhân ba: $\sin3a=3\sin a-4\sin^3a$; $\cos3a=4\cos^3a-3\cos a$.
- Hạ bậc: $\sin^2a=\dfrac{1-\cos2a}{2}$; $\cos^2a=\dfrac{1+\cos2a}{2}$.
Biến đổi tích ↔ tổng
- Tích → tổng: $\cos a\cos b=\tfrac12[\cos(a-b)+\cos(a+b)]$; $\sin a\sin b=\tfrac12[\cos(a-b)-\cos(a+b)]$; $\sin a\cos b=\tfrac12[\sin(a-b)+\sin(a+b)]$.
- Tổng → tích: $\cos u+\cos v=2\cos\tfrac{u+v}{2}\cos\tfrac{u-v}{2}$; $\cos u-\cos v=-2\sin\tfrac{u+v}{2}\sin\tfrac{u-v}{2}$;
- $\sin u+\sin v=2\sin\tfrac{u+v}{2}\cos\tfrac{u-v}{2}$; $\sin u-\sin v=2\cos\tfrac{u+v}{2}\sin\tfrac{u-v}{2}$.
1 Công thức cộng
a) Tính các giá trị lượng giác của góc $\dfrac{\pi}{12}$.
b) $\sin\alpha=\dfrac35$, $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Tính $\tan\!\big(\alpha+\tfrac{\pi}{3}\big)$.
c) $\sin\alpha=\dfrac45$, $\sin\beta=\dfrac{8}{17}$, $0<\alpha,\beta<\dfrac{\pi}{2}$. Tính $\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha-\beta)$.
d) $\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{3}$. Tính $A=(\cos\alpha+\cos\beta)^2+(\sin\alpha+\sin\beta)^2$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: tách góc thành hiệu/tổng các góc đặc biệt rồi áp dụng công thức cộng.a) Viết $\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}$:
- $\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4}+\sin\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$.
- $\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\tfrac{\pi}{3}\cos\tfrac{\pi}{4}-\cos\tfrac{\pi}{3}\sin\tfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$.
- $\tan\dfrac{\pi}{12}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{\sqrt6+\sqrt2}=2-\sqrt3$; $\cot\dfrac{\pi}{12}=2+\sqrt3$.
b) Góc $\alpha$ thuộc phần tư II: $\cos\alpha=-\dfrac45$, $\tan\alpha=-\dfrac34$. Với $\tan\tfrac{\pi}{3}=\sqrt3$:
$\tan\!\big(\alpha+\tfrac{\pi}{3}\big)=\dfrac{\tan\alpha+\sqrt3}{1-\sqrt3\tan\alpha} =\dfrac{-\tfrac34+\sqrt3}{1+\tfrac{3\sqrt3}{4}}=\dfrac{-3+4\sqrt3}{4+3\sqrt3} =\boxed{\dfrac{48-25\sqrt3}{11}}$.
c) Hai góc nhọn nên $\cos\alpha=\dfrac35$, $\cos\beta=\dfrac{15}{17}$.
- $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\dfrac{3\cdot15-4\cdot8}{85}=\dfrac{13}{85}$.
- $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{4\cdot15-3\cdot8}{85}=\dfrac{36}{85}$.
d) Khai triển và nhóm:
$A=(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+(\cos^2\beta+\sin^2\beta)+2(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)$
$=1+1+2\cos(\alpha-\beta)=2+2\cos\dfrac{\pi}{3}=2+2\cdot\dfrac12=\boxed{3}$.
2 Công thức nhân đôi — hạ bậc
a) $\sin\alpha=\dfrac13$, $0<\alpha<\dfrac{\pi}{2}$. Tính $\sin2\alpha,\cos2\alpha,\tan2\alpha$.
b) $\cos2\alpha=-\dfrac14$, $\pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}$. Tính $\sin\alpha,\cos\alpha$.
c) $\sin a=\dfrac13$, $\dfrac{\pi}{2} d) Rút gọn $C=3(\sin^4x+\cos^4x)-2(\sin^6x+\cos^6x)$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: công thức nhân đôi/nhân ba; câu d dùng hạ bậc kết hợp hằng đẳng thức.a) $\alpha$ nhọn nên $\cos\alpha=\dfrac{2\sqrt2}{3}$.
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{4\sqrt2}{9}$; $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=\dfrac79$; $\tan2\alpha=\dfrac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\dfrac{4\sqrt2}{7}$.
b) Góc $\alpha$ thuộc phần tư III nên $\sin\alpha<0,\cos\alpha<0$.
- $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=-\dfrac14\Rightarrow\sin^2\alpha=\dfrac58\Rightarrow\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt{10}}{4}$.
- $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=-\dfrac14\Rightarrow\cos^2\alpha=\dfrac38\Rightarrow\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt6}{4}$.
c) $a$ thuộc phần tư II nên $\cos a=-\dfrac{2\sqrt2}{3}$.
$\sin3a=3\sin a-4\sin^3a=1-\dfrac{4}{27}=\dfrac{23}{27}$.
$\cos3a=4\cos^3a-3\cos a=4\!\left(-\dfrac{16\sqrt2}{27}\right)+2\sqrt2=-\dfrac{64\sqrt2}{27}+\dfrac{54\sqrt2}{27}=-\dfrac{10\sqrt2}{27}$.
d) Dùng $\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x$ và $\sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x$:
$C=3(1-2\sin^2x\cos^2x)-2(1-3\sin^2x\cos^2x)=3-6t-2+6t=\boxed{1}$ (với $t=\sin^2x\cos^2x$).
3 Biến đổi tích ↔ tổng
a) $B=\sin\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{32}\cos\dfrac{\pi}{16}\cos\dfrac{\pi}{8}$.
b) $D=\sin20^\circ\sin40^\circ\sin80^\circ$.
c) $E=\cos75^\circ+\sin105^\circ$.
d) Biến đổi thành tích: $\cos3x+\cos x$; $\sin5x-\sin x$.
🔑 Lời giải
Câu a dùng nhân đôi ngược: $\sin\theta\cos\theta=\tfrac12\sin2\theta$ áp dụng liên tiếp.a) Nhân đôi liên tiếp:
$B=\tfrac12\sin\tfrac{\pi}{16}\cos\tfrac{\pi}{16}\cos\tfrac{\pi}{8} =\tfrac14\sin\tfrac{\pi}{8}\cos\tfrac{\pi}{8} =\tfrac18\sin\tfrac{\pi}{4}=\boxed{\dfrac{\sqrt2}{16}}$.
Câu b, c dùng Lý thuyết 3 (tích → tổng, các góc bù/phụ).b) $\sin40^\circ\sin80^\circ=\tfrac12(\cos40^\circ-\cos120^\circ)=\tfrac12\cos40^\circ+\tfrac14$. Nhân với $\sin20^\circ$:
$D=\tfrac12\sin20^\circ\cos40^\circ+\tfrac14\sin20^\circ =\tfrac14(\sin60^\circ-\sin20^\circ)+\tfrac14\sin20^\circ=\tfrac14\sin60^\circ=\boxed{\dfrac{\sqrt3}{8}}$.
c) $\sin105^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$, $\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$. Cộng lại:
$E=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}+\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\dfrac{2\sqrt6}{4}=\boxed{\dfrac{\sqrt6}{2}}$.
Câu d dùng công thức tổng → tích.d) $\cos3x+\cos x=2\cos2x\cos x$; $\sin5x-\sin x=2\cos3x\sin2x$.
4 Kết hợp các công thức — chứng minh
a) $\sin x\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}-x\big)\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}+x\big)=\dfrac14\sin3x$.
b) $\cos^6x+\sin^6x=\dfrac58+\dfrac38\cos4x$.
c) $\dfrac{1-\sin2x}{1+\sin2x}=\cot^2\!\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big)$.
d) Rút gọn $E=\cos^2x+\cos^2\!\big(\tfrac{2\pi}{3}+x\big)+\cos^2\!\big(\tfrac{2\pi}{3}-x\big)$.
🔑 Lời giải
Câu a dùng hệ quả $\sin(A-B)\sin(A+B)=\sin^2A-\sin^2B$.a) $\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}-x\big)\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}+x\big)=\sin^2\tfrac{\pi}{3}-\sin^2x=\dfrac34-\sin^2x$.
$\text{VT}=\sin x\!\left(\dfrac34-\sin^2x\right)=\dfrac34\sin x-\sin^3x=\dfrac14(3\sin x-4\sin^3x)=\dfrac14\sin3x=\text{VP}$. (đpcm)
Câu b dùng $\sin^6+\cos^6=1-3\sin^2x\cos^2x$ rồi hạ bậc.b) $\cos^6x+\sin^6x=1-3\sin^2x\cos^2x=1-\dfrac34\sin^22x=1-\dfrac34\cdot\dfrac{1-\cos4x}{2}=\dfrac58+\dfrac38\cos4x$. (đpcm)
c) $1-\sin2x=(\sin x-\cos x)^2$, $1+\sin2x=(\sin x+\cos x)^2$. Mặt khác $\cot\!\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big)=\dfrac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}$. Vậy
$\dfrac{1-\sin2x}{1+\sin2x}=\dfrac{(\cos x-\sin x)^2}{(\cos x+\sin x)^2}=\cot^2\!\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big)$. (đpcm)
Câu d dùng hạ bậc $\cos^2\theta=\tfrac{1+\cos2\theta}{2}$ rồi tổng → tích.d) $E=\dfrac32+\dfrac12\Big[\cos2x+\cos\!\big(\tfrac{4\pi}{3}+2x\big)+\cos\!\big(\tfrac{4\pi}{3}-2x\big)\Big]$.
Mà $\cos\!\big(\tfrac{4\pi}{3}+2x\big)+\cos\!\big(\tfrac{4\pi}{3}-2x\big)=2\cos\tfrac{4\pi}{3}\cos2x=-\cos2x$, nên ngoặc vuông $=0$.
Vậy $E=\boxed{\dfrac32}$ (không phụ thuộc $x$).
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Công thức cộng: cos đổi dấu ngược, sin giữ dấu, tan có dấu “chéo” ở mẫu — viết cẩn thận từng dấu.
- Để tính nhanh tích $\sin\theta\cos\theta$, dùng ngược nhân đôi $=\tfrac12\sin2\theta$ (câu 3a).
- Khi biết $\cos2\alpha$ và phần tư của $\alpha$: dùng đồng thời $1-2\sin^2\alpha$ và $2\cos^2\alpha-1$ để ra cả $\sin\alpha,\cos\alpha$.
- Bài “không phụ thuộc biến” (câu 4d): hạ bậc rồi gom các cặp đối xứng — kết quả là hằng số.