Bài 3. Hàm số lượng giác

Tập xác định · tính chẵn lẻ · tính tuần hoàn và chu kì · giá trị lớn nhất – nhỏ nhất.

✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm

📖 Lý thuyết 1

Tập xác định của hàm số lượng giác

$y=\sin x$ và $y=\cos x$ xác định với mọi $x\in\mathbb{R}$.
$y=\tan x$ xác định khi $\cos x\neq0\Leftrightarrow x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$.
$y=\cot x$ xác định khi $\sin x\neq0\Leftrightarrow x\neq k\pi$.
Có căn bậc hai: biểu thức trong căn $\ge0$; có phân thức: mẫu $\neq0$.

📖 Lý thuyết 2

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Trước hết kiểm tra tập xác định $D$ đối xứng (nếu $x\in D$ thì $-x\in D$).
$f$ chẵn nếu $f(-x)=f(x)$; $f$ lẻ nếu $f(-x)=-f(x)$.
Nhớ: $\sin,\tan,\cot$ là hàm lẻ, $\cos$ là hàm chẵn — dùng để xét dấu khi thay $-x$.

📖 Lý thuyết 3

Tính tuần hoàn — chu kì

$f$ tuần hoàn nếu tồn tại $T\neq0$ sao cho $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$ với mọi $x\in D$; số $T>0$ nhỏ nhất là chu kì.
$y=\sin x,\ y=\cos x$ tuần hoàn chu kì $2\pi$; $y=\tan x,\ y=\cot x$ tuần hoàn chu kì $\pi$.
$y=A\sin\omega x,\ y=A\cos\omega x$ tuần hoàn chu kì $T=\left|\dfrac{2\pi}{\omega}\right|$.

📖 Lý thuyết 4

Tập giá trị — GTLN, GTNN

$-1\le\sin x\le1$, $-1\le\cos x\le1$, suy ra $0\le|\sin x|,|\cos x|\le1$.
$-\sqrt{a^2+b^2}\le a\sin x+b\cos x\le\sqrt{a^2+b^2}$.

🔍 Mẹo: đưa về một hàm lượng giác rồi đặt ẩn phụ $t=\sin x$ (hoặc $\cos x$) với $t\in[-1;1]$, chuyển bài toán thành tìm GTLN–GTNN của tam thức bậc hai theo $t$ trên đoạn $[-1;1]$.

✍ Bài tập luyện tập

1 Tìm tập xác định

a) $y=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}$. b) $y=\cot3x$.

c) $y=\sqrt{1-\cos4x}$. d) $y=\sqrt{\dfrac{1+\cos2x}{1-\sin2x}}$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 1: mẫu $\neq0$, biểu thức trong căn $\ge0$; nhớ $\sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi$.

a) ĐK $\sin x\neq0\Leftrightarrow x\neq k\pi$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}$.

b) $\cot3x$ xác định khi $\sin3x\neq0\Leftrightarrow 3x\neq k\pi\Leftrightarrow x\neq\dfrac{k\pi}{3}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus\Big\{\dfrac{k\pi}{3}\Big\}$.

c) Vì $\cos4x\le1$ nên $1-\cos4x\ge0$ với mọi $x$. Vậy $D=\mathbb{R}$.

d) Ta có $1+\cos2x=2\cos^2x\ge0$ và $1-\sin2x=(\sin x-\cos x)^2\ge0$, nên phân thức luôn $\ge0$ khi mẫu khác $0$.

ĐK: $1-\sin2x\neq0\Leftrightarrow(\sin x-\cos x)^2\neq0\Leftrightarrow\tan x\neq1\Leftrightarrow x\neq\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.

Vậy $D=\mathbb{R}\setminus\Big\{\dfrac{\pi}{4}+k\pi\Big\}$.

⚠️ Bẫy câu c: đừng vội giải bất phương trình $1-\cos4x\ge0$ — hãy nhớ $\cos$ luôn $\le1$ nên điều kiện đúng với mọi $x$.

2 Xét tính chẵn, lẻ

a) $y=\dfrac{\cos2x}{x^3}$. b) $y=x-\sin3x$.

c) $y=\tan x+2\sin x$. d) $y=\sin x\cos^3x$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: kiểm tra $D$ đối xứng rồi tính $f(-x)$.

a) $D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ đối xứng. $f(-x)=\dfrac{\cos(-2x)}{(-x)^3}=\dfrac{\cos2x}{-x^3}=-f(x)$ → hàm lẻ.

b) $D=\mathbb{R}$. $f(-x)=-x-\sin(-3x)=-x+\sin3x=-(x-\sin3x)=-f(x)$ → hàm lẻ.

c) $D=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}$ đối xứng. $f(-x)=\tan(-x)+2\sin(-x)=-\tan x-2\sin x=-f(x)$ → hàm lẻ.

d) $D=\mathbb{R}$. $f(-x)=\sin(-x)\cos^3(-x)=-\sin x\cos^3x=-f(x)$ → hàm lẻ.

⚠️ Lưu ý: luôn xét $D$ đối xứng trước. Nếu $D$ không đối xứng thì kết luận ngay “không chẵn, không lẻ”, khỏi cần tính $f(-x)$.

3 Tính tuần hoàn — chu kì

a) Chứng minh $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kì $T=2\pi$.

b) Chứng minh $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kì $T=\pi$.

c) Chứng minh $y=x+\sin x$ không tuần hoàn.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 3: chứng tỏ $f(x+T)=f(x)$ rồi chứng minh $T$ là số dương nhỏ nhất.

a) Hàm xác định trên $\mathbb{R}$, $x\pm2\pi\in\mathbb{R}$ và $\cos(x+2\pi)=\cos x$ với mọi $x$ → $2\pi$ là một chu kì.

Giả sử có $0

b) Trên $D=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}$ ta có $\tan(x+\pi)=\tan x\ \forall x\in D$ → $\pi$ là một chu kì.

Giả sử có $0

c) Giả sử tồn tại $T>0$ sao cho $f(x+T)=f(x)\ \forall x$, tức

$(x+T)+\sin(x+T)=x+\sin x\Rightarrow\sin(x+T)-\sin x=-T\ \forall x$.

Vế trái $=2\cos\!\big(x+\tfrac{T}{2}\big)\sin\tfrac{T}{2}$ thay đổi theo $x$ (nhận cả giá trị dương lẫn âm khi $\sin\tfrac{T}{2}\neq0$), không thể luôn bằng hằng số $-T<0$. Còn nếu $\sin\tfrac{T}{2}=0$ thì $-T=0$, mâu thuẫn $T>0$.

Vậy không tồn tại $T$ → hàm số không tuần hoàn.

4 Giá trị lớn nhất — giá trị nhỏ nhất

a) $y=2+3|\cos x|$. b) $y=3\cos^2x+4\cos2x$.

c) $y=\cos x+\sin x$. d) $y=\cos^2x+2\sin x+2$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 4: chặn theo $|\sin|,|\cos|\le1$, công thức $a\sin x+b\cos x$, hoặc đặt ẩn phụ.

a) $0\le|\cos x|\le1\Rightarrow2\le y\le5$. Vậy $\min y=2$ (khi $\cos x=0$), $\max y=5$ (khi $|\cos x|=1$).

b) Hạ bậc $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$:

$y=\dfrac32+\dfrac32\cos2x+4\cos2x=\dfrac32+\dfrac{11}{2}\cos2x$. Vì $-1\le\cos2x\le1$:

$\min y=\dfrac32-\dfrac{11}{2}=-4$ (khi $\cos2x=-1$), $\max y=\dfrac32+\dfrac{11}{2}=7$ (khi $\cos2x=1$).

c) $y=\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\!\big(x+\tfrac{\pi}{4}\big)$. Vậy $-\sqrt2\le y\le\sqrt2$: $\min y=-\sqrt2$, $\max y=\sqrt2$.

d) $y=(1-\sin^2x)+2\sin x+2=-\sin^2x+2\sin x+3$. Đặt $t=\sin x\in[-1;1]$:

$g(t)=-t^2+2t+3=-(t-1)^2+4$ đồng biến trên $[-1;1]$. Do đó $\min y=g(-1)=0$ (khi $\sin x=-1$), $\max y=g(1)=4$ (khi $\sin x=1$).

⚠️ Bẫy câu d: $-(t-1)^2+4$ có đỉnh tại $t=1$ nằm ở mép phải của $[-1;1]$, nên GTLN đạt tại $t=1$, GTNN tại $t=-1$ — phải xét trên đoạn, không lấy đỉnh parabol tuỳ tiện.

⚠️ Chú ý ghi nhớ

TXĐ: $\tan x$ loại $\tfrac{\pi}{2}+k\pi$, $\cot x$ loại $k\pi$; biểu thức trong căn $\ge0$, mẫu $\neq0$.
Xét chẵn lẻ: kiểm tra $D$ đối xứng trước, rồi mới tính $f(-x)$.
Chứng minh chu kì: vừa chỉ ra $f(x+T)=f(x)$, vừa chứng minh $T$ là số dương nhỏ nhất (thường thay $x=0$).
GTLN–GTNN: hạ bậc / đưa về $a\sin x+b\cos x$ hoặc đặt $t=\sin x\in[-1;1]$ rồi khảo sát tam thức trên đoạn.