Bài 4. Phương trình lượng giác cơ bản
Giải $\sin x=m$, $\cos x=m$, $\tan x=m$, $\cot x=m$ và viết đúng công thức nghiệm.
Phương trình $\sin x=m$ và $\cos x=m$
- Nếu $|m|>1$: phương trình vô nghiệm.
- $\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=\alpha+k2\pi\\ x=\pi-\alpha+k2\pi\end{array}\right.$
- $\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$.
Phương trình $\tan x=m$ và $\cot x=m$
- Hai phương trình này luôn có nghiệm với mọi $m$.
- $\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$ (ĐK $\cos x\neq0$).
- $\cot x=\cot\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$ (ĐK $\sin x\neq0$) $(k\in\mathbb{Z})$.
Đưa về cùng một hàm
- $\sin u=-\sin v=\sin(-v)$; $\;\cos u=-\cos v=\cos(\pi-v)$.
- $\cot u=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}-u\big)$ — đổi $\cot$ về $\tan$ khi cần.
- Phương trình dạng $a\sin^2x+b\sin x+c=0$: dùng $\cos2x=1-2\sin^2x$ để quy về phương trình bậc hai theo $\sin x$.
1 Phương trình $\sin x=m$
a) $2\sin x=-\sqrt2$. b) $\sin x+\cos2x=0$. c) $\sin3x=-\sin7x$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đưa về $\sin x=\sin\alpha$ rồi viết hai họ nghiệm.a) $\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}=\sin\!\big(-\tfrac{\pi}{4}\big)$:
$x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{4}+k2\pi\ (k\in\mathbb{Z})$.
Câu b dùng $\cos2x=1-2\sin^2x$ để quy về bậc hai theo $\sin x$.b) $\sin x+1-2\sin^2x=0\Leftrightarrow2\sin^2x-\sin x-1=0\Leftrightarrow(2\sin x+1)(\sin x-1)=0$.
- $\sin x=1\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi$.
- $\sin x=-\dfrac12\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $x=\dfrac{7\pi}{6}+k2\pi$.
c) $\sin3x+\sin7x=0\Leftrightarrow2\sin5x\cos2x=0$:
- $\sin5x=0\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{5}$.
- $\cos2x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}$ $(k\in\mathbb{Z})$.
2 Phương trình $\cos x=m$
a) $\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}$. b) $2\cos x+\sqrt2=0$. c) $\cos\!\big(2x-\tfrac{\pi}{3}\big)=\dfrac12$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: $\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi$.a) $\cos x=\cos\dfrac{\pi}{6}\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$.
b) $\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}=\cos\dfrac{3\pi}{4}\Rightarrow x=\pm\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi$.
c) $\cos\!\big(2x-\tfrac{\pi}{3}\big)=\cos\dfrac{\pi}{3}\Rightarrow2x-\dfrac{\pi}{3}=\pm\dfrac{\pi}{3}+k2\pi$:
- $2x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$.
- $2x=k2\pi\Rightarrow x=k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$.
3 Phương trình $\tan x=m$
a) $\tan x=\sqrt3$. b) $\sqrt3\,\tan\!\big(2x-\tfrac{\pi}{3}\big)=3$. c) $\tan(3x-1)=\cot(x+2)$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: $\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$ (kèm điều kiện).a) $\tan x=\tan\dfrac{\pi}{3}\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$.
b) $\tan\!\big(2x-\tfrac{\pi}{3}\big)=\sqrt3=\tan\dfrac{\pi}{3}\Rightarrow2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}$.
Câu c đổi $\cot$ về $\tan$: $\cot(x+2)=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}-x-2\big)$.c) ĐK: $\cos(3x-1)\neq0$ và $\sin(x+2)\neq0$. Khi đó
$\tan(3x-1)=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}-x-2\big)\Rightarrow3x-1=\dfrac{\pi}{2}-x-2+k\pi$
$\Rightarrow4x=\dfrac{\pi}{2}-1+k\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{8}-\dfrac14+\dfrac{k\pi}{4}\ (k\in\mathbb{Z})$ (thoả điều kiện).
4 Phương trình $\cot x=m$
a) $\cot x=-1$. b) $\sqrt3\,\cot(2x+25^\circ)=1$. c) $\cot3x=-\dfrac{1}{\sqrt3}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: $\cot x=\cot\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$ (ĐK $\sin\neq0$).a) $\cot x=-1=\cot\dfrac{3\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{3\pi}{4}+k\pi$.
b) $\cot(2x+25^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt3}=\cot60^\circ\Rightarrow2x+25^\circ=60^\circ+k180^\circ$
$\Rightarrow2x=35^\circ+k180^\circ\Rightarrow x=17^\circ30'+k90^\circ$.
c) $\cot3x=-\dfrac{1}{\sqrt3}=\cot\dfrac{2\pi}{3}\Rightarrow3x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\Rightarrow x=\dfrac{2\pi}{9}+\dfrac{k\pi}{3}\ (k\in\mathbb{Z})$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- $\sin x=m$, $\cos x=m$ vô nghiệm khi $|m|>1$; $\tan x=m$, $\cot x=m$ luôn có nghiệm.
- $\sin$ cho hai họ nghiệm ($\alpha$ và $\pi-\alpha$), $\cos$ cho hai họ ($\pm\alpha$) — đều $+k2\pi$; $\tan,\cot$ chỉ một họ $+k\pi$.
- Phương trình $\tan,\cot$ phải đặt điều kiện trước khi giải.
- Muốn đưa về cùng một hàm: $\sin u=\sin v$ hay $\cos u=\cos v$; đổi $\cot u=\tan\!\big(\tfrac{\pi}{2}-u\big)$.