Ôn tập chương 1 — Hàm số lượng giác & phương trình lượng giác
Hệ thống hoá toàn chương: giá trị lượng giác · công thức lượng giác · hàm số lượng giác · phương trình lượng giác cơ bản.
Giá trị lượng giác & cung tròn
- $180^\circ=\pi$ rad; độ dài cung $\ell=R\alpha$ ($\alpha$ theo rad).
- $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$; $\;1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$; $\;1+\cot^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$.
- Xác định dấu giá trị lượng giác theo phần tư chứa điểm cuối của góc.
Công thức lượng giác
- Cộng: $\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$; $\;\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$.
- Nhân đôi: $\cos2a=2\cos^2a-1=1-2\sin^2a$; suy ra $\cos2a=\dfrac{1-\tan^2a}{1+\tan^2a}$.
Hàm số lượng giác
- TXĐ: $\tan x$ cần $x\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi$; $\cot x$ cần $x\neq k\pi$.
- $\cos$ là hàm chẵn; $\sin,\tan,\cot$ là hàm lẻ.
- $-1\le\sin x,\cos x\le1$; $\;y=a+b\,t$ với $t=\cos x$ (hoặc $\sin x$) $\in[-1;1]$.
Phương trình lượng giác cơ bản
- $\sin x=m$, $\cos x=m$ vô nghiệm khi $|m|>1$.
- $\sin x=\sin\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k2\pi$ hoặc $x=\pi-\alpha+k2\pi$.
- $\cos x=\cos\alpha\Leftrightarrow x=\pm\alpha+k2\pi$; $\;\tan x=\tan\alpha\Leftrightarrow x=\alpha+k\pi$.
1 Trắc nghiệm — chọn đáp án đúng
🔑 Đáp án & giải thích
Câu a–d dùng Lý thuyết 1–2; câu e–g dùng Lý thuyết 3; câu h dùng Lý thuyết 4.a) Đổi $120^\circ$ sang rađian. A. $\tfrac{\pi}{3}$ · B. $\tfrac{2\pi}{3}$ · C. $\tfrac{3\pi}{4}$ · D. $\tfrac{5\pi}{6}$
$120^\circ=120\cdot\tfrac{\pi}{180}=\tfrac{2\pi}{3}$ → Đáp án B.
b) $R=25$ m, độ dài cung số đo $20^\circ$. A. $\tfrac{25\pi}{9}$ m · B. $\tfrac{50\pi}{9}$ m · C. $\tfrac{25\pi}{18}$ m · D. $5\pi$ m
$20^\circ=\tfrac{\pi}{9}$, $\ell=R\alpha=25\cdot\tfrac{\pi}{9}=\tfrac{25\pi}{9}$ m → Đáp án A.
c) $\cos\alpha=\tfrac14$, $0<\alpha<\tfrac{\pi}{2}$, tính $\tan\alpha$. A. $\sqrt{15}$ · B. $-\sqrt{15}$ · C. $\tfrac{1}{\sqrt{15}}$ · D. $\tfrac{\sqrt{15}}{4}$
$\sin\alpha=\sqrt{1-\tfrac1{16}}=\tfrac{\sqrt{15}}{4}>0$, $\tan\alpha=\dfrac{\sqrt{15}/4}{1/4}=\sqrt{15}$ → Đáp án A.
d) $\tan\alpha=2$, tính $\cos2\alpha$. A. $-\tfrac35$ · B. $\tfrac35$ · C. $-\tfrac45$ · D. $\tfrac45$
$\cos2\alpha=\dfrac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}=\dfrac{1-4}{1+4}=-\dfrac35$ → Đáp án A.
e) Tập xác định của $y=\tan x$. A. $\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\}$ · B. $\mathbb{R}\setminus\{k\pi\}$ · C. $\mathbb{R}$ · D. $\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{k\pi}{2}\}$
$\tan x$ cần $\cos x\neq0\Leftrightarrow x\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ → Đáp án A.
f) Hàm số nào là hàm chẵn? A. $y=\cos x$ · B. $y=\sin x$ · C. $y=\tan x$ · D. $y=\cot x$
$\cos$ là hàm chẵn ($\cos(-x)=\cos x$); ba hàm còn lại đều lẻ → Đáp án A.
g) Tập giá trị của $y=2\cos x-1$. A. $[-3;1]$ · B. $[-1;1]$ · C. $[-2;2]$ · D. $[-3;3]$
$-1\le\cos x\le1\Rightarrow-3\le2\cos x-1\le1$ → Đáp án A.
h) Phương trình nào vô nghiệm? A. $2\sin x=3$ · B. $\cos x=-1$ · C. $\tan x=100$ · D. $\cot x=0$
$2\sin x=3\Rightarrow\sin x=\tfrac32>1$ → vô nghiệm; các phương trình còn lại đều có nghiệm → Đáp án A.
2 Giá trị lượng giác của một góc
a) $\sin\alpha=-\dfrac{\sqrt7}{4}$, $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0$. Tính $\cos\alpha,\tan\alpha$.
b) $\sin\alpha=\dfrac23$, $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Tính $\cos\alpha,\cot\alpha$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: hệ thức cơ bản + chọn dấu theo phần tư.a) $-\dfrac{\pi}{2}<\alpha<0$ (phần tư IV) nên $\cos\alpha>0$: $\cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{7}{16}}=\dfrac34$. Khi đó $\tan\alpha=\dfrac{-\sqrt7/4}{3/4}=-\dfrac{\sqrt7}{3}$.
b) $\dfrac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ (phần tư II) nên $\cos\alpha<0$: $\cos\alpha=-\sqrt{1-\dfrac49}=-\dfrac{\sqrt5}{3}$. Khi đó $\cot\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\dfrac{-\sqrt5/3}{2/3}=-\dfrac{\sqrt5}{2}$.
3 Công thức lượng giác
a) $\cos2\alpha=\dfrac59$, $0^\circ<\alpha<90^\circ$. Tính $\sin\alpha,\cos\alpha$.
b) $\sin a=\dfrac{8}{17}$, $\tan b=\dfrac{5}{12}$, $a,b$ nhọn. Tính $\sin(a-b),\cos(a+b)$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: nhân đôi cho câu a, công thức cộng cho câu b.a) $\alpha$ nhọn nên $\sin\alpha,\cos\alpha>0$.
- $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=\dfrac59\Rightarrow\sin^2\alpha=\dfrac29\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac{\sqrt2}{3}$.
- $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=\dfrac59\Rightarrow\cos^2\alpha=\dfrac79\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{\sqrt7}{3}$.
b) $a$ nhọn, $\sin a=\dfrac8{17}\Rightarrow\cos a=\dfrac{15}{17}$. $b$ nhọn, $\tan b=\dfrac5{12}\Rightarrow\sin b=\dfrac{5}{13},\cos b=\dfrac{12}{13}$.
- $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\dfrac{8\cdot12-15\cdot5}{221}=\dfrac{21}{221}$.
- $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\dfrac{15\cdot12-8\cdot5}{221}=\dfrac{140}{221}$.
4 Phương trình lượng giác
a) $\sin2x=-\dfrac12$. b) $\sin\!\big(2x-\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\!\big(x+\tfrac{3\pi}{4}\big)$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 4: công thức nghiệm của $\sin u=\sin v$.a) $\sin2x=\sin\!\big(-\tfrac{\pi}{6}\big)$:
- $2x=-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\Rightarrow x=-\dfrac{\pi}{12}+k\pi$.
- $2x=\pi+\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\Rightarrow x=\dfrac{7\pi}{12}+k\pi$ $(k\in\mathbb{Z})$.
b) $\sin\!\big(2x-\tfrac{\pi}{4}\big)=\sin\!\big(x+\tfrac{3\pi}{4}\big)$:
- $2x-\dfrac{\pi}{4}=x+\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\Rightarrow x=\pi+k2\pi$.
- $2x-\dfrac{\pi}{4}=\pi-\big(x+\tfrac{3\pi}{4}\big)+k2\pi\Rightarrow3x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k2\pi}{3}$ $(k\in\mathbb{Z})$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Xác định dấu giá trị lượng giác theo phần tư trước khi khai căn (Bài 2, 3a).
- Biết $\cos2\alpha$ và phần tư của $\alpha$: dùng cả $1-2\sin^2\alpha$ và $2\cos^2\alpha-1$ để ra $\sin\alpha,\cos\alpha$.
- Trắc nghiệm: tính nhanh rồi loại đáp án sai do nhầm dấu hoặc nhầm công thức.
- Giải phương trình: đưa về dạng cơ bản, viết đủ các họ nghiệm, kiểm tra điều kiện với $\tan,\cot$.