§ 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. LÝ THUYẾT
1. Phương trình $sin~x = m$
Xét phương trình $sin~x = m$.
- Với $|m| > 1$, phương trình $sin~x = m$ vô nghiệm.
- Với $|m| \le 1$, tồn tại số $\alpha$ sao cho $sin~\alpha = m$.
$sin~x = m \Leftrightarrow sin~x = sin~\alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$
Chú ý: Với mỗi $m$ cho trước mà $|m| \le 1$, phương trình $sin~x = m$ có đúng một nghiệm trong đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là $arcsin~m$. Khi đó: $sin~x = m \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = arcsin~m + k2\pi \\ x = \pi - arcsin~m + k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
2. Phương trình $cos~x = m$
- Với $|m| > 1$, phương trình $cos~x = m$ vô nghiệm.
- Với $|m| \le 1$, tồn tại số $\alpha$ sao cho $cos~\alpha = m$.
$cos~x = m \Leftrightarrow cos~x = cos~\alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{cases} (k \in \mathbb{Z})$
Chú ý: Với mỗi $m$ cho trước mà $|m| \le 1$, phương trình $cos~x = m$ có đúng một nghiệm trong đoạn $[0; \pi]$. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là $arccos~m$. Khi đó: $cos~x = m \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = arccos~m + k2\pi \\ x = -arccos~m + k2\pi \end{matrix} \right. (k \in \mathbb{Z})$
3. Phương trình $tan~x = m, cot~x = m$
Các phương trình trên luôn có nghiệm. Với mọi số thực $\alpha$, ta có:
- $tan~x = tan~\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
- $cot~x = cot~\alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
Chú ý:
i) Với mọi số $m$ cho trước, phương trình $tan~x = m$ có duy nhất một nghiệm trong khoảng $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là $arctan~m$. Khi đó: $tan~x = m \Leftrightarrow x = arctan~m + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
ii) Với mọi số $m$ cho trước, phương trình $cot~x = m$ có duy nhất một nghiệm trong khoảng $(0; \pi)$. Người ta thường kí hiệu nghiệm đó là $arccot~m$. Khi đó: $cot~x = m \Leftrightarrow x = arccot~m + k\pi (k \in \mathbb{Z})$
Công thức nghiệm của phương trình lượng giác
(trong điều kiện biểu thức có nghĩa)
- $sin~u = sin~v \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} u = v + k2\pi \\ u = \pi - v + k2\pi \end{matrix} \right.$
- $cos~u = cos~v \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} u = v + k2\pi \\ u = -v + k2\pi \end{matrix} \right.$
- $tan~u = tan~v \Leftrightarrow u = v + k\pi$
- $cot~u = cot~v \Leftrightarrow u = v + k\pi$
Với $k \in \mathbb{Z}$.
Một số trường hợp đặc biệt
- $sin~u = 1 \Leftrightarrow u = \frac{\pi}{2} + k2\pi$
- $sin~u = -1 \Leftrightarrow u = -\frac{\pi}{2} + k2\pi$
- $sin~u = 0 \Leftrightarrow u = k\pi$
- $cos~u = 1 \Leftrightarrow u = k2\pi$
- $cos~u = -1 \Leftrightarrow u = \pi + k2\pi$
- $cos~u = 0 \Leftrightarrow u = \frac{\pi}{2} + k\pi$
- $tan~u = 0 \Leftrightarrow u = k\pi$
- $cot~u = 0 \Leftrightarrow u = \frac{\pi}{2} + k\pi$
B. BÀI TẬP
1.23 Giải phương trình:
a) $sin~x = sin\frac{\pi}{6}$
b) $2~sin~x + \sqrt{2} = 0$
c) $sin(x - 2) = \frac{2}{3}$
d) $sin(x + 20^{\circ}) = sin~60^{\circ}$
e) $cos~x = cos\frac{\pi}{4}$
f) $2~cos~2x + 1 = 0$
g) $cos(2x + 15^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
h) $tan~3x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
i) $tan(4x + 2) = 3$
j) $tan(2x + 10^{\circ}) = tan~60^{\circ}$
k) $cot~4x = \sqrt{3}$
l) $cot(x + 2) = 1$
1.24 Giải phương trình:
a) $sin(2x - \frac{\pi}{5}) = sin(\frac{\pi}{5} + x)$
b) $cos(2x + 1) = cos(2x - 1)$
c) $tan\frac{2x+1}{6} + tan\frac{1}{3} = 0$
d) $sin~3x = cos~2x$
1.25 Giải các phương trình sau:
a) $cos^2{2x} = \frac{1}{4}$
b) $4~cos^2{2x} - 3 = 0$
c) $cos^2(2x - \frac{\pi}{4}) = sin^2x$
d) $cos^2{3x} + sin^2{2x} = 1$
1.26 Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:
a) $2~sin~2x + 1 = 0$ với $0 < x < \pi$
b) $cot(x - 5) = \sqrt{3}$ với $-\pi < x < \pi$
1.27 Giải các phương trình sau:
a) $sin~x + cos~x = 1$
b) $sin^4x - cos^4x = 1$
c) $sin^4x + cos^4x = 1$
d) $sin^3x~cos~x - cos^3x~sin~x = \frac{\sqrt{2}}{8}$
1.28 Giải các phương trình sau:
a) $cos^2x - \sqrt{3}sin~x~cos~x = 0$
b) $\sqrt{3}cos~x + sin~2x = 0$
c) $8~sin~x \cdot cos~x \cdot cos~2x = cos~8(\frac{\pi}{16} - x)$
d) $sin^4(x + \frac{\pi}{2}) - sin^4x = sin~4x$
1.29 Giải phương trình:
a) $cos~7x \cdot cos~x = cos~5x \cdot cos~3x$
b) $cos~4x + sin~3x \cdot cos~x = sin~x \cdot cos~3x$
c) $1 + cos~x + cos~2x + cos~3x = 0$
d) $sin^2x + sin^2{2x} + sin^2{3x} + sin^2{4x} = 2$
1.30 Giải các phương trình sau:
a) $sin~2x~sin~5x = sin~3x~sin~4x$
b) $sin~x + sin~2x + sin~3x + sin~4x = 0$
c) $sin^2x + sin^2{3x} = 2~sin^2{2x}$
d) $sin~x + sin~3x + sin~5x = cos~x + cos~3x + cos~5x$
1.31 Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
a) $y = tan~x$
b) $y = cot~2x$
c) $y = \frac{2~cos~x + 1}{2~cos~x - 1}$
d) $y = \frac{sin(2 - x)}{cos~2x - cos~x}$
e) $y = \frac{tan~x}{1 + tan~x}$
f) $y = \frac{1}{\sqrt{3}cot~2x + 1}$
1.32 Giải phương trình:
a) $\frac{2~cos~2x}{1 - sin~2x} = 0$
b) $\frac{tan~x - \sqrt{3}}{2~cos~x + 1} = 0$
c) $sin~3x~cot~x = 0$
d) $tan~3x = tan~x$
1.33 Tìm nghiệm thuộc khoảng $(0; \pi)$ của phương trình $4~cos~3x~cos~2x + 2~cos~3x + 1 = 0$.