§6 PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAI THEO $\sin x$ VÀ $\cos x$

A. LÝ THUYẾT

Bước 1: Xét xem $\cos x = 0$ (tức $x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$) có phải là nghiệm của phương trình không. Ta thay $\sin^2 x = 1$ và $\cos x = 0$ vào phương trình để kiểm tra.
Bước 2: Với $\cos x \ne 0$, chia hai vế của phương trình cho $\cos^{2}x$, ta được phương trình bậc hai theo $\tan x$: $$a \tan^2 x + b \tan x + c = 0$$ Giải phương trình này để tìm $\tan x$, từ đó suy ra $x$.

Đối với các phương trình khuyết như $a \sin^{2}x + b \sin x \cos x = 0$ hoặc $b \sin x \cos x + c \cos^{2}x = 0$, ta có thể giải nhanh bằng cách đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích.
Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi, phương trình thuần nhất bậc hai có thể được chuyển thành phương trình bậc nhất theo $\sin 2x$ và $\cos 2x$: $$a\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right) + b\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) + c\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right) = 0$$ $$\Leftrightarrow b\sin 2x + (c-a)\cos 2x = -(a+c)$$ Đây là dạng phương trình cổ điển $A\sin u + B\cos u = C$.
Đối với phương trình có dạng $a \sin^{2}x + b \sin x \cos x + c \cos^{2}x = d$, ta thay $d = d \cdot 1 = d(\sin^{2}x + \cos^{2}x)$ vào vế phải và chuyển vế để đưa về dạng thuần nhất bậc hai.

a) $3 \sin^{2}x - \sin x \cos x - 2 \cos^{2}x = 0$

b) $\sin^{2}x + (\sqrt{3}-1)\sin x \cos x - \sqrt{3}\cos^{2}x = 0$

c) $2 \sin^{2}x + 3\sqrt{3}\sin x \cos x - \cos^{2}x = 4$

d) $\cos^{2}x = 3 \sin 2x + 3$

a) $2 \sin^{2}x + \sqrt{3}\sin x \cos x - \cos^{2}x = 2$

b) $\sin^{2}x + \sin 2x - 2 \cos^{2}x = \frac{1}{2}$

c) $\sqrt{3}\sin^{2}x - \sin x \cos x = 0$

d) $\cos^{2}2x + \sin 4x - 3 \sin^{2}2x = 0$

a) $\sin^{2}x + \sqrt{3}\sin x \cos x + 2 \cos^{2}x = \frac{3+\sqrt{2}}{2}$

b) $(\sqrt{3}+1)\sin^{2}x - \sqrt{3}\sin 2x + (\sqrt{3}-1)\cos^{2}x = 0$

c) $4 \sin^{2}\frac{x}{2} + 3\sqrt{3}\sin x - 2 \cos^{2}\frac{x}{2} = 4$

d) $3 \cos^{2}4x + 5 \sin^{2}4x = 2 - \sqrt{3}\sin 8x$

a) $4 \sin x + 6 \cos x = \frac{1}{\cos x}$

b) $\sin x \sin(x+\frac{\pi}{4}) - \sqrt{2}\cos^{2}x = 0$

c) $\sin^{3}x + \cos^{3}x = \sin x - \cos x$

d) $\sin x \sin 2x + \sin 3x = 6 \cos^{3}x$