BÀI TẬP LÀM THÊM

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Bài 1.1: Giải các phương trình lượng giác sau đây:

$\sin x = \frac{1}{2}$
$2 \cos x + 1 = 0$
$\tan 3x = 1$
$\frac{1}{4} \cos x + 1 = 0$

Bài 1.2: Giải phương trình:

$\sin 4x + \cos 5x = 0$
$\sin 3x - \cos 6x = 0$
$\tan 5x + \cot\frac{2\pi}{5} = 0$
$\cot(\frac{x}{4} + 20^{\circ}) = \sqrt{3}$

Bài 1.3: Giải phương trình:

$\cos(3x + 60^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cot(2x + 40^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\cos(2x + 45^{\circ}) + \cos x = 0$
$\sin(x + 24^{\circ}) + \cos(x + 144^{\circ}) = \cos 20^{\circ}$

Bài 1.4: Giải phương trình:

$2 \sin(x + \frac{\pi}{4}) + \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{3\sqrt{2}}{2}$
$8 \cos^{3}(x + \frac{\pi}{3}) = \cos 3x$

Bài 1.5:

Chứng minh rằng $4 \sin^{3}x \cos 3x + 4 \cos^{3}x \sin 3x = 3 \sin 4x$.
Giải phương trình $\sin^{3}x \cos 3x + \cos^{3}x \sin 3x = \sin^{3}4x$.

Bài 1.6: Tìm các nghiệm của phương trình sau trong khoảng đã cho:

$\sin(2x - \frac{\pi}{12}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ với $-\frac{2\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}$
$\cos(2x + 1) = \frac{1}{2}$ với $x \in (-\pi; \pi)$
$\tan(3x + 2) = \sqrt{3}$ với $x \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$
$\tan 2x = \sqrt{3}$ với $x \in (-\pi; \pi)$.

Bài 1.7: Giải phương trình:

$2 \sin x \cos 2x \cos 3x = \sin 2x$
$\sin 5x - 2 \sin x(\cos 2x + \cos 4x) = 1$
$\sin 3x - \sin x - \sin 2x = 0$
$3 \sin 4x + 2 \cos 4x + 3 \sin 2x + 16 \cos 2x + 9 = 0$

Bài 1.8: Giải phương trình:

$\tan 3x \tan x + 1 = 0$
$\sin 3x \cot x = 0$
$\tan 3x = \tan x$
$\frac{2 \cos x + \sqrt{2}}{\tan x - 1} = 0$

Bài 1.9: Giải phương trình:

$2 \sin x \cos 2x - 1 + 2 \cos 2x - \sin x = 0$
$\sin^{3}x + \cos^{3}x = \cos 2x$
$(1 - \tan x)(1 + \sin 2x) = 1 + \tan x$
$\tan x + \cot 2x = 2$
$\sin x + \cos x = \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x}$
$\frac{1 + \cos 2x}{\cos x} = \frac{\sin 2x}{1 - \cos 2x}$
$\cos x - \cos 3x + \cos 5x = \frac{1}{2}$
$\tan 2x \sin x + \sqrt{3}(\sin x - \sqrt{3}\tan x) - 3\sqrt{3} = 0$

Bài 1.10: Tìm $x \in [0; 14]$ nghiệm đúng phương trình $\cos 3x - 4 \cos 2x + 3 \cos x - 4 = 0$.

Bài 1.11:

Hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình $ \sin x = m $, $x \in [0; 3\pi]$.
Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $2m \cos x - \sin 2x = 0$ có đúng 7 nghiệm trong đoạn $[0; 3\pi]$.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1.12: Giải phương trình:

$\sin^{3}x + 3 \sin^{2}x + 2 \sin x = 0$
$\sin^{2}x - 2 \cos^{2}\frac{x}{2} + \frac{3}{4} = 0$
$1 + \sin x \sin 3x = 0$
$2 \sin^{2}x - \cos^{2}x - 4 \sin x + 2 = 0$
$8(\sin^{4}x + \cos^{4}x) = 4 \sin x \cos x + 7$
$7\sin^{6}x + \cos^{6}x + \frac{3}{4} = \sin 2x$
$\cos^{2}(x + \frac{\pi}{3}) + 4 \cos(\frac{\pi}{6} - x) = \frac{5}{2}$
$2 \cos 2x - \sin^{2}\frac{x}{2} - 10 \cos(\frac{\pi}{2} - x) - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \cos x$

Bài 1.13: Giải phương trình sau:

$\sin 2x - \cos 2x = 5 \sin x + \cos x - 3$
$\sin^{4}x - \cos^{2}x = 1$
$\frac{3}{\cos^{2}x} + 2\sqrt{3} \tan x - 6 = 0$
$\sin 2x + 2 \tan x = 3$

Bài 1.14: Tìm nghiệm $x \in [0; 2\pi]$ của phương trình $5(\sin x + \frac{\cos 3x + \sin 3x}{1 + 2 \sin 2x}) = \cos 2x + 3$.

Bài 1.15: Giải các phương trình sau:

$\cot x - \tan x + 4 \sin 2x = \frac{2}{\sin 2x}$
$\tan^{3}(x - \frac{\pi}{4}) = \tan x - 1$
$\frac{\cos 2x + 3 \cot 2x + \sin 4x}{\cot 2x - \cos 2x} = 2$
$\cos 3x + 3 \cos 2x = 2(1 + \cos x)$

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sinx VÀ cosx

Bài 1.16: Giải các phương trình sau:

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$
$2 \sin 17x + \sqrt{3} \cos 5x + \sin 5x = 0$
$\cos(x - \frac{\pi}{6}) + \sin(x - \frac{\pi}{6}) = 1$
$\sqrt{2} \cos(x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{6} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 2$

Bài 1.17: Giải các phương trình sau:

$1 - \cos x = \sqrt{3} \sin x$
$\cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos(\frac{\pi}{3} - x)$
$\sin 4x - \cos 2x = \sqrt{3}(\sin 2x + \cos 4x)$
$(\sin x - \cos x)^{2} + \sqrt{3} \sin 2x = 2$

Bài 1.18: Giải các phương trình sau:

$\cos^{4}x + \sin^{4}(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{4}$
$\sin^{3}x + \cos^{3}x = \sin x - \cos x$
$\sqrt{3} \cos 2x + \sin 2x + 2 \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = 2\sqrt{2}$
$\tan x - 3 \cot x = 4(\sin x + \sqrt{3} \cos x)$
$3 \cos x - 4 \sin x + \frac{2}{3 \cos x - 4 \sin x - 6} = 3$
$8 \sin x \sin 2x + 6 \sin(x + \frac{\pi}{4}) \cos(\frac{\pi}{4} - 2x) = 5 + 7 \cos x$

Bài 1.19: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình sau có nghiệm:

$m \sin x - (m + 1) \cos x = 2$
$m \sin(x - \frac{\pi}{4}) + \sin x = 2 - \cos x$

Bài 1.20: Tìm x sao cho biểu thức $y = \frac{\sin x + 1}{\cos x + 2}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 1.21: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$y = a \sin x + b \cos x$ (a, b là các hằng số và $a^{2} + b^{2} \neq 0$)
$y = \sin^{2}x + \sin x \cos x + 3 \cos^{2}x$

Bài 1.22: Giải các phương trình sau:

$3 \sin^{2}x + 8 \sin x \cos x + 4 \cos^{2}x = 0$
$4 \sin^{2}x + 3\sqrt{3} \sin 2x - 2 \cos^{2}x = 4$
$\sin^{3}x + 2 \sin x \cos^{2}x + 3 \cos^{3}x = 0$
$6 \sin x - 7 \cos^{3}x = 5 \sin^{2}x \cos x$

Bài 1.23: Giải các phương trình sau:

$1 + 3 \tan x = 2 \sin 2x$
$5(1 + \cos x) + \cos^{4}x - \sin^{4}x = 2$
$\sin x \cos 4x - \sin^{2}2x + 2 \sin x + \frac{3}{2} = 0$
$1 + \sin x \sin 2x - \cos x \sin^{2}x = 2 \cos^{2}(\frac{\pi}{4} - x)$
$\frac{\sin 5x}{\sin x} - \frac{\cos 5x}{\cos x} = 0$
$\tan x + \cot 4x = \frac{2}{\sin 2x}$
$\sin^{8}x + \cos^{8}x = \frac{17}{16} \cos^{2}2x$
$\cos^{2}\frac{x}{2} = \tan^{2}x \sin^{2}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4})$
$(1 + \sin x + 2 \cos x) \cos 2x - \sin 2x = 1$
$\cos x + \cos^{2}3x - \sin^{2}2x = 0$ trên $[0; \pi]$
$\cos^{2}3x \cos 2x - \cos^{2}x = 0$
$\sin 5x = 5 \sin x$
$(1 + \sin^{2}x) \cos x + (1 + \cos^{2}x) \sin x = 1 + \frac{1}{2} \sin 2x$

Bài 1.24: Tìm các nghiệm thuộc khoảng $(0; 27)$ của phương trình $\sin x + \frac{\cos 3x + \sin 3x}{1 + 2 \sin 2x} = \cos 2x + 3$.

GIỚI THIỆU MỘT SỐ PTLG TRONG ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

Giải các phương trình lượng giác sau đây:

(CĐ-2011) $\cos 4x + 12 \sin^{2}x - 1 = 0$
(Khối D – 2011) $\frac{\sin 2x + 2 \cos x - \sin x - 1}{\tan x + \sqrt{3}} = 0$
(Khối B – 2011) $\sin 2x \cos x + \sin x \cos x = \cos 2x + \sin x + \cos x$
(Khối A – 2011) $\frac{1 + \sin 2x + \cos 2x}{1 + \cot^{2}x} = \sqrt{2} \sin x \sin 2x$
(Khối D - 2010) $\sin 2x - \cos 2x + 3 \sin x - \cos x - 1 = 0$
(Khối B - 2010) $(\sin 2x + \cos 2x) \cos x + 2 \cos 2x - \sin x = 0$
(Khối A - 2010) $\frac{(1 + \sin x + \cos 2x) \sin(x + \frac{\pi}{4})}{1 + \tan x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x$
(Khối A – 2009) $\frac{(1 - 2 \sin x) \cos x}{(1 + 2 \sin x)(1 - \sin x)} = \sqrt{3}$
(Khối B – 2009) $\sin x + \cos x \sin 2x + \sqrt{3} \cos 3x = 2(\cos 4x + \sin^{3}x)$
(Khối D – 2009) $\sqrt{3} \cos 5x - 2 \sin 3x \cos 2x - \sin x = 0$
(Khối A – 2008) $\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin(x - \frac{3\pi}{2})} = 4 \sin(\frac{7\pi}{4} - x)$
(Khối B – 2008) $2 \sin x(1 + \cos 2x) + \sin 2x = 1 + 2 \cos x$
(Khối D – 2008) $\sin^{3}x - \sqrt{3} \cos^{3}x = \sin x \cos^{2}x - \sqrt{3} \sin^{2}x \cos x$
(Khối B – 2007) $2 \sin^{2}2x + \sin 7x - 1 = \sin x$
(Khối D – 2007) $(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2})^{2} + \sqrt{3} \cos x = 2$
(Khối D – 2006) $\cos 3x + \cos 2x - \cos x - 1 = 0$
(Khối B - 2006) $\cot x + \sin x(1 + \tan x \tan\frac{x}{2}) = 4$
(Khối A – 2006) $\frac{2(\cos^{6}x + \sin^{6}x) - \sin x \cos x}{\sqrt{2} - 2 \sin 2x} = 0$
(Khối D – 2005) $\cos^{4}x + \sin^{4}x + \cos(x - \frac{\pi}{4}) \sin(3x - \frac{\pi}{4}) - \frac{3}{4} = 0$
(Khối B – 2005) $1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0$
(Khối A – 2005) $\cos^{2}3x \cos 2x - \cos^{2}x = 0$
(Khối D – 2004) $(2 \cos x - 1)(2 \sin x + \cos x) = \sin 2x - \sin x$
(Khối B – 2004) $5 \sin x - 2 = 3(1 - \sin x) \tan^{2}x$
(Khối D – 2003) $\sin^{2}(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}) \tan^{2}x - \cos^{2}\frac{x}{2} = 0$
(Khối A – 2003) $\cot x - 1 = \frac{\cos 2x}{1 + \tan x} + \sin^{2}x - \frac{1}{2} \sin 2x$
(Khối B – 2002) $\cos^{2}3x - \cos^{2}4x = \sin^{2}5x - \cos^{2}6x$

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 1 NĂM HỌC 2009 - 2010

MÔN TOÁN LỚP 11 - CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO

(Thời gian làm bài: 60 phút)

Bài 1. (6 điểm) Giải các phương trình sau đây:

$2 \sin 2x + 3 = 2 \sin^{2}x$
$1 + \sin x \sin 3x = 0$
$\sqrt{3} \cos x = \sin x - 1$
$1 + \tan x \tan 2x = 0$

Bài 2. (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): $2x - 5y + 4 = 0$.

Tìm phương trình ảnh của (d) trong phép đối xứng tâm $I(3; -2)$.
Hãy xác định vec tơ $\vec{v}$ có giá song song với Ox, biết rằng trong phép tịnh tiến theo $\vec{v}$ đường thẳng (d) có ảnh là một đường thẳng qua gốc O.

Bài 3. (2 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M(1; 4)$ và đường thẳng $\Delta: x - 3y + 1 = 0$. Tìm tọa độ ảnh của M trong phép đối xứng qua đường thẳng $\Delta$. Suy ra phương trình ảnh của đường tròn (C): $x^{2} + y^{2} - 2x - 8y + 3 = 0$ trong phép đối xứng qua $\Delta$.