Chương 1. Ứng dụng đạo hàm

Đơn điệu và cực trị của hàm số

Lý thuyết

1. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

Định nghĩa: Kí hiệu $K$ là khoảng; đoạn; nửa khoảng. Giả sử hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$.

Hàm số $y = f(x)$:

Gọi là đồng biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$ mà $x_1 \lt x_2$ thì $f(x_1) \lt f(x_2)$.
Gọi là nghịch biến trên $K$ nếu $\forall x_1, x_2 \in K$ mà $x_1 \lt x_2$ thì $f(x_1) \gt f(x_2)$.

Chú ý:

Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $K$ thì đồ thị đi lên từ trái sang phải.
Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $K$ thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

2. Tính đơn điệu của hàm số

Định lý: Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $K$.

Nếu $f’(x) \gt 0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $K$.
Nếu $f’(x) \lt 0$ với mọi $x$ thuộc $K$ thì hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên $K$.

Chú ý:

Định lí vẫn đúng trong trường hợp $f^\prime (x) = 0$ tại một số hữu hạn điểm trong $K$.
Nếu $f^\prime (x) = 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số $f(x)$ không đổi trên khoảng $K$.

3. Khái niệm cực trị của hàm số

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f(x)$ xác định và liên tục trên khoảng $(a;b)$ (a có thể là $-\infty$, b có thể là $+\infty$) và điểm $x_0 \in (a;b)$.

Cực đại: $\exists h \gt 0$ sao cho $f(x) \lt f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0-h; x_0+h) \subset (a;b)$ và $x \neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$.
Cực tiểu: $\exists h \gt 0$ sao cho $f(x) \gt f(x_0)$ với mọi $x \in (x_0-h; x_0+h) \subset (a;b)$ và $x \neq x_0$ thì ta nói hàm số $f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$.

Chú ý:

Đối với cực đại:

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực đại tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực đại của hàm số $f(x)$. Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực đại của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{CĐ}$ hay $y_{CĐ}$.
Điểm $M_0(x_0; f(x_0))$ được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.

Đối với cực tiểu:

Hàm số $y = f(x)$ đạt cực tiểu tại $x_0$ thì $x_0$ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$. Khi đó, $f(x_0)$ được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$ và kí hiệu là $f_{CT}$ hay $y_{CT}$.
Điểm $M_0(x_0; f(x_0))$ được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Tổng quát:

Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (cực trị) của hàm số.

4. Cách tìm cực trị của hàm số

Định lý: Giả sử hàm số $y = f(x)$ liên tục trên khoảng $(a;b)$ chứa điểm $x_0$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a; x_0)$ và $(x_0; b)$. Khi đó:

Điều kiện cực tiểu: Nếu $f’(x) \lt 0$ với mọi $x \in (a; x_0)$ và $f’(x) \gt 0$ với mọi $x \in (x_0; b)$ thì $x_0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$.
Điều kiện cực đại: Nếu $f’(x) \gt 0$ với mọi $x \in (a; x_0)$ và $f’(x) \lt 0$ với mọi $x \in (x_0; b)$ thì $x_0$ là một điểm cực đại của hàm số $f(x)$.

Bảng biến thiên:

Cực tiểu:

$x$	$(a, x_0)$	$x_0$	$(x_0, b)$
$f’(x)$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	↘	Cực tiểu	↗

Cực đại:

$x$	$(a, x_0)$	$x_0$	$(x_0, b)$
$f’(x)$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	↗	Cực đại	↘

Chú ý:

Mũi tên ↘ biểu thị hàm số giảm (nghịch biến)
Mũi tên ↗ biểu thị hàm số tăng (đồng biến)

5. Các bước tìm cực trị của hàm số

Chú ý: Từ định lí trên ta có các bước tìm cực trị của hàm số $y = f(x)$ như sau:

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính $f^\prime (x)$. Tìm các điểm mà tại đó $f^\prime (x)$ bằng 0 hoặc $f^\prime (x)$ không tồn tại.
Lập bảng biến thiên suy ra các cực trị của hàm số.

Trường hợp đặc biệt: Nếu $f^\prime (x_0) = 0$ nhưng $f^\prime (x)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x_0$ thì $x_0$ không phải là điểm cực trị của hàm số.

Ví dụ: Hàm số $f(x) = x^3$ có:

$f^\prime (x) = 3x^2$
$f^\prime (0) = 0$

Nhưng $x = 0$ không phải là điểm cực trị của hàm số vì $f^\prime (x) = 3x^2 \geq 0$ với mọi $x$, tức là $f^\prime (x)$ không đổi dấu khi $x$ qua $x = 0$.

Các dạng bài tập

Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi một công thức

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm $f^\prime (x)$ của các hàm số. Tìm các điểm $x_1; x_2; …; x_n \in D$ mà tại đó đạo hàm $f^\prime (x)$ bằng 0 hoặc không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm $x_1; x_2; …; x_n$ theo thứ tự tăng dần. Xét dấu $f^\prime (x)$ và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Ví dụ 1.1. Xét tính đơn điệu của hàm số $y = 4x^3 + 3x^2 - 36x + 6$.

Ví dụ 1.2. Xét tính đơn điệu của hàm số $f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 1}$.

Ví dụ 1.3. Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \sqrt{-x^2 + 4}$.

Ví dụ 1.4. Xét tính đơn điệu của hàm số $y = \log_3 (x^2 - 2x)$.

Dạng 2. Xét tính đơn điệu của hàm số khi biết bảng biến thiên hoặc đồ thị

Phương pháp:

Với đồ thị hàm số, quan sát: hướng lên – xuống của đường cong (chiều từ trái sang phải).
Với bảng biến thiên, quan sát: hướng lên – xuống của mũi tên (chiều từ trái sang phải).
Với bảng xét dấu, quan sát: dấu âm - dương của $f^\prime (x)$.

Ví dụ 2.1. Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$0$		$1$		$+\infty$
$y’$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$\quad \nearrow \quad$	$-1$	$\quad \searrow \quad$	$-2$	$\quad \nearrow \quad$	$+\infty$

Xét tính đơn điệu của hàm số $y = f(x)$.

Ví dụ 2.2. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[-3;3]$ và có đồ thị như hình bên. Xét tính đơn điệu của hàm số $y = f(x)$.

Dạng 3. Xác định cực trị của hàm số cho bởi công thức

Phương pháp:

Bước 1: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.
Bước 2: Tính đạo hàm $f^\prime (x)$ của các hàm số. Tìm các điểm $x_1; x_2; …; x_n \in D$ mà tại đó đạo hàm $f^\prime (x)=0$ hoặc $f^\prime (x)$ không tồn tại.
Bước 3: Sắp xếp các điểm $x_1; x_2; …; x_n$ theo thứ tự tăng dần. Xét dấu $f’(x)$ và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Kết luận hàm số đạt cực trị tại $x = ?$, $y = ?$ (nếu có).

Ví dụ 3.1. Tìm cực trị của hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 + 1$.

Ví dụ 3.2. Tìm cực trị của hàm số $y = -x^4 + 2x^3 - 2x - 1$.

Ví dụ 3.3. Tìm cực trị của hàm số $y = \dfrac{x+2}{3x-1}$.

Ví dụ 3.4. Tìm cực trị của hàm số $y = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{1 - x}$.

Ví dụ 3.5. Tìm cực trị của hàm số $f(x) = 2^{x^2 - 5x}$.

Dạng 4. Xác định cực trị của hàm số cho bởi bảng biến thiên – đồ thị

Phương pháp:

Nhận xét:

Hàm số $f(x)$	$f^\prime (x)$ đổi dấu
có cực trị	$f^\prime (x)$ đổi dấu
không cực trị	$f^\prime (x)$ không đổi dấu
chỉ có 1 cực trị	$f^\prime (x)$ đổi dấu 1 lần
có 2 cực trị	$f^\prime (x)$ đổi dấu 2 lần
có 3 cực trị	$f^\prime (x)$ đổi dấu 3 lần

Quy tắc chung: Đối với một hàm số khả vi, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm $x_0$ mà tại đó đạo hàm triệt tiêu $f^\prime (x_0) = 0$ hoặc đạo hàm không xác định tại đó.

Ví dụ 4.1. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f^\prime (x)$ như hình bên. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu và điểm cực đại?

Ví dụ 4.2. Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$-1$			$0$			$1$		$+\infty$
$y^\prime$		$+$	$0$	$-$		$\|\|$		$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-\infty$	$\|\|$	$+\infty$	$\searrow$	$4$	$\nearrow$	$+\infty$

Hàm số $y = f(x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu và điểm cực đại?

Ví dụ 4.3. Cho hàm số $y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có bảng biến thiên như sau:

$x$	$-\infty$		$0$		$3$		$+\infty$
$f’(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$-\infty$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$	$+\infty$

Dựa vào bảng biến thiên, hãy thiết lập công thức hàm số $y = f(x)$ đã cho?

Dạng 5. Toán thực tế áp dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp:

Nếu hàm số $s = f(t)$ biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian $t$ thì $f^\prime (t_0)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại $t_0$.
Đạo hàm cấp hai $f^{\prime \prime} (t)$ là gia tốc tức thời tại thời điểm $t$ của vật chuyển động có phương trình $s = f(t)$.

Ví dụ 5.1. Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao $h$ (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm $t$ phút được cho bởi $h(t) = 6t^3 - 81t^2 + 324t$. Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao?

Ví dụ 5.2. Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Tọa độ của chất điểm tại thời điểm $t$ (giây) được xác định bởi hàm số $x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ với $t \geq 0$. Khi đó $x^\prime (t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t)$. Trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm tăng, trong khoảng thời gian nào vận tốc của chất điểm giảm?

Dạng 6. Bài toán liên quan tính đơn điệu có chứa tham số

Phương pháp:

1. Tìm tham số $m$ để hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ đơn điệu trên tập xác định:

Bước 1: Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Tính đạo hàm $y’ = 3ax^2 + 2bx + c$.
Bước 2:
- Để $y$ đồng biến trên $\mathbb{R}$: $y’ \geq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow$ $a \gt 0$ và $\Delta_{y’} \leq 0$.
- Để $y$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$: $y’ \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}\Leftrightarrow$ $a \lt 0$ và $\Delta_{y’} \leq 0$.

2. Tìm tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ đơn điệu trên mỗi khoảng xác định:

Bước 1: Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{-\dfrac{d}{c} \}$. Tính đạo hàm $y’ = \dfrac{ad - cb}{(cx + d)^2}$.
Bước 2:
- Để $y$ đồng biến trên mỗi khoảng xác định: $y’ \gt 0$ $\Leftrightarrow$ $ad - bc \gt 0$.
- Để $y$ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định: $y’ < 0$ $\Leftrightarrow$ $ad - bc \lt 0$.

Ví dụ 6.1. Cho hàm số $y = -\dfrac{1}{3}x^3 - mx^2 + (3m + 2)x - 2$. Xác định điều kiện của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.

Ví dụ 6.2. Cho hàm số $y = \dfrac{2x - m}{x - 1}$. Xác định điều kiện của tham số $m$ để hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Dạng 7. Bài toán hàm hợp

Phương pháp: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $y = f(u(x))$ từ bảng biến thiên/đồ thị của $f^\prime (x)$.

Bước 1: Tính $y^\prime = u^\prime \cdot f^\prime (u) \Rightarrow y^\prime = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} u^\prime = 0 \\ f^\prime (u) = 0 \end{cases}$ ($(1)$)
Bước 2: Để giải $(1)$ ta tìm $f^\prime (x) = 0$ (đồ thị cắt trục hoành). Giả sử $f^\prime (x) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} x = a \\ \vdots \\ x = b \end{cases} \Rightarrow f^\prime (u) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} u = a \\ \vdots \\ u = b \end{cases}$ → nghiệm của $(1)$.
Bước 3: Lập bảng xét dấu của $y^\prime = u^\prime \cdot f^\prime (u) \Rightarrow$ khoảng đơn điệu cần tìm.

Lưu ý: Bài toán tìm cực trị của hàm số $y = f(u(x))$ ta làm tương tự.

Ví dụ 7.1. Cho hàm số $f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như hình bên dưới. Xác định các khoảng đồng biến của hàm số $y = f(1-2x)$.

$x$	$-\infty$		$-3$		$-2$		$0$		$1$		$3$		$+\infty$
$f’(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Ví dụ 7.2. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị đạo hàm $y = f’(x)$ như hình vẽ. Xác định các khoảng nghịch biến của hàm số $g(x) = f(x^2 - 2)$.

Ví dụ 7.3. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f’(x) = (x^2 - 1)(x - 4)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Hàm số $g(x) = f(3-x)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Ví dụ 7.4. Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu $f’(x)$ như sau:

$x$	$-\infty$		$-2$		$1$		$3$		$+\infty$
$f’(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$

Hỏi hàm số $y = f(x^2 - 2x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?