BÀI 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tọa độ vectơ

Cho $\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ và $\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$. Ta có:

$\vec{a} \pm \vec{b}=(a_{1} \pm b_{1}; a_{2} \pm b_{2}; a_{3} \pm b_{3})$
$k.\vec{a}=(ka_{1}; ka_{2}; ka_{3})$
$\vec{a}=\vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} a_{1}=b_{1} \\ a_{2}=b_{2} \\ a_{3}=b_{3} \end{cases}$
$\vec{a}$ cùng phương $\vec{b} \Leftrightarrow \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}$ (với $b_1, b_2, b_3 \ne 0$)
$\vec{a}.\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$
$\vec{a}\perp\vec{b} \Leftrightarrow a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=0$
$|\vec{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}$
$\cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}.\vec{b}}{|\vec{a}|.|\vec{b}|} = \dfrac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}$

Bài 1.

Cho tam giác $ABC$, biết $A(2;0;1)$, $B(1;-1;2),$ $C(2;3;1)$.

Tam giác $ABC$ có góc $A$ nhọn hay tù?
Tính chu vi tam giác $ABC$.
Tìm tọa độ điểm $M$ trên trục tung sao cho tam giác $MBC$ vuông tại $M$.

Bài 2.

Cho tam giác $ABC$ biết $A(3;4;-1)$, $B(2;0;3)$ $C(-3;5;4)$. Tính độ dài các cạnh tam giác $ABC$. Tính cosin các góc $A$, $B$, $C$ và diện tích tam giác $ABC$.

2. Tọa độ điểm

Cho $A(x_{A};y_{A};z_{A}), B(x_{B};y_{B};z_{B}), C(x_{C};y_{C};z_{C})$

$\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A}; y_{B}-y_{A}; z_{B}-z_{A})$
$|\overrightarrow{AB}|=AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}+(z_{B}-z_{A})^{2}}$
$M$ là trung điểm của $AB \Leftrightarrow M\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}; \frac{y_{A}+y_{B}}{2}; \frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)$
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC \Leftrightarrow G\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3}; \frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3}; \frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right)$

Bài 3.

Cho 3 điểm $A(3;1;-1)$, $B(-2;2;3)$, $C(0;3;2)$.

Xác định tọa độ trọng tâm $G$ và trực tâm $H$ của tam giác $ABC$.
Xác định tọa độ điểm $A'$ là chân đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
Gọi $I$ là điểm chia đoạn $HG$ theo tỉ số $k=3$. Chứng minh $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Bài 4.

Cho 4 điểm $A(a;0;0)$, $B(0;a;0),$ $C(0;0;b),$ $D(a;a;b)$ với $0\lt a\le b$.

Chứng minh $AB$ vuông góc với $CD$.
Gọi $I$, $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh $IJ$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$.

3. Tích có hướng của hai vectơ

Cho $\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ và $\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})$.

Tích có hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một vectơ, ký hiệu là $[\vec{a},\vec{b}]$: $$[\vec{a},\vec{b}]=\left(\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\ b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}; \begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\ b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}; \begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\ b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}\right)$$ $$= (a_2b_3 - a_3b_2; a_3b_1 - a_1b_3; a_1b_2 - a_2b_1)$$

Ứng dụng của tích có hướng:

$\vec{a}, \vec{b}$ cùng phương $\Leftrightarrow [\vec{a},\vec{b}]=\vec{0}$
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{a},\vec{b}].\vec{c}=0$
Diện tích hình bình hành ABCD: $S_{ABCD}=|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}]|$
Diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]|$
Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D': $V = |[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}].\overrightarrow{AA'}|$
Thể tích tứ diện ABCD: $V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}].\overrightarrow{AD}|$

Bài 5.

Cho 4 điểm $A(-1;2;0)$, $B(-3;0;2)$, $C(0;2;-1)$ và $D(1;4;0)$. Chứng minh $ABCD$ là một tứ diện. Tính thể tích của nó.

Bài 6.

Cho $A(2;1;-1),$ $B(3;0;1)$, $C(2;-1;3)$ và $D \in Oy$. Biết thể tích của tứ diện $ABCD$ bằng $5$. Tìm tọa độ của $D$. Tìm tọa độ hình chiếu $H$ của $O$ lên mp($ABC$).

Bài 7.

Cho hình chóp $S.ABC$, biết $A(1;2;-1)$, $B(5;0;3)$, $C(7;2;2)$, $SA \perp (ABC)$, $S\in(Oyz)$. Tìm tọa độ điểm $S$.

C. BÀI TẬP

Bài 8.

Cho 2 điểm cố định $A(1;1;0)$, $B(0;0;1)$ và 2 điểm di động $M(m;0;0)$, $N(0;n;0)$ ($m,n \in \mathbb{R}_{+}^{*}$).

Tìm quan hệ giữa m, n để OA $\perp$ MN.
Tính thể tích của hình chóp B.OMAN.
M, N di động sao cho $m \cdot n=1$. Tính m, n để $V_{B.OMAN}$ nhỏ nhất.

Bài 9.

Cho 4 điểm $A(1;1;1)$, $B(2;-1;3)$, $C(2;1;1)$ và $D(3;0;2)$.

Chứng minh A, B, C, D đồng phẳng.
Cho $E(1;3;3)$. Chứng minh $EA \perp (ABC)$. Tính thể tích tứ diện E.ABC.
Tính khoảng cách từ B đến (ACE).

Bài 10.

Cho 4 điểm $A(2;-1;3)$, $B(1;3;-2)$, $C(-1;2;3)$ và $D(0;m;p)$. Xác định m và p để 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành.

Bài 11.

Cho 2 điểm $A(-2;1;2)$ và $B(1;-2;2)$.

Chứng minh $OAB$ là tam giác vuông cân.
Tìm M thuộc $Ox$ nhìn đoạn AB dưới một góc vuông.
Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp($Oxy$) nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông.