CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

1) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

$\overrightarrow{n} \ne \overrightarrow{0}$ là VTPT của $mp(\alpha)$ nếu: $\overrightarrow{n} \perp (\alpha)$
Chú ý: Hai vectơ không cùng phương $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ có giá chứa trong hoặc song song với $(\alpha)$. Khi đó: $[\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}]$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$
Nhận xét: Một mặt phẳng có vô số VTPT cùng phương với nhau.

2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: $Ax + By + Cz + D = 0$ ($A^2 + B^2 + C^2 \ne 0$)

Mặt phẳng có phương trình: $Ax+By+Cz+D=0$ thì có VTPT: $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$
Mặt phẳng qua $M(x_0;y_0;z_0)$ và có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ thì có phương trình: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$
Phương trình mặt phẳng cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c)$ là: $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$ (phương trình theo đoạn chắn)
$Mp(Oxy): z=0$
$Mp(Oyz): x=0$
$Mp(Ozx): y=0$

3) Khoảng cách từ $M(x_0;y_0;z_0)$ đến (P) được tính theo công thức:

$d(M;(P)) = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

4) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Phương trình chùm mặt phẳng):

Cho hai mặt phẳng $(P): Ax+By+Cz+D=0$ và $(P'): A'x+B'y+C'z+D'=0$. Phương trình mặt phẳng chứa giao tuyến của $(P)$ và $(P')$ có dạng: $m(Ax+By+Cz+D)+n(A'x+B'y+C'z+D')=0$ (với m, n không đồng thời bằng 0)

B. KỸ NĂNG.

Rèn kĩ năng viết PT mặt phẳng biết vectơ pháp tuyến và đi qua điểm M.
Rèn kĩ năng viết PT mặt phẳng biết cặp vectơ chỉ phương và điểm M.

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP.

Phương pháp: Để viết phương trình của mặt phẳng (P) ta thường tìm 1 điểm $M(x_0;y_0;z_0) \in (P)$ và 1 VTPT $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ của mặt phẳng (P): khi đó (P): $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Nhận xét 1: Để tìm VTPT của mp ta thường sử dụng Chú ý.
Nhận xét 2: Cho $(P): Ax+By+Cz+D=0$. Nếu $(Q) // (P)$ thì $(Q): Ax+By+Cz+D'=0\quad (D' \ne D)$.

Bài 1:

Viết PT mp (P) qua $A(-2;-1;0)$ và song song với mp (Q): $x-3y+4z+5=0$.

Bài 2:

Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:

Qua ba điểm $A(1;-1;2)$, $B(2;3;0)$ và $C(-2;2;2)$.
(P) là mặt trung trực của AB.
Qua C và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): $x+y-2z=0$ và (R): $x-z+3=0$.

Bài 3:

Cho $A(1;-1;3)$, $B(3;0;1)$ và $C(0;4;5)$.

Viết phương trình mp(ABC).
Viết phương trình mp qua O, A và vuông góc với (Q): $x+y+z=0$.
Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm $P(2;-3;5)$.

Bài 4:

Trong không gian Oxyz, cho $M(-4;-9;12)$ và $A(2;0;0)$. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho $OB=1+OC$ (B, C khác O).

Bài 5:

Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua $F(4;-3;2)$ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (Q): $x-y+2z-3=0$ và (T): $2x-y-3z=0$.

Bài 6:

Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua $E(3;4;1)$ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (R): $19x-6y-4z+27=0$ và (K): $42x-8y+3z+11=0$.

Bài 7:

Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): $x-2y=0$, (Q): $3x-2y+z-3=0$ và vuông góc với mặt phẳng: (R): $x-2y+z+5=0$.

Bài 8:

Cho hai mặt phẳng: (P): $2x-y+z=0$, (Q): $x-3y+2=0$.

Viết phương trình của mặt phẳng $(\alpha)$ qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox.
Viết phương trình mặt phẳng $(\beta)$ qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng $\frac{125}{36}$.

Bài 9:

(ĐH- 2010D Phần riêng chương trình chuẩn). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng (P) : $x+y+z-3=0$; (Q): $x-y+z-1=0$. Viết phương trình mặt phẳng (R) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng cách từ O tới (R) bằng 2.

Bài 10:

Viết phương trình mặt phẳng ($P$) đi qua $G(-2;3;5)$ và cắt $Ox$, $Oy$, $Oz$ tại $A$, $B$, $C$ sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ ($A$, $B$, $C$ không trùng với gốc tọa độ).