CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Các dạng phương trình đường thẳng:

Phương trình tham số:
$$ \begin{cases} x = x_0 + a_1t \\ y = y_0 + a_2t \\ z = z_0 + a_3t \end{cases} $$
với $\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình chính tắc:
$$ \frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3} $$
(với $a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \ne 0$).

2) Vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng:

Cho đường thẳng $\Delta_1$ qua điểm $M_1(x_1; y_1; z_1)$ có VTCP $\vec{u_1} = (a_1; a_2; a_3)$ và đường thẳng $\Delta_2$ qua điểm $M_2(x_2; y_2; z_2)$ có VTCP $\vec{u_2} = (b_1; b_2; b_3)$. Khi đó:

$\Delta_1$ và $\Delta_2$ đồng phẳng $\Leftrightarrow [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0$.
$\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau $\Leftrightarrow$ $$ \begin{cases} [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} = 0 \\ [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \ne \vec{0} \end{cases} $$ hoặc hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất $(t_0; t'_0)$: $$ \begin{cases} x_1 + a_1t = x_2 + b_1t' \\ y_1 + a_2t = y_2 + b_2t' \\ z_1 + a_3t = z_2 + b_3t' \end{cases} $$ Để tìm tọa độ giao điểm, thay $t_0$ vào phương trình $\Delta_1$ hoặc $t'_0$ vào phương trình $\Delta_2$.
$\Delta_1 // \Delta_2 \Leftrightarrow$ $$ \begin{cases} [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \vec{0} \\ M_1 \notin \Delta_2 \end{cases} $$ (hay $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ cùng phương và $M_1 \notin \Delta_2$).
$\Delta_1 \equiv \Delta_2 \Leftrightarrow$ $$ \begin{cases} [\vec{u_1}, \vec{u_2}] = \vec{0} \\ M_1 \in \Delta_2 \end{cases} $$ (hay $\vec{u_1}, \vec{u_2}$ cùng phương và $M_1 \in \Delta_2$).
$\Delta_1$ và $\Delta_2$ chéo nhau $\Leftrightarrow [\vec{u_1}, \vec{u_2}] \cdot \vec{M_1M_2} \ne 0$ hoặc hệ phương trình ẩn $t, t'$ ở trên vô nghiệm.

B. KĨ NĂNG

Rèn kĩ năng lập PT đường thẳng biết VTCP và một điểm.
Lập PT đường thẳng qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.

C. CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 1: Lập phương trình của đường thẳng d đi qua $M(2;3;-6)$ và song song với đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{1}$.

Bài 2: Cho $A(2;3;5)$ và mặt phẳng (P): $2x+3y-17=0$.
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).
b) Tìm giao điểm của d với trục Oz.

Bài 3: Cho $(d_1): \begin{cases} x=2+t \\ y=-1-t \\ z=t \end{cases}$, $(d_2): \frac{x-1}{-13} = \frac{y}{4} = \frac{z+2}{11}$ và điểm $A(1;0;-3)$. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (d1) và (d2).

Bài 4: Cho điểm $A(2;1;-2)$, đường thẳng (d) : $\frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-3}{3}$ , mặt phẳng (P): $x-y-z-4=0$. Viết phương trình đường thẳng (d') qua A, song song với (P) và vuông góc với đường thẳng (d).

Bài 5: Cho $M(1;1;-3)$ và đường thẳng (d): $\begin{cases} x=1+2t \\ y=2-t \\ z=3+3t \end{cases}$. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ qua M vuông góc và cắt (d).

Bài 6: Cho (P) : $x-2y+z-5=0$, đường thẳng $(d_1): \begin{cases} x=2-t \\ y=-1+t \\ z=t \end{cases}$ và $(d_2): \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{3}$. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ chứa trong $mp(P)$ và cắt (d1), (d2).

Bài 7: Cho $A(2;-1;-1)$, đường thẳng $(d_1): \begin{cases} x=1-t \\ y=t \\ z=-1 \end{cases}$ và $(d_2): \begin{cases} x=2k \\ y=1+k \\ z=1+2k \end{cases}$. Viết phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (d1) và cắt (d2).

Bài 8: Cho (P): $x-y+z-3=0$, đường thẳng (d) $\begin{cases} x=-1+2t \\ y=2-t \\ z=-1+2t \end{cases}$. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ chứa trong (P), vuông góc với (d) và đi qua giao điểm của (P) với (d).

Bài 9: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng $d: \frac{x-1}{3} = \frac{-(y-3)}{1} = \frac{z+4}{2}$ và song song với đường thẳng $d': \begin{cases} x=1+t \\ y=2+t \\ z=1+2t \end{cases}$.

Bài 10: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa $d: \begin{cases} x=1+t \\ y=2+t \\ z=1+2t \end{cases}$ và vuông góc với $mp(Q): 2x-y-z=0$.

Bài 11: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm $A(0;1;1)$, vuông góc với đường thẳng $d_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{1}$ và cắt đường thẳng $d_2: \begin{cases} x=1+t \\ y=2+t \\ z=1+2t \end{cases}$.

Bài 12: Lập phương trình đường thẳng d:
a) d qua $A(1;0;3)$ và cắt hai đường thẳng: $d_1: \frac{x+1}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-2}{3}$ và $d_2: \frac{x}{-1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-2}{-3}$.
b) d vuông góc với (P): $x-y-z-3=0$ và cắt hai đường thẳng: $d_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y+3}{2} = \frac{z-4}{3}$ và $d_2: \frac{x}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-2}$.
c) d là hình chiếu của $d_1: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z}{1}$ xuống mặt phẳng (P): $x-y-z+4=0$.

Bài 13: Lập phương trình đường thẳng d qua $A(2;-5;6)$ cắt Ox và song song với $mp(P): x+5y-6z=0$.

Bài 14: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm $A(1;-2;1)$ lên mp(P): $x+5y-6z=0$.

Bài 15: Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng: $\Delta_1: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z-3}{2}$ và $\Delta_2: \frac{x-3}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{5}$ và song song với đường thẳng d': $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z}{-2}$.

Bài 16: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: $d_1: \begin{cases} x=3-4t \\ y=-2+t \\ z=-1+t \end{cases}$ và $d_2: \begin{cases} x=-6t' \\ y=1+t' \\ z=2+2t' \end{cases}$.

Bài 17: Lập phương trình đường thẳng d đi qua $A(-4;-2;4)$ cắt và vuông góc với đường thẳng d': $\frac{x+3}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+1}{4}$.

Bài 18: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: $\Delta_1: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z-3}{2}$ và $\Delta_2: \frac{x-3}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z}{5}$.
a) Viết phương trình mặt phẳng chứa $\Delta_1$ và song song với $\Delta_2$.
b) Cho điểm $M(2;1;4)$. Tìm tọa độ điểm $H \in \Delta_2$ sao cho độ dài MH nhỏ nhất.

Bài 19: Trong không gian cho hai điểm $A(2;3;0)$, $B(0;-2;0)$ và đường thẳng d: $\frac{x}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{-2}$.
a) Lập phương trình $mp(P)$ qua A và vuông góc với d.
b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): $x-2y+z-3=0$ sao cho $NA+NB$ nhỏ nhất.