Bài 1. Nguyên hàm

---

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Nguyên hàm

Định nghĩa:

$\int f(x)dx = F(x) + C \Leftrightarrow F'(x) = f(x)$

Tính chất:

• 1. $\int f'(x)dx = f(x) + C$
• 2. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$
• 3. $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx$

Bảng nguyên hàm cơ bản:

• $\int 0 dx = C$
• $\int dx = x+C$
• $\int x^{\alpha}dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1} + C$
• $\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$
• $\int e^{x}dx = e^{x} + C$
• $\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \quad (a>0, a \ne 1)$
• $\int \cos x dx = \sin x + C$
• $\int \sin x dx = -\cos x + C$
• $\int \frac{1}{\cos^{2}x}dx = \tan x + C$
• $\int \frac{1}{\sin^{2}x}dx = -\cot x + C$

2. Tích phân

Định nghĩa:

$\int_{a}^{b}f(x)dx = F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

Tính chất:

• 1. $\int_{a}^{a}f(x)dx = 0$
• 2. $\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$
• 3. $\int_{a}^{b}kf(x)dx = k\int_{a}^{b}f(x)dx$
• 4. $\int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)]dx = \int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx$
• 5. $\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{c}f(x)dx + \int_{c}^{b}f(x)dx \quad (a\lt c\lt b)$

3. Các phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân

• Dạng 1: Tìm nguyên hàm, tính tích phân bằng định nghĩa.
• Dạng 2: Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
• Dạng 3: Xác định nguyên hàm, tính tích phân bằng phương pháp nguyên hàm từng phần.

---

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

• Áp dụng định nghĩa, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân.
• Áp dụng phương pháp đổi biến số, phương pháp từng phần để tính tích phân.
• Sử dụng máy tính cầm tay để giải bài tập về nguyên hàm, tích phân.

---

C. BÀI TẬP

Dạng 1: Áp dụng ĐN, tính chất, bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm, tính tích phân

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1. $f(x)=\frac{(x^{2}-1)^{2}}{x^{2}}$
2. $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}$
3. $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$
4. $f(x)=\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{x}$
5. $f(x)=\frac{x-1}{\sqrt[3]{x}}$
6. $f(x)=2\sin^{2}\frac{x}{2}$
7. $f(x)=\tan^{2}x = \frac{1}{\cos^{2}x}-1$
8. $f(x)=e^{2x}+1$

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. $\int(x^{4}-3x^{2}+2x+1)dx$
2. $\int(x+1)(x-2)dx$
3. $\int\frac{1}{x^{2}-3x+2}dx$
4. $\int(\frac{1}{\cos^{2}x}-2x+e^{x})dx$
5. $\int(\cos 3x - 5\sin x)dx$
6. $\int\sin^{2}\frac{x}{2}dx$

Bài 3. Tìm hàm số $f(x)$ biết:

1. $f'(x)=2x+1$ và $f(1)=5$
2. $f'(x) = 2 - x²$ và $f(2)=7/3$

Bài 4. Tính các tích phân sau:

1. $\int_{0}^{1}(x^{3}-1)dx$
2. $\int_{1}^{2}\frac{x^{2}+4x}{x}dx$
3. $\int_{0}^{1}(e^{x}+2)dx$

Bài 5. Tính các tích phân sau:

1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-3\sin x)dx$
2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(3+\cos 2x)dx$
3. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2\cos x-\sin 2x)dx$
4. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin 3x \cos x dx$

Bài 6. Tính các tích phân sau:

1. $\int_{0}^{2}|x^{2}-1|dx$
2. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}|\sin x|dx$
3. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{(\cos x-\sin x)^{2}}dx$

DẠNG 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:

1. Nguyên hàm

Tính $I=\int f[u(x)].u^{\prime}(x)dx$ bằng cách đặt $t=u(x)$.

Đặt $t=u(x)\Rightarrow dt=u^{\prime}(x)dx$.

$I=\int f[u(x)].u^{\prime}(x)dx=\int f(t)dt$

2. Tính tích phân $\int_{a}^{b}f[\varphi(x)]\varphi^{\prime}(x)dx$ bằng phương pháp đổi biến.

1. Bước 1: Đặt $t=\varphi(x)\Rightarrow dt=\varphi^{\prime}(x).dx$
2. Bước 2: Đổi cận: $x=a\Rightarrow t=\varphi(a)$; $x=b\Rightarrow t=\varphi(b)$
3. Bước 3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân tìm được.

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

• Biết cách đặt ẩn phụ.
• Biết biểu diễn nguyên hàm theo ẩn phụ, đổi cận đối với tích phân.
• Biết sử dụng tính chất, công thức vào giải toán.

C. BÀI TẬP

1. NGUYÊN HÀM

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. $\int\sqrt{x^{2}+1}.xdx$
2. $\int(x^{3}+5)^{4}x^{2}dx$
3. $\int\frac{x}{x^{2}+5}dx$
4. $\int\frac{dx}{\sqrt{2x-1}}$
5. $\int(x-1)e^{x^{2}-2x+3}dx$

Bài 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. $\int\frac{\sin x}{\cos^{5}x}dx$
2. $\int \cot xdx=\int\frac{\cos x}{\sin x}dx$
3. $\int\frac{\sin x}{\sqrt[3]{\cos^{2}x}}dx=\int\frac{\sin x}{\cos^{\frac{2}{3}}x}dx$
4. $\int(1+\cot^{2}2x)e^{\cot 2x}dx$

2. TÍCH PHÂN

Bài 1. Tính các tích phân sau :

1. $A=\int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^{2}}dx$
2. $B=\int_{0}^{1}x^{3}(x^{4}-1)^{5}dx$
3. $C=\int_{1}^{2}\frac{e^{x}dx}{e^{x}-1}$
4. $D=\int_{0}^{2}\sqrt{4-x^{2}}xdx$
5. $E=\int_{1}^{4}\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx$
6. $F=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin 2x}{1+\sin^{2}x}dx$
7. $G=\int_{0}^{\ln 2}(e^{x}-1)^{2}.e^{x}dx$ (Đề thi TN năm 2011-2012)

DẠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Nguyên hàm

Nếu $u(x)$ và $v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I:

$$ \int u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) - \int v(x).u'(x)dx $$

Hay:

$$ \int u dv = uv - \int v du \quad (\text{với } du = u'(x)dx, dv = v'(x)dx) $$

2. Tính tích phân từng phần

$$ \int_{a}^{b} u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v(x)u'(x)dx $$

---

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Phân dạng

• Dạng 1: $\int_{a}^{b} P(x) \begin{bmatrix} \sin(ax) \\ \cos(ax) \\ e^{ax} \end{bmatrix} dx$
  Đặt: $u = P(x),\, dv = \begin{bmatrix} \sin(ax) \\ \cos(ax) \\ e^{ax} \end{bmatrix} dx$
• Dạng 2: $\int_{a}^{b} f(x) \ln(ax) dx$
  Đặt: $\begin{cases} u = \ln(ax) \\ dv = f(x)dx \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} du = \frac{dx}{x} \\ v = \int f(x)dx \end{cases}$
• Dạng 3: $\int_{a}^{b} e^{ax} \begin{bmatrix} \sin(bx) \\ \cos(bx) \end{bmatrix} dx$
  Đặt: $\begin{cases} u = e^{ax} \\ dv = \sin(bx)dx \text{ (hoặc } \cos(bx)dx) \end{cases}$

---

C. BÀI TẬP

1. NGUYÊN HÀM

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. $I = \int x \sin x dx$
2. $I = \int (x-1)e^x dx$
3. $I = \int x \ln x dx$
4. $I = \int (1-x) \cos x dx$

Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1. $I = \int (1-2x)e^x dx$
2. $I = \int \sqrt{x} \ln x dx$
3. $I = \int \frac{x}{\sin^2 x} dx$
4. $I = \int (2x+3)e^{-x} dx$

---

2. TÍCH PHÂN

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1. $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x dx$
2. $J = \int_{1}^{e} x \ln x dx$
3. $K = \int_{0}^{1} x e^x dx$

Bài 2: Tính các tích phân sau:

1. $A = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2 x} dx$
2. $B = \int_{0}^{1} x e^{2x} dx$
3. $C = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx$