Bài 2. Ứng dụng hình học của tích phân

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Diện tích hình phẳng

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)$ liên tục, trục hoành, và hai đường thẳng $x = a, x=b$ được tính theo công thức: $$S=\int_{a}^{b}|f(x)|dx \quad (1)$$
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f_{1}(x)$, $y=f_{2}(x)$ liên tục trên $[a;b]$ và các đường thẳng $x=a; x=b$ là: $$S=\int_{a}^{b}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|dx \quad (2)$$

Chú ý: $\int_{a}^{c}|f_{1}(x)-f_{2}(x)|dx=|\int_{a}^{c}[f_{1}(x)-f_{2}(x)]dx|$

2. Thể tích vật thể

Cho vật thể (T) giới hạn bởi 2 mặt phẳng song song $(\alpha), (\beta)$. Xét hệ tọa độ Oxy sao cho Ox vuông góc với $(\alpha), (\beta)$. Gọi giao điểm của $(\alpha), (\beta)$ với Ox là $a, b$ $(a\lt b)$. Một mặt phẳng $(\gamma)$ vuông góc với Ox tại x và cắt (T) theo một thiết diện có diện tích $S(x)$.

Giả sử $S(x)$ là hàm liên tục trên $[a; b]$. Khi đó thể tích của (T) là: $$V=\int_{a}^{b}S(x)dx \quad (3)$$

3. Thể tích khối tròn xoay quay quanh trục Ox

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục Ox và hai đường thẳng $x=a, x=b$ quanh trục Ox được tính bởi công thức: $$V=\pi\int_{a}^{b}f^{2}(x)dx \quad (4)$$

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong, hai đường cong, ba đường cong.
Tính thể tích vật thể tròn xoay.
Giải một số bài toán thực tế.

C. BÀI TẬP

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị hàm số $y=x^{3}$, trục hoành và hai đường thẳng $x=-2, x=2$.
Đồ thị hàm số $y=x+\frac{1}{x}$, trục hoành, đường thẳng $x=1$ và $x=2$.
Đồ thị hàm số $y=e^{x}+1$, trục hoành, đường thẳng $x=0$ và đường thẳng $x=1$.
Đồ thị hàm số $y=x^{3}-4x$, trục hoành, đường thẳng $x=2$ và đường thẳng $x=4$.
Lời giải: Ta có $x^3 - 4x \ge 0$ trên đoạn $[2, 4]$. Do đó: $$S=\int_{2}^{4}(x^{3}-4x)dx=\left(\frac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right)\bigg|_{2}^{4} = (64-32) - (4-8) = 32 - (-4) = 36 \text{ (ĐVDT)}$$

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị hàm số $y=x^{3}-x$ và $y=x-x^{2}$.
Đồ thị hàm số $y=\cos x, y=\sin x$, và hai đường thẳng $x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{3\pi}{2}$.
Đồ thị hàm số $(H): y = x^3-3x^2+3x-1$ và $y = 1-x$, $x=0, x=2$.

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Trục tung, trục hoành và đồ thị hàm số: $y=\frac{2x+1}{x+1}$ (Đề thi TN năm 2004-2005).
Đồ thị các hàm số: $y=e^{x}; y=2$ và đường thẳng $x=1$ (Đề thi TN năm 2005-2006).

Bài 4. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị hàm số $y=\sin x$, trục hoành, và hai đường thẳng $x=\frac{\pi}{2}, x=\pi$.
Đồ thị hàm số $y=\cos x$, $y = 0$, $x=0$, $x=\frac{\pi}{4}$.
Đồ thị hàm số $y=x \cdot e^{x}$, $y=0$, $x=0$, $x=1$.
Đồ thị hàm số: $y=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}$ và các đường $y=0$, $x=0$, $x=3$.