Ước chung. Ước chung lớn nhất — Lời giải chi tiết
Toán 6 · Chương 2: Tính chia hết · Bài 4
Tìm ƯCLN và ước chung
- ƯCLN: phân tích mỗi số ra TSNT → chọn các thừa số chung → lấy với số mũ nhỏ nhất → nhân lại.
- $\text{ƯC}(a,b)=$ tập các ước của $\text{ƯCLN}(a,b)$.
Nguyên tố cùng nhau & phân số tối giản
- Hai số nguyên tố cùng nhau khi $\text{ƯCLN}=1$.
- Phân số tối giản khi tử và mẫu nguyên tố cùng nhau; rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho ƯCLN.
1 Tìm ƯCLN
a) $18$ và $30$. b) $24$, $48$ và $36$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: thừa số chung, mũ nhỏ nhất.a) $18=2\cdot3^2$, $30=2\cdot3\cdot5$ → $\text{ƯCLN}=2\cdot3=$ $6$.
b) $24=2^3\cdot3$, $48=2^4\cdot3$, $36=2^2\cdot3^2$ → $\text{ƯCLN}=2^2\cdot3=$ $12$.
2 Tìm ước chung
a) Tìm tất cả ước chung của $24$ và $40$. b) $\text{ƯC}(12,40,108)$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: ƯC $=$ các ước của ƯCLN.a) $24=2^3\cdot3$, $40=2^3\cdot5$ → $\text{ƯCLN}=2^3=8$. Vậy $\text{ƯC}(24,40)=$ $\{1;2;4;8\}$.
b) $12=2^2\cdot3$, $40=2^3\cdot5$, $108=2^2\cdot3^3$ → $\text{ƯCLN}=2^2=4$. Vậy $\text{ƯC}=$ $\{1;2;4\}$.
3 Nguyên tố cùng nhau — phân số tối giản
a) $15$ và $8$ có nguyên tố cùng nhau không? b) Rút gọn $\dfrac{16}{28}$. c) $\dfrac{18}{81}$ bằng phân số nào trong $\dfrac{20}{90};\dfrac{5}{45};\dfrac{16}{56}$?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: xét ƯCLN của tử và mẫu.a) $15=3\cdot5$, $8=2^3$ không có thừa số chung → $\text{ƯCLN}(15,8)=1$ → nguyên tố cùng nhau.
b) $\text{ƯCLN}(16,28)=4$ → $\dfrac{16}{28}=\dfrac{16:4}{28:4}=$ $\dfrac{4}{7}$.
c) $\dfrac{18}{81}=\dfrac{18:9}{81:9}=\dfrac{2}{9}$. Mà $\dfrac{20}{90}=\dfrac{2}{9}$, $\dfrac{5}{45}=\dfrac{1}{9}$, $\dfrac{16}{56}=\dfrac{2}{7}$. Vậy $\dfrac{18}{81}=$ $\dfrac{20}{90}$.
4 Toán thực tế
Tổ I được phát $54$ quyển vở và $45$ bút bi, chia đều cho mỗi bạn. Tổ I có bao nhiêu học sinh, biết mỗi tổ nhiều hơn $5$ học sinh?
🔑 Lời giải
Số học sinh chia đều cả $54$ và $45$ nên là ước chung của $54$ và $45$.
$54=2\cdot3^3$, $45=3^2\cdot5$ → $\text{ƯCLN}=3^2=9$, do đó $\text{ƯC}(54,45)=\{1;3;9\}$.
Vì số học sinh nhiều hơn $5$ nên tổ I có $9$ học sinh.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- ƯCLN: thừa số chung, mũ nhỏ nhất. ƯC $=$ ước của ƯCLN.
- Nguyên tố cùng nhau $\Leftrightarrow \text{ƯCLN}=1$; phân số tối giản khi tử, mẫu nguyên tố cùng nhau.
- Bài "chia đều" → ƯC/ƯCLN; đọc kĩ điều kiện để chọn giá trị phù hợp.