Chương 1. Số hữu tỉ

Bài 1. Tập hợp $\mathbb{Q}$ các số hữu tỉ.

Ví dụ: Nhiệt độ đo được: $-1,3$; $-0,5$; $0,3$; $-3,1$ ở Pha Đin; Mộc Châu, Đồng Văn, Sa Pa. Thông tin nhiệt độ lúc 13h ngày 24 tháng 1 năm 2016. Nhiệt độ thấp (rét) ở các tỉnh phía bắc. Trong toán học thì ta thường quan tâm tới con số: $-1,3; -0,5; 0,3; -3,1$.

Các con số, chúng ta đã học:

• Số tự nhiên: $\mathbb{N}=\{0;1;2;3;\dots \}$ (có 1 số nước trên thế giới thì lại là từ $\{1;2;3;\dots \}$ bắt đầu từ 1.)
• Số nguyên: $\mathbb{Z} =\{\dots; -2;-1;0;1;2;\dots \}$ (Bổ sung các số giống số tự nhiên nhưng có dấu “-“ đằng trước -> giải quyết vấn đề gì: Phép trừ: Trong số tự nhiên $1-2$ không thực hiện được, nhưng giờ thì $1-2=-1$)

  I. Số hữu tỉ

• Số hữu tỉ là số được viết dưới dạng phân số $\dfrac{a}{b},$ với $a,b\in \mathbb{Z}, b\neq 0$.
• Tập hợp các số hữu tỉ được kí hiệu là $\mathbb{Q}$.
• Khi mà $a,b\in \mathbb{Z}$ có nhiều trường hợp viết phân số: $\dfrac{1}{2}=\dfrac{-1}{-2}; \dfrac{-1}{2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}.$ (Cần có 1 số quy tắc để đưa về dạng quy chuẩn: tối giản và mẫu số là nguyên dương: $\dfrac{1}{-2}=\dfrac{-1}{2}$).
• Nhận biết số hữu tỉ: Ví dụ 1: Các số $-5;0;-0,41;2\dfrac{5}{9}$ có là số hữu tỉ không? Vì sao? ( Trả lời: đều là số hữu tỉ, vì có thể dùng phương thức dạng phân số để biểu diễn: $-5=\dfrac{-5}{1}$; $0=\dfrac{0}{1}$; $-0,41=\dfrac{-0,41}{1}=\dfrac{-41}{100}$) (Biết cách chuyển đổi dạng biểu diễn các số.)

Luyện tập (3 bài này sách Cánh diều) Bài 1. Các số $13$; $-29$; $2,1$; $2,28$; $\dfrac{-12}{-18}$ có là số hữu tỉ không? Vì sao?

Trả lời: Tất cả các số đều là số hữu tỉ, vì $13=\dfrac{13}{1}; \dots$ Mục tiêu của bài: Biểu diễn các số về dạng hữu tỉ.

Bài 2. Chọn kí hiệu “$\in$”, “$\notin$” thích hợp cho $\fbox{?}$: a) $21\fbox{?}\mathbb{Q}$

b) $-7\fbox{?}\mathbb{N}$

c) $\dfrac{5}{-7}\fbox{?} \mathbb{Z}$

d) $0\fbox{?}\mathbb{Q}$

e) $-7,3\fbox{?}\mathbb{Q}$

g) $3\dfrac{2}{9}\fbox{?}\mathbb{Q}$

Trả lời: a) $\in$; b) $\notin$; c) $\notin$; d) $\in$; e) $\in$; f) $\in$

Mục tiêu của bài này: Phân biệt các tập số: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}.$ Số âm thì không phải là số tự nhiên; Dạng phân số mà tử không chia hết cho mẫu thì sẽ không là số nguyên.

Bài 3. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) Nếu $a\in \mathbb{N}$ thì $a\in \mathbb{Q}.$

b) Nếu $a\in \mathbb{Z}$ thì $a\in \mathbb{Q}$

c) Nếu $a\in \mathbb{Q}$ thì $a\in \mathbb{N}$

d) Nếu $a\in \mathbb{Q}$ thì $a\in \mathbb{Z}$

e) Nếu $a\in \mathbb{N}$ thì $a\notin \mathbb{Q}$

g) Nếu $a\in \mathbb{Z}$ thì $a\notin \mathbb{Q}$

Trả lời: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai; e) Sai; g) Sai

Mục tiêu: Sẽ làm rõ nghĩa của bài 2. (Sự khác nhau giữa các tập hợp)

Bài 1 sách kết nối: gộp cả 3 nội dung trên vào 1 bài.

II. Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Nhắc lại

• Số tự nhiên biểu diễn trên: Tia số: đoạn $OA$ có độ dài bằng 1 thì điểm $A$ biểu diễn số $1$; đoạn $OB$ có độ dài bằng $2$ thì biểu diễn số $2$
• Số nguyên: Trục số (trục dọc và trục ngang): đoạn $OA$ có độ dài bằng 1 thì điểm $A$ biểu diễn số $1$ hoặc $-1$; đoạn $OB$ có độ dài bằng $2$ thì biểu diễn số $2$ hoặc $-2$ phụ thuộc vào chiều.
• Biểu diễn số trên trục số: dựa trên quy ước hình học: $O$ biểu diễn số $0$ và có đoạn 1 đơn vị để biểu diễn số 1. Từ đó ta có chiều dương, chiều âm.
• Biểu diễn phân số: Thì phân số sinh ra để giải quyết phép toán $\div$, khi đó ta phải chia nhỏ các đoạn ra.

Ví dụ: $\dfrac{3}{2}=1+\dfrac{1}{2}$; $\dfrac{-3}{2}=-1+\dfrac{-1}{2}$

• Biểu diễn phân số: Thì đưa ra được khái niệm số lớn, số bé: Số lớn là số nằm bên phải của số bé (trục số nằm ngang hoặc $a\gt b$ nếu $a-b\gt 0$)

Qua phần này: Ta cần có kĩ năng: Vẽ trục số; biểu diễn số trên trục số.

III. Số đối của một số hữu tỉ.

• Quan sát hai điểm biểu diễn các số hữu tỉ $\dfrac{-5}{4}$ và $\dfrac{5}{4}$ trên trục số sau:
• Khoảng cách từ 2 điểm $\dfrac{-5}{4}$ và $\dfrac{5}{4}$ đến gốc $O$ cùng bằng $\dfrac{5}{4}$; 2 điểm này nằm về hai phía của điểm gốc $0$. Rút ra khái niệm tổng quát:
• Trên trục số, hai số hữu tỉ (phân biệt) có điểm biễn nằm về hai phía của điểm gốc $0$ và cách đều điểm gốc $0$ được gọi là hai số đối nhau.
• Số đối của số hữu tỉ $a$, kí hiệu là $-a$.

• Số đối của số $0$ là số $0$.

• Nhận xét: Số đối của số $-a$ là số $a$, tức là $-(-a)=a.$ (Ở lớp 6: $- - - - -a =-a$; $- - - -a=a$ thu gọn các dấu “$-$”: Nếu số dấu “$-$” lẻ thì rút 1 dấu, số dấu “$-$” là chẵn thì không còn dấu “$-$” )
• Chú ý: $a+b=0$ thì $a$ được là số đối của $b$.