Đa thức — Lời giải chi tiết
Toán 8 · Chương 1: Đa thức nhiều biến · Bài 2
Đa thức — hạng tử, thu gọn, bậc
- Đa thức là tổng của những đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng là một hạng tử.
- Đa thức thu gọn: không còn hai hạng tử nào đồng dạng (đã gộp hết).
- Bậc của đa thức = bậc của hạng tử có bậc cao nhất, sau khi đã thu gọn. Số khác $0$ là đa thức bậc $0$; số $0$ là đa thức không (không có bậc).
Tính giá trị của đa thức
- Bước 1: thu gọn đa thức. Bước 2: thay giá trị của biến rồi tính.
- Nếu sau khi thu gọn xuất hiện dạng đặc biệt thì khai thác để tính nhanh: $x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$; $x^ky^k=(xy)^k$.
1 Nhận biết đa thức
Biểu thức nào là đa thức: $x^2y-2+3xy^2$; $\;\dfrac{x}{y}-2x^2$; $\;2018$; $\;x(x+y)$?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đa thức = tổng các đơn thức; không có biến ở mẫu.- $x^2y-2+3xy^2$ → là đa thức (tổng ba đơn thức).
- $2018$ → là đa thức (bậc $0$).
- $x(x+y)=x^2+xy$ → là đa thức.
- $\dfrac{x}{y}-2x^2$ → không, vì $\dfrac{x}{y}$ có biến ở mẫu.
Vậy có ba đa thức: $x^2y-2+3xy^2$; $\;2018$; $\;x(x+y)$.
2 Thu gọn đa thức
a) $A=-x^2-2x+2x^2+5x+2$
b) $B=-2xy+\dfrac{3}{2}xy^2+\dfrac{1}{2}xy^2+xy$
c) $D=xy^2z+2xy^2z-xyz-3xy^2z+xy^2z$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: gộp các hạng tử đồng dạng.a) $A=(-x^2+2x^2)+(-2x+5x)+2 = $ $x^2+3x+2$.
b) $B=(-2xy+xy)+\left(\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}\right)xy^2 = $ $-xy+2xy^2$.
c) Hạng tử $xy^2z$: $1+2-3+1=1$; còn $-xyz$. Vậy $D=$ $xy^2z-xyz$.
3 Thu gọn rồi tìm bậc
a) $B=2x^2y^3+3x^4-7x^2+6x^4-x^2y^3$
b) $C=2x^2yz+4xy^2z-5x^2yz+xy^2z-xyz$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: thu gọn xong mới xét bậc của từng hạng tử.a) $B=(2-1)x^2y^3+(3+6)x^4-7x^2 = x^2y^3+9x^4-7x^2$.
Bậc các hạng tử: $x^2y^3$ bậc $5$; $9x^4$ bậc $4$; $-7x^2$ bậc $2$. Bậc của $B$ là $5$.
b) $C=(2-5)x^2yz+(4+1)xy^2z-xyz = -3x^2yz+5xy^2z-xyz$.
Bậc: $-3x^2yz$ và $5xy^2z$ đều bậc $4$; $-xyz$ bậc $3$. Bậc của $C$ là $4$.
4 Tính giá trị của đa thức
a) $A=x^3y^4-5y^8+x^3y^4+xy^4-xy^4+5y^8$. Thu gọn, tìm bậc rồi tính tại $x=1$; $y=-1$.
b) $A=x^2+2xy-3x^3+2y^2+3x^3-y^2$ tại $x=5$; $y=4$.
c) $xy+x^2y^2+x^3y^3+\cdots+x^{2019}y^{2019}$ tại $x=1$; $y=-1$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: thu gọn trước, tận dụng dạng đặc biệt để tính nhanh.a) $A=(1+1)x^3y^4+(-5+5)y^8+(1-1)xy^4 = 2x^3y^4$, bậc $=3+4=$ $7$.
Tại $x=1$, $y=-1$: $A=2\cdot 1^3\cdot(-1)^4 = 2\cdot 1\cdot 1 = $ $2$.
b) Thu gọn: $-3x^3+3x^3=0$, $2y^2-y^2=y^2$, còn $x^2+2xy+y^2 = (x+y)^2$.
Tại $x=5$, $y=4$: $(5+4)^2 = $ $81$.
c) Mỗi hạng tử $x^ky^k=(xy)^k$. Với $x=1$, $y=-1$ thì $xy=-1$, nên tổng là
$(-1)^1+(-1)^2+\cdots+(-1)^{2019}$ (có $2019$ số hạng).
Có $1010$ số mũ lẻ (cho $-1$) và $1009$ số mũ chẵn (cho $+1$): tổng $=(-1)\cdot 1010 + 1\cdot 1009 = $ $-1$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Đa thức là tổng các đơn thức; thu gọn = gộp các hạng tử đồng dạng.
- Bậc của đa thức chỉ xét sau khi thu gọn; bậc mỗi hạng tử là tổng số mũ các biến.
- Khi tính giá trị: thu gọn trước, để ý các dạng $\,(x+y)^2$, $\,(xy)^k\,$ giúp tính nhanh và tránh sai sót.
- Cẩn thận dấu khi biến âm: mũ chẵn cho dương, mũ lẻ giữ dấu.