Phép nhân đa thức — Lời giải chi tiết
Toán 8 · Chương 1: Đa thức nhiều biến · Bài 4
Quy tắc nhân
- Đơn thức $\times$ đơn thức: nhân hai hệ số, nhân hai phần biến (cộng số mũ cùng biến).
- Đơn thức $\times$ đa thức: nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng lại.
- Đa thức $\times$ đa thức: mỗi hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.
Ứng dụng: tính giá trị, tìm $x$, chứng minh
- Tính giá trị / tìm $x$: nhân, rút gọn về dạng đơn giản nhất rồi mới thay số hoặc giải.
- Không phụ thuộc biến: rút gọn — nếu kết quả là hằng số (không còn biến) thì giá trị không phụ thuộc biến.
1 Nhân hai đơn thức (tìm tích và bậc)
a) $-\dfrac{1}{2}x^2y$ và $2xy^3$. b) $2x^3y$ và $-\dfrac{1}{4}x^3y^5$. c) $\left(\dfrac{1}{2}x^2y^3\right)^2$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: nhân hệ số, cộng số mũ; bậc = tổng số mũ các biến.a) $\left(-\dfrac{1}{2}\cdot 2\right)x^{2+1}y^{1+3} = -x^3y^4$ — bậc $7$.
b) $\left(2\cdot\left(-\dfrac{1}{4}\right)\right)x^{3+3}y^{1+5} = -\dfrac{1}{2}x^6y^6$ — bậc $12$.
c) $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 x^{2\cdot 2}y^{3\cdot 2} = \dfrac{1}{4}x^4y^6$ — bậc $10$.
2 Nhân đơn thức với đa thức
a) $(-2x^2)(x^2-2x+3)\cdot\dfrac{1}{2}$
b) Rút gọn $x(x^2+1)-3x(3x-2x^2)$
c) Tính giá trị $A=2x(3x^2+5)-x(3x-x^2)-x^2$ tại $x=2$.
d) Tìm $x$ biết $-2x(x+3)+x(2x-1)=10$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: nhân vào từng hạng tử, để ý dấu, rồi thu gọn.a) $(-2x^2)(x^2-2x+3)=-2x^4+4x^3-6x^2$; nhân $\dfrac{1}{2}$: $-x^4+2x^3-3x^2$.
b) $x^3+x-9x^2+6x^3 = $ $7x^3-9x^2+x$.
c) $A=(6x^3+10x)+(-3x^2+x^3)-x^2 = 7x^3-4x^2+10x$.
Tại $x=2$: $A=7\cdot 8-4\cdot 4+10\cdot 2 = 56-16+20 = $ $60$.
d) $-2x^2-6x+2x^2-x = 10 \Rightarrow -7x=10 \Rightarrow x = $ $-\dfrac{10}{7}$.
3 Nhân đa thức với đa thức
a) $(-2x+1)\left(2x^2-\dfrac{1}{3}x+2\right)$
b) Chứng minh $(3x+2y)(5x-y)-y^2=15x^2+7xy-3y^2$.
c) Chứng tỏ $-5x(5x-2)+(5x+1)(5x-1)-10x$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.
d) Tìm $x$ biết $(x+2)(x+3)-(x-2)(x+5)=6$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1 để khai triển; Lý thuyết 2 cho câu c (không phụ thuộc biến) và câu d (tìm $x$).a) $-2x\cdot\!\left(2x^2-\dfrac{1}{3}x+2\right)+1\cdot\!\left(2x^2-\dfrac{1}{3}x+2\right) = -4x^3+\dfrac{2}{3}x^2-4x+2x^2-\dfrac{1}{3}x+2$.
Thu gọn: $-4x^3+\dfrac{8}{3}x^2-\dfrac{13}{3}x+2$.
b) $(3x+2y)(5x-y)=15x^2-3xy+10xy-2y^2=15x^2+7xy-2y^2$.
Trừ $y^2$: $15x^2+7xy-2y^2-y^2 = 15x^2+7xy-3y^2$ — đúng bằng vế phải. (đpcm)
c) $-5x(5x-2)=-25x^2+10x$; $\;(5x+1)(5x-1)=25x^2-1$. Cộng với $-10x$:
$-25x^2+10x+25x^2-1-10x = $ $-1$ (hằng số) ⟹ không phụ thuộc biến.
d) $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$; $\;(x-2)(x+5)=x^2+3x-10$.
Hiệu: $(x^2+5x+6)-(x^2+3x-10)=2x+16$. Cho $2x+16=6 \Rightarrow x = $ $-5$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Nhân là nhân với từng hạng tử; sai sót hay gặp nhất là quên một tích hoặc nhầm dấu.
- Luôn thu gọn sau khi nhân; nhiều bài tìm $x$ rút gọn xong chỉ còn bậc nhất.
- Không phụ thuộc biến ⟺ rút gọn ra hằng số; với chứng minh đẳng thức, khai triển một vế rồi so với vế kia.