Phép chia đa thức cho đơn thức — Lời giải chi tiết

Toán 8 · Chương 1: Đa thức nhiều biến · Bài 5

✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm

📖 Lý thuyết 1

Chia đơn thức cho đơn thức

Điều kiện chia hết: $A \,\vdots\, B$ khi mỗi biến của $B$ đều có mặt trong $A$ với số mũ không nhỏ hơn số mũ trong $B$.
Cách chia: chia hệ số cho hệ số; với mỗi biến, trừ số mũ (số mũ trong $A$ trừ số mũ trong $B$); nhân các kết quả.

🔍 Nhớ $(-x)^{2k}=x^{2k}$, $(-x)^{2k+1}=-x^{2k+1}$ và để ý dấu khi chia cho số âm.

📖 Lý thuyết 2

Chia đa thức cho đơn thức

$A \,\vdots\, B$ nếu mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$.
Cách chia: chia từng hạng tử của $A$ cho $B$ rồi cộng các kết quả lại.

✍ Bài tập luyện tập

1 Chia đơn thức cho đơn thức

a) $19t^8:(3t)^2$ b) $(-4x^3y^5):\left(-\dfrac{1}{2}x^3y\right)$ c) $x^{94}:x^{17}:x^{65}$

d) Tìm điều kiện của $n$ để $A=14x^8y^n$ chia hết cho $B=-7x^7y^4$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 1: chia hệ số, trừ số mũ từng biến; chú ý điều kiện chia hết.

a) $(3t)^2=9t^2$, nên $19t^8:9t^2 = $ $\dfrac{19}{9}t^6$.

b) Hệ số $(-4):\left(-\dfrac{1}{2}\right)=8$; biến $x^{3-3}y^{5-1}=y^4$. Kết quả $8y^4$.

c) $x^{94-17-65}=$ $x^{12}$.

d) Cần $x^8\,\vdots\,x^7$ (đúng) và $y^n\,\vdots\,y^4$, tức $n\ge 4$. Vậy $n\ge 4$, $n\in\mathbb{N}$.

⚠️ Bẫy ở câu b: $(-4):\left(-\dfrac{1}{2}\right) = (-4)\cdot(-2)=8$ (chia cho phân số là nhân nghịch đảo), không phải $-2$. Hai dấu âm cho thương dương.

2 Chia đa thức cho đơn thức

a) $(4x^2y^3-9x^2y^2+25xy^4):2xy^2$

b) Tìm đa thức $M$ biết $5x^3\cdot M=25x^6-30x^5+10x^3$.

c) Tính giá trị $A=(15x^5y^3-10x^3y^2+20x^4y^4):5x^2y^2$ tại $x=-1$; $y=2$.

d) Tìm $x$ biết $(25x^2-10x):(-5x)-3(x-2)=4$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: chia từng hạng tử cho đơn thức rồi cộng kết quả.

a) $\dfrac{4x^2y^3}{2xy^2}-\dfrac{9x^2y^2}{2xy^2}+\dfrac{25xy^4}{2xy^2} = $ $2xy-\dfrac{9}{2}x+\dfrac{25}{2}y^2$.

b) $M=(25x^6-30x^5+10x^3):5x^3 = $ $5x^3-6x^2+2$.

c) $A=\dfrac{15x^5y^3}{5x^2y^2}-\dfrac{10x^3y^2}{5x^2y^2}+\dfrac{20x^4y^4}{5x^2y^2} = 3x^3y-2x+4x^2y^2$.

Tại $x=-1$, $y=2$: $A=3(-1)^3\cdot 2-2(-1)+4(-1)^2\cdot 2^2 = -6+2+16 = $ $12$.

d) $(25x^2-10x):(-5x) = -5x+2$. Khi đó $-5x+2-3(x-2)=4$:

$-5x+2-3x+6=4 \Rightarrow -8x+8=4 \Rightarrow x = $ $\dfrac{1}{2}$.

⚠️ Bẫy ở câu d: $-10x:(-5x)=+2$ (dấu dương). Quên dấu sẽ ra $-2$ và sai cả phương trình.

⚠️ Chú ý ghi nhớ

Chia là trừ số mũ (cùng biến); chia hệ số cho hệ số. Chia cho phân số $=$ nhân với nghịch đảo.
Chia đa thức cho đơn thức: chia từng hạng tử — đừng bỏ sót hạng tử nào và giữ đúng dấu.
Điều kiện chia hết: mỗi biến của số chia phải có trong số bị chia với số mũ không nhỏ hơn.