Bài 6: HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG. BÌNH PHƯƠNG CỦA MỘT TỔNG HAY MỘT HIỆU

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

• Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tuỳ ý.
• Hiệu hai bình phương Với \(A\), \(B\) là hai biểu thức tuỳ ý ta có: \(A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)\)
• Bình phương của một tổng Với \(A\), \(B\) là hai biểu thức tuỳ ý ta có: \((A+B)^{2}=A^{2}+2AB+B^{2}\)
• Bình phương của một hiệu Với A, B là hai biểu thức tuỳ ý ta có: \((A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}\)

B. BÀI TẬP

Dạng 1. Nhận dạng đẳng thức

1. Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức

1. \(2x^{3}y(2x^{2}-3y+5yz)=4x^{5}y-6x^{3}y^{2}+10x^{3}y^{2}z\)

2. \(\dfrac{-1}{3}y^{2}(6y-3)-y(y+\dfrac{1}{2})+\dfrac{1}{2}(y-8)=-2y^{3}-4\)

3. \((\dfrac{1}{3}x+2)(3x-6)=x^{2}-12\)

4. \((x+3)(x-1)=11+x(x+5)\)

Dạng 2: Biến đổi các biểu thức

2. Thực hiện phép tính:

1. \((-3x+2y)^{2}\)

2. \((-x-xy)^{2}\)

3. \(x^{2}-4y^{2}\)

4. \((x+y)^{2}-(2-y)^{2}\)

3. Thực hiện phép tính: a) \((2x+3)^{2}\)

2. \((6-3u)^{2}\)

3. \((y-4)(y+4)\)

4. \((\dfrac{a}{2}-4)^{2}\)

4. Khai triển các biểu thức sau:

1. \((y-2xy)^{2}\)

2. \(16[-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{4}{5}y]^{2}\)

3. \((-\frac{1}{3}ab^{2}+c^{3})(-\frac{1}{3}ab^{2}-c^{3})\)

4. \((a+\frac{2}{3})^{2}(a-\frac{2}{3})^{2}\)

5. Tính:

1. \((a+b+c)^{2}\)

2. \((a-b+c)^{2}\)

Dạng 3: Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu.

6. Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:

1. \(x^{2}+2x+1\)

2. \(x^{2}-8x+16\)

3. \(\frac{x^{2}}{4}+x+1\)

4. \(4x^{2}+4y^{2}-8xy\)

7. Viết các biểu thức dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu:

1. \(4x^{2}+4x+1\)

2. \(9x^{2}-12x+4\)

3. \(ab^{2}+\dfrac{1}{4}a^{2}b^{4}+1\)

4. \(16uv^{2}-8u^{2}v^{4}-1\)

8. Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

1. \(x^{2}+6x+9\)

2. \(25x^{2}-10xy+y^{2}\)

3. \(x^{2}+x+\dfrac{1}{4}\)

4. \(\dfrac{4}{9}x^{2}+\dfrac{20}{3}xy+25y^{2}\)

Dạng 4: Rút gọn biểu thức

9. Rút gọn các biểu thức sau:

1. \(A=(m-n)^{2}+4mn\)

2. \(B=(6z-2)^{2}+4(3z-1)(2+t)+(t+2)^{2}\)

3. \(C=(2a+b)^{2}-(b-2a)^{2}\)

4. \(D=(3a+2)^{2}+2(2+3a)(1-2b)+(2b-1)^{2}\)

10. Rút gọn biểu thức :

1. \((3x+2)^{2}+(4x-1)^{2}+(2+5x)(2-5x)\)

2. \((x+y-z)^{2}+2(x+y-z)(z-y)+(z-y)^{2}\)

Dạng 5. Tính nhanh, tính nhẩm

11. Tính nhanh:

1. \(21^{2}\)

2. \(62 \cdot 58\)

12. Tính nhanh:

1. \(199^{2}\)

2. \(99^{2}\)

3. \(499^{2}\)

4. \(299 \cdot 301\)

Dạng 6: Chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức

Phương pháp giải: Sử dụng các hằng đẳng thức và chú ý rằng \(A^{2}\ge0\) và \(-A^{2}\le0\) với \(A\) là một biểu thức bất kỳ.

13.

1. Chứng minh rằng các biểu thức sau dương với mọi x: \(A=x^{2}+8x+17\);

\(B=x^{2}-10x+29\).

2. Chứng minh rằng các biểu thức sau âm với mọi x: \(C=-x^{2}+2x-5\);

\(D=-x^{2}+x-1\).

14. Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

1. \(A=x^{2}-3x+10\)

2. \(B=y^{2}+8y+15\)

3. \(C=2x^{2}+5y^{2}+4xy+8x-4y-100\)

4. \(D=u^{2}+v^{2}-2u+3v+15\)

15.

1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \(A=4x^{2}-4x+2023\).

2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: \(B=-x^{2}+5x-127\).

16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

1. \(A=-x^{2}-2x+5\)

2. \(B=9x-3x^{2}+4\)

17. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1. \(A=8x^{2}-8x+14\)

2. \(B=x^{2}+x+2\)