Bài 2: HỆ QUẢ ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

• Hệ quả định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

B. BÀI TẬP

1. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho $\frac{DE}{DC} = \frac{1}{4}$. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Tính $\frac{DI}{DB}$.

2. Cho hình thang EDBC ($ED//CB$) có hai đường chéo cắt nhau tại O.

1. Chứng minh rằng $OE \cdot OB = OD \cdot OC$.

2. Cho $ED = 4\text{ cm}$, $CB = 6\text{ cm}$, $EB = 9\text{ cm}$. Tính OE, $OB = ?$

3. Cho $\bigtriangleup ABC$ vuông tại A có $AB = 10\text{ cm}$, $AC = 24\text{ cm}$. Trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho $AM = 6\text{ cm}$, $AN = \frac{3}{5}AC$.

1. Chứng minh $MN//BC$.

2. Gọi E là trung điểm của BC, K là giao điểm của AE với MN. Chứng minh K là trung điểm của MN.

4. Cho hình thang $ABCD(AB//CD)$, O là giao điểm của AC và BD. Đường thẳng qua O song song với AB, CD cắt AD, BC lần lượt ở M, N. Chứng minh:

1. $OM = ON$

2. $\frac{AM}{AD} + \frac{CN}{CB} = 1$

5. Cho $\bigtriangleup ABC$, từ điểm N trên AC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và BC và cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại M và I. Chứng minh $\frac{BM}{BA} + \frac{BI}{BC} = 1$.

6. Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Qua G vẽ đường thẳng song song với AB cắt BC tại D. Chứng minh rằng: $BD = \frac{1}{3}BC$.

7. Cho $\bigtriangleup ABC$ có trung tuyến AM. MD là đường phân giác trong của $\bigtriangleup AMB$. Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AM và AC lần lượt tại N và E.

1. MN là đường gì của $\bigtriangleup DME$.

2. $\bigtriangleup MND$, $\bigtriangleup MNE$ và $\bigtriangleup MDE$ là các tam giác gì?

3. Chứng minh ME là đường phân giác của $\bigtriangleup AMC$.

8. Cho hình thang ABCD có $AB//CD$. Gọi M là trung điểm của CD. AM cắt BD tại I, cắt BC tại K.

1. Chứng minh $\frac{IM}{IA} = \frac{KM}{KA}$ (Lưu ý: Đề gốc có thể nhầm, dựa vào hình vẽ thường là $\frac{IM}{IA} = \frac{KM}{KA}$ hoặc liên quan đến điểm K khác)

2. Chứng minh $IK//AB//CD$.

3. IK cắt AD tại N. Chứng minh I là trung điểm của KN.

9. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Trên cạnh AC lấy điểm D. Gọi I là giao điểm của AM và BD. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB, cắt BD ở K. Chứng minh rằng: $IB^{2} = ID \cdot IK$.

10. Cho tam giác ABC, I là một điểm trong tam giác. IA, IB, IC lần lượt cắt BC, CA, AB ở M, N, P. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BN, CM tại E và F. Chứng minh rằng:

1. $\frac{AE}{BM} = \frac{AF}{MC}$;

2. $\frac{NA}{NC} + \frac{PA}{PB} = \frac{IA}{IM}$