Bài 1: ĐỊNH LÍ THALÈS TRONG TAM GIÁC

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

• Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
• Hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$ được gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng $A'B'$ và $C'D'$ nếu có tỉ lệ thức $\frac{AB}{CD} = \frac{A'B'}{C'D'}$ hay $\frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'}$.
• Định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
• Định lí Thalès đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

B. BÀI TẬP

Dạng 1: Tìm tỉ số của hai đoạn thẳng, lập tỉ số bằng nhau

1. Trên một đường thẳng, đặt ba đoạn thẳng liên tiếp $AB = BC = CD$. Tìm tỉ số $\frac{AB}{BD};\frac{AB}{AD};\frac{AC}{AD}$.

2. Lập các tỉ số trong các hình sau:

3. Cho đoạn thẳng $AB = 10\text{ (cm)}$. Lấy điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho $\frac{CA}{CB} = \frac{3}{2}$. Lấy D thuộc tia đối của tia BA sao cho $\frac{DA}{DB} = \frac{3}{2}$.

1. Tính độ dài đoạn thẳng CB;

2. Tính độ dài đoạn thẳng DB;

3. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng

4. Tìm x trong các hình sau đây:

5. Tìm độ dài DE trong hình dưới đây. Biết $AB = 5\text{ cm}$, $AC = 6\text{ cm}$, $AD = 7.5\text{ cm}$ và $BD//CE$.

6. Cho hình sau, biết $QR//NP$ và $MQ = 10\text{ cm}$, $QN = 5\text{ cm}$, $RP = 6\text{ cm}$. Tính độ dài MR.

7. Cho tam giác ABC. Đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Cho biết $AM = 5\text{ cm}$, $MB = 3\text{ cm}$, $BC - MN = 3,6\text{ cm}$. Tính MN, BC.

8. Cho tam giác ABC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho $2MA = MB$. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại N. Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại P. Biết rằng $PC = 6\text{ cm}$. Tính BC.

9. Cho hình thang $ABCD(AB//CD)$. Một đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở E, F. Tính FC biết $AE = 4\text{ cm},ED = 2\text{ cm},BF = 6\text{ cm}$.

10. Cho $\bigtriangleup ABC$ có trung tuyến AM. Qua trọng tâm G kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại D, E.

1. Chứng minh $\frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$.

2. Chứng minh $AE = 2EC$.

11. Cho $\bigtriangleup ABC$ có $AB = 4\text{ cm}$. Lấy D trên AB sao cho $AD = 3\text{ cm}$. Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Giả sử $AE + AC = 14\text{ cm}$.

1. Tính tỉ số $\frac{AE}{AC}$.

2. Tính AE; AC và EC.

12. Cho $\bigtriangleup ABC$ có trung tuyến BM và trọng tâm G. Qua G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BA và BC lần lượt tại D và E. Giả sử chu vi $\bigtriangleup ABC$ là 75 và $AD + EC = 16$.

1. Chứng minh $BD = 2 \cdot AD$ và $BE = 2 \cdot CE$.

2. Tính $BA + BC$ và tính AC, DE.

13. Cho hình thang ABCD có $AB//CD$. Lấy điểm I trên cạnh AD. Từ I kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại K. AC cắt IK tại O. Chứng minh:

1. $\frac{AI}{AD} = \frac{AO}{AC}$

2. $\frac{BK}{BC} = \frac{AO}{AC}$ rồi suy ra $AI \cdot BC = AD \cdot BK$.

14. Cho hình bình hành ABCD. Vẽ tia Ax cắt đường chéo BD tại I, cắt BC tại J và cắt CD tại K.

1. Tìm các tỉ số bằng với tỉ số $\frac{ID}{IB}$ và chứng minh $IA^{2} = IJ \cdot IK$.

2. Tìm các tỉ số bằng với tỉ số $\frac{AI}{AJ}$.

15. Cho $\bigtriangleup ABC$ có AD là đường trung tuyến. Trọng tâm là điểm G, một đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm E và F. Từ B và C kẻ các đường thẳng song song với EF cắt AD lần lượt tại M và N. Chứng minh rằng $\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1$.

16. Cho $\bigtriangleup ABC$ có trung tuyến AO và G là trọng tâm, một đường thẳng bất kì đi qua G cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm M và N. Từ B và C kẻ các đường thẳng song song với MN cắt AO lần lượt tại H và K. Chứng minh rằng $\frac{AB}{AM} + \frac{AC}{AN} = 3$.

Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song

17. Tìm các đường thẳng song song có trong hình:

18. Cho tứ giác ABCD. Qua điểm E trên cạnh AD, kẻ đường thẳng song song với DC và cắt AC ở G. Qua G kẻ đường thẳng song song với CB và cắt AB ở H.

1. Tìm các tỉ số bằng với tỉ số $\frac{GA}{GC}$.

2. Chứng minh $HE//BD$.