Bài 31 — Hình trụ và hình nón
$S_{xq}$, $S_{tp}$, thể tích · Đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}$ · Toán thực tế
Hình trụ
- Quay hình chữ nhật quanh một cạnh cố định được hình trụ; đường sinh bằng chiều cao $h$.
- $S_{xq}=2\pi Rh$; $S_{tp}=2\pi Rh+2\pi R^2$; $V=\pi R^2h$.
Hình nón
- Quay tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông được hình nón; đường sinh $l=\sqrt{r^2+h^2}$.
- $S_{xq}=\pi rl$; $S_{tp}=\pi rl+\pi r^2$; $V=\dfrac13\pi r^2h$.
1 Dạng 1 — Tính toán với hình trụ
a) Hình trụ có $h=R$, $S_{xq}=314$ cm²: tính $R$ và $V$ ($\pi\approx3{,}14$). b) $R=16$ cm, $h=9$ cm: tính $S_{xq}$, $V$ ($\pi\approx3{,}142$). c) Trụ lăn: đường kính $42$ cm, dài $2$ m, lăn $10$ vòng phủ được bao nhiêu m² ($\pi=\frac{22}7$)?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: thay đúng công thức, chú ý đơn vị.- a) $S_{xq}=2\pi Rh=2\pi R^2=314\Rightarrow R^2=\dfrac{314}{2\cdot3{,}14}=50\Rightarrow$ $R=5\sqrt2\approx7{,}07$ cm. $V=\pi R^2h=\pi R^3=3{,}14\cdot50\cdot5\sqrt2=785\sqrt2\approx$ $1110{,}16$ cm³.
- b) $S_{xq}=2\pi\cdot16\cdot9=288\pi\approx288\cdot3{,}142\approx$ $905$ cm². $V=\pi\cdot16^2\cdot9=2304\pi\approx$ $7239$ cm³.
- c) $R=21$ cm $=0{,}21$ m. Một vòng lăn phủ đúng $S_{xq}=2\pi Rh=2\cdot\dfrac{22}7\cdot0{,}21\cdot2=2{,}64$ m². Mười vòng: $26{,}4$ m².
2 Dạng 2 — Các yếu tố và $S_{xq}$ của hình nón
a) $h=6$ cm, $r=3$ cm. b) $l=5$ cm, $r=3$ cm. c) $l=15$ cm, $r=9$ cm.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: $l^2=r^2+h^2$ rồi $S_{xq}=\pi rl$.- a) $l=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\approx6{,}7$ cm; $S_{xq}=\pi\cdot3\cdot3\sqrt5=9\sqrt5\,\pi\approx$ $63{,}2$ cm².
- b) $h=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm; $S_{xq}=\pi\cdot3\cdot5=15\pi\approx$ $47{,}1$ cm².
- c) $h=\sqrt{15^2-9^2}=12$ cm; $S_{xq}=\pi\cdot9\cdot15=135\pi\approx$ $424{,}1$ cm².
3 Dạng 2 (tiếp) — Thể tích hình nón
a) $r=6$ cm, $h=12$ cm. b) $d=7$ m, $h=10$ m. c) Mũ dạng nón $h=31$ cm, $r=12$ cm (tính thêm $l$). d) $S_{\text{đáy}}=152$ cm², $h=6$ cm.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: $V=\dfrac13\pi r^2h=\dfrac13S_{\text{đáy}}h$.- a) $V=\dfrac13\pi\cdot36\cdot12=144\pi\approx$ $452{,}4$ cm³.
- b) $r=3{,}5$ m: $V=\dfrac13\pi\cdot12{,}25\cdot10=\dfrac{122{,}5}{3}\pi\approx$ $128{,}28$ m³.
- c) $l=\sqrt{31^2+12^2}=\sqrt{1105}\approx33{,}2$ cm; $V=\dfrac13\pi\cdot144\cdot31=1488\pi\approx$ $4673{,}5$ cm³.
- d) $V=\dfrac13S_{\text{đáy}}h=\dfrac13\cdot152\cdot6=$ $304$ cm³.
4 Dạng 3 — Toán ứng dụng thực tế
a) Lon phổ biến ($h=10{,}2$; $d=6{,}42$ cm, chứa $330$ ml) và lon cao ($h=13{,}41$; $d=5{,}6$ cm): lon cao chứa được hết không; chi phí (tỉ lệ $S_{tp}$) tăng bao nhiêu %? b) Gò tấm nhôm $60\times200$ cm thành thùng trụ cao $60$ cm: tính $R$ và số lít chứa được. c) Bánh hai tầng (trên $r=15$, $h=15$; dưới $d=40$, $h=20$ cm): diện tích trang trí (không tính đáy dưới). d) Mũ chú hề: nón $l=30$, $r=10$ cm + vành khuyên đường kính ngoài $35$ cm.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1 & 2: tách vật thể thành các mặt/khối cơ bản rồi cộng lại.- a) Lon cao: $r=2{,}8$ cm, $V=3{,}14\cdot2{,}8^2\cdot13{,}41\approx330{,}1$ ml $\ge330$ ml ⟹ chứa được hết. Chi phí: $S_{tp}=2\pi r(h+r)$. Lon phổ biến: $2\cdot3{,}14\cdot3{,}21\cdot13{,}41\approx270{,}3$ cm²; lon cao: $2\cdot3{,}14\cdot2{,}8\cdot16{,}21\approx285{,}0$ cm². Tăng $\dfrac{285{,}0-270{,}3}{270{,}3}\approx$ $5{,}4\%$.
- b) Chiều dài tấm nhôm là chu vi đáy: $2\pi R=200\Rightarrow R=\dfrac{100}{\pi}\approx$ $31{,}83$ cm. $V=\pi R^2h=\pi\cdot\dfrac{10000}{\pi^2}\cdot60=\dfrac{600000}{\pi}\approx190\,986$ cm³ $\approx$ $191$ lít.
- c) Gồm: mặt xung quanh tầng trên $2\pi\cdot15\cdot15=450\pi$; mặt trên tầng trên $\pi\cdot15^2=225\pi$; mặt xung quanh tầng dưới $2\pi\cdot20\cdot20=800\pi$; phần hở của mặt trên tầng dưới $\pi(20^2-15^2)=175\pi$. Tổng $=1650\pi\approx$ $5181$ cm².
- d) Chóp nón: $S_{xq}=\pi\cdot10\cdot30=300\pi$. Vành khuyên: bán kính ngoài $17{,}5$, bán kính trong $10$: $\pi(17{,}5^2-10^2)=206{,}25\pi$. Tổng $=506{,}25\pi\approx$ $1590$ cm².
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Trụ: $S_{xq}=2\pi Rh$, $V=\pi R^2h$; nón: $S_{xq}=\pi rl$, $V=\dfrac13\pi r^2h$, $l^2=r^2+h^2$.
- Đường kính → chia đôi; cm³ → lít qua $1$ dm³ $=1$ lít; giữ $\pi$ đến bước cuối rồi mới thay số.
- Vật thể ghép: liệt kê từng mặt được nhìn thấy / từng khối thành phần trước khi cộng.