Bài 32 — Hình cầu
$S=4\pi R^2$ · $V=\dfrac43\pi R^3$ · Mặt cắt · Phối hợp các hình khối
Hình cầu — mặt cầu
- Quay nửa hình tròn $(O;R)$ quanh đường kính cố định được hình cầu tâm $O$ bán kính $R$; nửa đường tròn quét thành mặt cầu.
- $S_{\text{mặt cầu}}=4\pi R^2$; $V_{\text{hình cầu}}=\dfrac43\pi R^3$.
Mặt cắt của hình cầu
- Cắt hình cầu bởi một mặt phẳng thì mặt cắt là hình tròn; mặt phẳng đi qua tâm cho hình tròn lớn có bán kính bằng $R$.
1 Dạng 1 — Diện tích mặt cầu, thể tích hình cầu
a) Mặt cầu bán kính $1$ m. b) Mặt Trăng có đường kính khoảng $3474$ km. c) Hình cầu bán kính $6$ cm. d) Quả bóng rổ đường kính $24$ cm (làm tròn đến hàng đơn vị).
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đường kính thì chia đôi trước.- a) $S=4\pi\cdot1^2=4\pi\approx$ $12{,}57$ m².
- b) $r=1737$ km: $S=4\pi\cdot1737^2=12\,068\,676\pi\approx$ $3{,}79\cdot10^7$ km² (khoảng $37{,}9$ triệu km²).
- c) $V=\dfrac43\pi\cdot6^3=288\pi\approx$ $904{,}8$ cm³.
- d) $r=12$ cm: $V=\dfrac43\pi\cdot12^3=2304\pi\approx$ $7238$ cm³.
2 Dạng 2 — Mặt cắt của hình cầu
a) Khối đá hình cầu cắt đôi: mặt cắt dạng hình gì? b) Bể cá là một phần hình cầu: mặt nước có dạng hình gì? c) Nửa hình cầu bán kính $5$ cm: sơn tất cả các mặt thì diện tích cần sơn là bao nhiêu (làm tròn hàng đơn vị)?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: mọi mặt cắt của hình cầu đều là hình tròn.- a) Cắt đôi tức mặt phẳng đi qua tâm: mặt cắt là hình tròn lớn (bán kính bằng bán kính khối đá).
- b) Mặt nước là phần chung của mặt phẳng ngang với hình cầu ⟹ hình tròn.
- c) Diện tích cần sơn $=$ nửa mặt cầu $+$ mặt cắt $=2\pi\cdot5^2+\pi\cdot5^2=75\pi\approx$ $236$ cm².
3 Dạng 3 — Phối hợp các hình khối
a) Hình cầu đường kính $d$ đặt vừa khít trong hình trụ: tính thể tích hình trụ. b) Li kem hình nón $r=2$ cm, $l=8$ cm, đầy kem và thêm nửa hình cầu kem phía trên: tính thể tích kem (làm tròn hàng đơn vị). c) Hộp kem trụ $d=12$, $h=15$ cm chia vào các ốc quế (nón $h=12$, $d=6$ cm + nửa cầu trên đỉnh): được bao nhiêu que? d) Khối trụ $r=a$, $h=2a$ khoét hai nửa cầu bán kính $a$ ở hai đáy: tính diện tích toàn bộ.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1 & 2 (+ công thức trụ, nón): cộng/trừ thể tích và diện tích từng khối.- a) Vừa khít: bán kính trụ $=\dfrac d2$, chiều cao $=d$. $V_{\text{trụ}}=\pi\left(\dfrac d2\right)^2 d=$ $\dfrac{\pi d^3}{4}$. (Thử: $V_{\text{cầu}}=\dfrac43\pi\dfrac{d^3}8=\dfrac{\pi d^3}6=\dfrac23\cdot\dfrac{\pi d^3}4$ ✓ đúng tỉ lệ $\dfrac23$.)
- b) $h=\sqrt{8^2-2^2}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$ cm. $V=\dfrac13\pi\cdot4\cdot2\sqrt{15}+\dfrac23\pi\cdot2^3=\dfrac{8\sqrt{15}}3\pi+\dfrac{16}3\pi\approx32{,}4+16{,}8\approx$ $49$ cm³.
- c) Hộp: $V=\pi\cdot6^2\cdot15=540\pi$. Mỗi que: nón $\dfrac13\pi\cdot3^2\cdot12=36\pi$; nửa cầu $\dfrac23\pi\cdot3^3=18\pi$; tổng $54\pi$. Số que $=\dfrac{540\pi}{54\pi}=$ $10$ que.
- d) Hai đáy phẳng bị khoét trọn thành hai mặt bán cầu lõm (bán kính khoét $=$ bán kính trụ). Diện tích toàn bộ $=S_{xq\text{ trụ}}+2\cdot\text{nửa mặt cầu}=2\pi a\cdot2a+2\cdot2\pi a^2=4\pi a^2+4\pi a^2=$ $8\pi a^2$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- $S=4\pi R^2$ — đúng bằng $4$ lần diện tích hình tròn lớn; $V=\dfrac43\pi R^3$.
- Cầu nội tiếp trụ (vừa khít): $V_{\text{cầu}}=\dfrac23V_{\text{trụ}}$ — hệ thức nổi tiếng của Archimedes.
- Khối ghép kem ốc quế: $V=\dfrac13\pi r^2h+\dfrac23\pi r^3$; nửa hình cầu đặc có tổng diện tích $3\pi R^2$.