Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình tích · Phương trình chứa ẩn ở mẫu · Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Phương trình tích
- Định nghĩa: phương trình tích là phương trình có một vế là tích các nhân tử, vế kia bằng 0.
- Cách giải: $A(x)\cdot B(x) = 0 \iff A(x) = 0$ hoặc $B(x) = 0$. Giải lần lượt từng phương trình con rồi gộp tất cả nghiệm lại.
- Muốn dùng quy tắc "tích bằng 0", một vế phải bằng 0. Nếu chưa, hãy chuyển hết về một vế rồi phân tích thành nhân tử.
- Nhân tử là hằng số khác 0 (ví dụ số $2$) thì không cho nghiệm — bỏ qua.
- Nhân tử luôn dương như $x^2 + 2024 > 0$ thì vô nghiệm — không xét.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Bước 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): cho tất cả các mẫu khác 0.
- Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu, đưa về phương trình không còn ẩn ở mẫu.
- Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.
- Bước 4. Đối chiếu ĐKXĐ: nghiệm nào vi phạm thì loại; phần còn lại mới là nghiệm.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Bước 1. Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn và biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn.
- Bước 2. Dựa vào quan hệ trong đề, lập phương trình.
- Bước 3. Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời.
1 Giải phương trình tích
Giải các phương trình sau:
a) $(x - 3)(3x + 2) = 0$ b) $(x^{2} + 2024)(6x - 3) = 0$
c) $\left( \dfrac{3}{4}x - 2 \right)\left( \dfrac{5}{3}x + 1 \right) = 0$ d) $2(x + 4)(2x - 3) = 0$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: tích bằng 0 khi và chỉ khi một trong các nhân tử bằng 0.a) $(x - 3)(3x + 2) = 0 \iff x - 3 = 0$ hoặc $3x + 2 = 0$.
- $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- $3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\dfrac{2}{3}$.
Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 3$ và $x = -\dfrac{2}{3}$.
b) $(x^{2} + 2024)(6x - 3) = 0$.
$6x - 3 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{1}{2}$.
c) $\left( \dfrac{3}{4}x - 2 \right)\left( \dfrac{5}{3}x + 1 \right) = 0 \iff \dfrac{3}{4}x - 2 = 0$ hoặc $\dfrac{5}{3}x + 1 = 0$.
- $\dfrac{3}{4}x = 2 \Rightarrow x = 2 \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{8}{3}$.
- $\dfrac{5}{3}x = -1 \Rightarrow x = -1 \cdot \dfrac{3}{5} = -\dfrac{3}{5}$.
Vậy $x = \dfrac{8}{3}$ và $x = -\dfrac{3}{5}$.
d) $2(x + 4)(2x - 3) = 0$.
- $x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$.
- $2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$.
Vậy $x = -4$ và $x = \dfrac{3}{2}$.
2 Giải phương trình bậc hai (2 cách: tách hạng tử & hằng đẳng thức)
Giải các phương trình sau:
a) $3x^{2} - 11x + 6 = 0$ b) $-2x^{2} + 5x - 3 = 0$
c) $x^{2} + 2x - 3 = 0$ d) $x^{2} - 4x - 5 = 0$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: phân tích vế trái thành nhân tử rồi đưa về phương trình tích.🔍 Cách 2 — Dùng hằng đẳng thức (đưa về dạng $A^2 = B^2$): chia hai vế cho $a$ để hệ số $x^2$ bằng $1$, chuyển hằng số sang phải, thêm bớt $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$ để vế trái thành bình phương $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2$. Khi vế phải là số không âm $= k^2$ thì $A^2 = B^2 \iff A = B$ hoặc $A = -B$.
a) $3x^{2} - 11x + 6 = 0$
Cách 1 (tách hạng tử): $a\cdot c = 3\cdot 6 = 18$, cần hai số tích $18$, tổng $-11$ là $-9$ và $-2$.
$$\begin{aligned} & 3x^{2} - 9x - 2x + 6 = 0\\ \iff{}& 3x(x - 3) - 2(x - 3) = 0\\ \iff{}& (x - 3)(3x - 2) = 0. \end{aligned}$$
Cách 2 (hằng đẳng thức): chia hai vế cho $3$ rồi tạo bình phương đủ.
$$\begin{aligned} & 3x^{2} - 11x + 6 = 0\\ \iff{}& x^{2} - \dfrac{11}{3}x + 2 = 0\\ \iff{}& \left(x - \dfrac{11}{6}\right)^{2} = \left(\dfrac{11}{6}\right)^{2} - 2 = \dfrac{49}{36}\\ \iff{}& \left(x - \dfrac{11}{6}\right)^{2} = \left(\dfrac{7}{6}\right)^{2}\\ \iff{}& x - \dfrac{11}{6} = \dfrac{7}{6} \ \text{hoặc}\ x - \dfrac{11}{6} = -\dfrac{7}{6}. \end{aligned}$$
$\Rightarrow x = 3$ hoặc $x = \dfrac{2}{3}$. Vậy $x = 3;\ x = \dfrac{2}{3}$.
b) $-2x^{2} + 5x - 3 = 0$
Cách 1 (tách hạng tử): $-2x^{2} + 5x - 3 = 0 \iff 2x^{2} - 5x + 3 = 0$ (đổi dấu hai vế). Cần hai số tích $2\cdot 3 = 6$, tổng $-5$ là $-2$ và $-3$.
$$\begin{aligned} & 2x^{2} - 2x - 3x + 3 = 0\\ \iff{}& 2x(x - 1) - 3(x - 1) = 0\\ \iff{}& (x - 1)(2x - 3) = 0. \end{aligned}$$
Cách 2 (hằng đẳng thức): từ $2x^{2} - 5x + 3 = 0$, chia hai vế cho $2$.
$$\begin{aligned} & x^{2} - \dfrac{5}{2}x + \dfrac{3}{2} = 0\\ \iff{}& \left(x - \dfrac{5}{4}\right)^{2} = \left(\dfrac{5}{4}\right)^{2} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{16}\\ \iff{}& \left(x - \dfrac{5}{4}\right)^{2} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^{2}\\ \iff{}& x - \dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{4} \ \text{hoặc}\ x - \dfrac{5}{4} = -\dfrac{1}{4}. \end{aligned}$$
$\Rightarrow x = \dfrac{3}{2}$ hoặc $x = 1$. Vậy $x = 1;\ x = \dfrac{3}{2}$.
c) $x^{2} + 2x - 3 = 0$
Cách 1 (tách hạng tử): hai số tích $-3$, tổng $2$ là $3$ và $-1$:
$$\begin{aligned} & x^{2} + 3x - x - 3 = 0\\ \iff{}& x(x + 3) - (x + 3) = 0\\ \iff{}& (x + 3)(x - 1) = 0. \end{aligned}$$
Cách 2 (hằng đẳng thức): hệ số $x^2$ đã bằng $1$, chỉ cần dồn về bình phương.
$$\begin{aligned} & x^{2} + 2x - 3 = 0\\ \iff{}& (x + 1)^{2} = 3 + 1 = 4 = 2^{2}\\ \iff{}& x + 1 = 2 \ \text{hoặc}\ x + 1 = -2. \end{aligned}$$
$\Rightarrow x = 1$ hoặc $x = -3$. Vậy $x = -3;\ x = 1$.
d) $x^{2} - 4x - 5 = 0$
Cách 1 (tách hạng tử): hai số tích $-5$, tổng $-4$ là $-5$ và $1$:
$$\begin{aligned} & x^{2} - 5x + x - 5 = 0\\ \iff{}& x(x - 5) + (x - 5) = 0\\ \iff{}& (x - 5)(x + 1) = 0. \end{aligned}$$
Cách 2 (hằng đẳng thức):
$$\begin{aligned} & x^{2} - 4x - 5 = 0\\ \iff{}& (x - 2)^{2} = 5 + 4 = 9 = 3^{2}\\ \iff{}& x - 2 = 3 \ \text{hoặc}\ x - 2 = -3. \end{aligned}$$
$\Rightarrow x = 5$ hoặc $x = -1$. Vậy $x = 5;\ x = -1$.
3 Phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các phương trình sau:
a) $(x^{2} - 5x)^{2} + 10(x^{2} - 5x) + 24 = 0$
b) $(x^{2} + 5x)^{2} - 2(x^{2} + 5x) = 24$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đặt ẩn phụ để hạ bậc, đưa về phương trình tích theo ẩn phụ, rồi quay lại tìm $x$.a) Đặt $t = x^{2} - 5x$. Phương trình thành $t^{2} + 10t + 24 = 0$.
Tách hạng tử giữa:
$$\begin{aligned} & t^{2} + 6t + 4t + 24 = 0\\ \iff{}& t(t + 6) + 4(t + 6) = 0\\ \iff{}& (t + 6)(t + 4) = 0. \end{aligned}$$
$\Rightarrow t = -6$ hoặc $t = -4$. Trả lại ẩn $x$:
- $t = -4:\ x^{2} - 5x + 4 = 0 \iff (x - 1)(x - 4) = 0 \Rightarrow x = 1;\ x = 4$.
- $t = -6:\ x^{2} - 5x + 6 = 0 \iff (x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 2;\ x = 3$.
Vậy tập nghiệm $x \in \{1;\ 2;\ 3;\ 4\}$.
b) Đặt $t = x^{2} + 5x$. Phương trình thành $t^{2} - 2t = 24 \iff t^{2} - 2t - 24 = 0$.
Tách hạng tử giữa:
$$\begin{aligned} & t^{2} - 6t + 4t - 24 = 0\\ \iff{}& t(t - 6) + 4(t - 6) = 0\\ \iff{}& (t - 6)(t + 4) = 0. \end{aligned}$$
$\Rightarrow t = 6$ hoặc $t = -4$. Trả lại ẩn $x$:
- $t = 6:\ x^{2} + 5x - 6 = 0 \iff (x - 1)(x + 6) = 0 \Rightarrow x = 1;\ x = -6$.
- $t = -4:\ x^{2} + 5x + 4 = 0 \iff (x + 1)(x + 4) = 0 \Rightarrow x = -1;\ x = -4$.
Vậy tập nghiệm $x \in \{1;\ -6;\ -1;\ -4\}$.
4 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Giải các phương trình sau:
a) $\dfrac{7x + 7}{x - 1} = \dfrac{2}{3}$ b) $\dfrac{2}{1 + x} = \dfrac{1}{3 - 7x}$
c) $\dfrac{1}{x - 2} + 3 = \dfrac{3 - x}{x - 2}$
d) $\dfrac{14}{3x - 12} - \dfrac{2 + x}{x - 4} = \dfrac{3}{8 - 2x} - \dfrac{5}{6}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: tìm ĐKXĐ → khử mẫu → giải → đối chiếu ĐKXĐ.a) ĐKXĐ: $x \neq 1$. Khử mẫu (nhân chéo):
$$\begin{aligned} & 3(7x + 7) = 2(x - 1)\\ \iff{}& 21x + 21 = 2x - 2\\ \iff{}& 19x = -23\\ \iff{}& x = -\dfrac{23}{19}. \end{aligned}$$
Giá trị $x = -\dfrac{23}{19} \neq 1$ thỏa ĐKXĐ. Vậy $x = -\dfrac{23}{19}$.
b) ĐKXĐ: $x \neq -1$ và $x \neq \dfrac{3}{7}$. Nhân chéo:
$$\begin{aligned} & 2(3 - 7x) = 1 \cdot (1 + x)\\ \iff{}& 6 - 14x = 1 + x\\ \iff{}& 5 = 15x\\ \iff{}& x = \dfrac{1}{3}. \end{aligned}$$
$x = \dfrac{1}{3}$ thỏa ĐKXĐ. Vậy $x = \dfrac{1}{3}$.
c) ĐKXĐ: $x \neq 2$. Quy đồng theo mẫu chung $x - 2$:
$$\begin{aligned} & \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{3(x - 2)}{x - 2} = \dfrac{3 - x}{x - 2}\\ \iff{}& 1 + 3(x - 2) = 3 - x\\ \iff{}& 3x - 5 = 3 - x\\ \iff{}& 4x = 8 \iff x = 2. \end{aligned}$$
d) Phân tích các mẫu: $3x - 12 = 3(x - 4)$; $8 - 2x = -2(x - 4)$. ĐKXĐ: $x \neq 4$.
Nhân cả hai vế với mẫu chung $6(x - 4)$:
- $\dfrac{14}{3(x-4)}\cdot 6(x-4) = 28$
- $-\dfrac{2+x}{x-4}\cdot 6(x-4) = -6(2 + x) = -12 - 6x$
- $\dfrac{3}{-2(x-4)}\cdot 6(x-4) = -9$
- $-\dfrac{5}{6}\cdot 6(x-4) = -5(x - 4) = -5x + 20$
Phương trình trở thành:
$$\begin{aligned} & 28 - 12 - 6x = -9 - 5x + 20\\ \iff{}& 16 - 6x = 11 - 5x\\ \iff{}& 16 - 11 = 6x - 5x\\ \iff{}& x = 5. \end{aligned}$$
Giá trị $x = 5 \neq 4$ thỏa ĐKXĐ. Vậy $x = 5$.
5 Bài toán thực tế — giải bằng cách lập phương trình
Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau $50\text{ km}$. Sau đó $1$ giờ $30$ phút, một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B và đến sớm hơn $1$ giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc xe máy gấp $2{,}5$ lần vận tốc xe đạp.
📊 Tóm tắt bài toán bằng bảng
Gọi vận tốc xe đạp là $x$ (km/h, $x > 0$) thì vận tốc xe máy là $2{,}5x$. Mỗi hàng là một xe; dùng công thức thời gian $=$ quãng đường $\div$ vận tốc.
| Đối tượng | Quãng đường (km) | Vận tốc (km/h) | Thời gian (giờ) |
|---|---|---|---|
| Xe đạp | $50$ | $x$ | $\dfrac{50}{x}$ |
| Xe máy | $50$ | $2{,}5x$ | $\dfrac{50}{2{,}5x} = \dfrac{20}{x}$ |
Xe máy xuất phát muộn hơn $1{,}5$ giờ mà lại đến sớm hơn $1$ giờ, nên thời gian đi của xe đạp nhiều hơn xe máy: $\;1{,}5 + 1 = 2{,}5$ (giờ).
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: chọn ẩn, đặt điều kiện, lập phương trình từ quan hệ thời gian, giải và đối chiếu.Gọi vận tốc xe đạp là $x$ (km/h), điều kiện $x > 0$. Vận tốc xe máy là $2{,}5x$ (km/h).
Thời gian xe đạp đi: $\dfrac{50}{x}$ giờ; thời gian xe máy đi: $\dfrac{20}{x}$ giờ.
Vì xe đạp đi lâu hơn xe máy $2{,}5$ giờ, ta có phương trình:
$$\begin{aligned} & \dfrac{50}{x} - \dfrac{20}{x} = 2{,}5\\ \iff{}& \dfrac{30}{x} = 2{,}5\\ \iff{}& x = \dfrac{30}{2{,}5} = 12. \end{aligned}$$
$x = 12 > 0$ thỏa điều kiện. Khi đó vận tốc xe máy là $2{,}5 \cdot 12 = 30$ (km/h).
Kiểm tra: xe đạp đi $\dfrac{50}{12} \approx 4{,}17$ giờ; xe máy đi $\dfrac{50}{30} \approx 1{,}67$ giờ; chênh lệch đúng $2{,}5$ giờ. ✓
Kết luận: vận tốc xe đạp là $12$ km/h, vận tốc xe máy là $30$ km/h.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Phương trình tích $A\cdot B = 0 \iff A = 0$ hoặc $B = 0$: muốn dùng được phải đưa một vế về $0$; giải từng nhân tử rồi gộp nghiệm.
- Nhân tử là hằng số khác 0 (như số $2$) hay luôn dương (như $x^2 + 2024$) thì không cho nghiệm — đừng xét.
- Giải phương trình bậc hai có 2 cách: (1) tách hạng tử giữa — tìm hai số có tích $a\cdot c$ và tổng $b$; (2) hằng đẳng thức — đưa về $\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = k^2$ rồi dùng $A^2 = B^2 \iff A = \pm B$. Cách 2 luôn dùng được, kể cả khi không nhẩm được nghiệm đẹp.
- Đặt ẩn phụ: giải ra ẩn phụ $t$ xong bắt buộc trả về ẩn $x$, kẻo thiếu nghiệm.
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu: luôn đặt ĐKXĐ (mẫu $\neq 0$) và đối chiếu để loại nghiệm vi phạm — đây là lỗi sai hay gặp nhất.
- Bài toán lập phương trình: đặt điều kiện cho ẩn, thống nhất đơn vị (đổi $1$ giờ $30$ phút $= 1{,}5$ giờ), kẻ bảng để tìm quan hệ và đối chiếu nghiệm với thực tế.