Bất đẳng thức và tính chất
Nhận biết bất đẳng thức · Liên hệ thứ tự với phép cộng, phép nhân · Tính chất bắc cầu
Bất đẳng thức và các kí hiệu
- Hệ thức dạng $a \lt b$, $a \gt b$, $a \le b$, $a \ge b$ được gọi là bất đẳng thức; $a$ là vế trái, $b$ là vế phải.
- Theo định nghĩa: $a \lt b \iff a - b \lt 0$ và $a \gt b \iff a - b \gt 0$.
- $a \le b$ nghĩa là "$a \lt b$ hoặc $a = b$"; tương tự với $a \ge b$.
Liên hệ thứ tự với phép cộng
- Khi cộng cùng một số $c$ vào hai vế của một bất đẳng thức thì được bất đẳng thức mới cùng chiều: $\;a \lt b \Rightarrow a + c \lt b + c$.
- Điều này đúng với mọi số $c$ (dương, âm hay $0$).
Liên hệ thứ tự với phép nhân
- Nhân (hoặc chia) hai vế với cùng một số dương $\Rightarrow$ giữ nguyên chiều: nếu $c \gt 0$ và $a \lt b$ thì $ac \lt bc$.
- Nhân (hoặc chia) hai vế với cùng một số âm $\Rightarrow$ đổi chiều: nếu $c \lt 0$ và $a \lt b$ thì $ac \gt bc$.
Tính chất bắc cầu
- Nếu $a \lt b$ và $b \lt c$ thì $a \lt c$.
- Dùng một đại lượng "trung gian" để nối hai bước so sánh thành một kết luận.
1 Bài tập liên quan đến phép cộng
a) Chứng minh $2023 + (-2^{29}) \gt 2022 + (-2^{29})$.
b) So sánh hai số $-3 + 23^{50}$ và $-2 + 23^{50}$.
c) Cho hai số $a$ và $b$ thỏa mãn $a \lt b$. Chứng tỏ $a + 3 \lt b + 5$.
d) Cho hai số $m$ và $n$ thỏa mãn $m \gt n$. Chứng tỏ $m + 5 \gt n + 4$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: cộng cùng một số vào hai vế giữ nguyên chiều bất đẳng thức.a) Ta có $2023 \gt 2022$. Cộng cùng số $-2^{29}$ vào hai vế (giữ chiều):
$2023 + (-2^{29}) \gt 2022 + (-2^{29})$ (đpcm).
b) Ta có $-3 \lt -2$. Cộng cùng số $23^{50}$ vào hai vế (giữ chiều):
$-3 + 23^{50} \lt -2 + 23^{50}$. Vậy $-3 + 23^{50} \lt -2 + 23^{50}$.
c) Từ $a \lt b$, cộng $3$ vào hai vế: $a + 3 \lt b + 3$. (1)
Mặt khác $3 \lt 5$ nên cộng $b$ vào hai vế: $b + 3 \lt b + 5$. (2)
Dùng Lý thuyết 4: nối (1) và (2) bằng tính chất bắc cầu.Từ (1) và (2): $a + 3 \lt b + 3 \lt b + 5 \Rightarrow a + 3 \lt b + 5$ (đpcm).
d) Từ $m \gt n$, cộng $5$ vào hai vế: $m + 5 \gt n + 5$. (1)
Mà $n + 5 \gt n + 4$ (vì $5 \gt 4$). (2)
Bắc cầu (1), (2): $m + 5 \gt n + 5 \gt n + 4 \Rightarrow m + 5 \gt n + 4$ (đpcm).
2 Bài tập liên quan đến phép nhân
a) Không thực hiện phép tính, hãy so sánh $1962 \cdot 12$ và $1963 \cdot 12$.
b) Không thực hiện phép tính, hãy so sánh $47 \cdot (-19)$ và $50 \cdot (-19)$.
c) Cho hai số $a$, $b$ thỏa mãn $a^{2} \gt b^{2} \gt 0$. Chứng tỏ $5a^{2} \gt 4b^{2}$.
d) Cho biết $-10m \le -10n$, hãy so sánh $m$ và $n$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: nhân/chia số dương giữ chiều, số âm đổi chiều.a) Ta có $1962 \lt 1963$. Nhân hai vế với số dương $12$ (giữ chiều):
$1962 \cdot 12 \lt 1963 \cdot 12$. Vậy $1962 \cdot 12 \lt 1963 \cdot 12$.
b) Ta có $47 \lt 50$. Nhân hai vế với số âm $-19$:
Vậy $47 \cdot (-19) \gt 50 \cdot (-19)$.
c) Từ $a^{2} \gt b^{2}$, nhân hai vế với số dương $5$ (giữ chiều): $5a^{2} \gt 5b^{2}$. (1)
Vì $b^{2} \gt 0$ nên $5b^{2} \gt 4b^{2}$. (2)
Dùng Lý thuyết 4: bắc cầu (1) và (2).$5a^{2} \gt 5b^{2} \gt 4b^{2} \Rightarrow 5a^{2} \gt 4b^{2}$ (đpcm).
d) Từ $-10m \le -10n$, chia hai vế cho số âm $-10$ (đổi chiều):
$\dfrac{-10m}{-10} \ge \dfrac{-10n}{-10} \iff m \ge n$. Vậy $m \ge n$.
Nhân hai vế với số âm → đổi chiều
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Cộng cùng một số vào hai vế: luôn giữ nguyên chiều bất đẳng thức.
- Nhân (hoặc chia) hai vế với cùng số dương: giữ chiều; với cùng số âm: đổi chiều — đây là bẫy hay gặp nhất.
- Tính chất bắc cầu: $a \lt b$ và $b \lt c \Rightarrow a \lt c$ — dùng một đại lượng trung gian để nối hai bước.
- Khi cần, dùng định nghĩa $a \lt b \iff a - b \lt 0$ để chứng minh từ gốc.
- Khi so sánh "không tính cụ thể", hãy nhìn xem hai vế khác nhau ở chỗ nào (cộng thêm số nào, nhân với số nào) rồi áp đúng tính chất.