Bất phương trình bậc nhất một ẩn
Giải bất phương trình · Bất phương trình chứa mẫu · So sánh biểu thức · Bài toán thực tế
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Bất phương trình bậc nhất một ẩn $x$ có dạng $ax + b \gt 0$ (hoặc $ax + b \lt 0$, $ax + b \ge 0$, $ax + b \le 0$), trong đó $a, b$ là số đã biết và $a \neq 0$.
- Nghiệm của bất phương trình là giá trị của ẩn làm cho bất phương trình đúng. Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm đó.
Quy tắc chuyển vế
- Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của bất phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử đó.
- Quy tắc này không làm đổi chiều bất phương trình (giống như cộng cùng một số vào hai vế).
Quy tắc nhân (chia) với một số
- Nhân (hoặc chia) hai vế với cùng một số dương $\Rightarrow$ giữ nguyên chiều bất phương trình.
- Nhân (hoặc chia) hai vế với cùng một số âm $\Rightarrow$ đổi chiều bất phương trình.
Bất phương trình chứa mẫu — đưa về bậc nhất
- Quy đồng rồi khử mẫu: vì các mẫu số ở đây đều là số dương nên khi nhân hai vế với mẫu chung, bất phương trình giữ nguyên chiều.
- Với bất phương trình có tích hoặc bình phương: khai triển, thu gọn; thường các hạng tử bậc hai ($x^2$) ở hai vế triệt tiêu, đưa về bậc nhất.
1 Dạng 1 — Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
Giải các bất phương trình sau:
a) $3(2x - 3) \ge 4(2 - x) + 13$ b) $6x - 1 - (3x + 9) \le 8x - 7 - (2x - 1)$
c) $8x + 17 - 3(2x + 3) \le 10(x + 2)$ d) $4(2 - 3x) - (5 - x) \gt 11 - x$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2 & 3: khai triển, chuyển vế đổi dấu, rồi chia cho hệ số của $x$ (chia số âm thì đổi chiều).a) $3(2x - 3) \ge 4(2 - x) + 13 \iff 6x - 9 \ge 21 - 4x$
$\iff 6x + 4x \ge 21 + 9 \iff 10x \ge 30 \iff$ $x \ge 3$.
b) Thu gọn hai vế: $6x - 1 - 3x - 9 \le 8x - 7 - 2x + 1 \iff 3x - 10 \le 6x - 6$
$\iff 3x - 6x \le -6 + 10 \iff -3x \le 4$. Chia hai vế cho $-3$ (đổi chiều):
$x \ge -\dfrac{4}{3}$.
c) $8x + 17 - 6x - 9 \le 10x + 20 \iff 2x + 8 \le 10x + 20$
$\iff 2x - 10x \le 20 - 8 \iff -8x \le 12$. Chia cho $-8$ (đổi chiều): $x \ge -\dfrac{3}{2}$.
d) $8 - 12x - 5 + x \gt 11 - x \iff 3 - 11x \gt 11 - x$
$\iff -11x + x \gt 11 - 3 \iff -10x \gt 8$. Chia cho $-10$ (đổi chiều): $x \lt -\dfrac{4}{5}$.
Biểu diễn tập nghiệm $x \ge 3$ trên trục số
2 Dạng 2 — Bất phương trình có chứa mẫu số
Giải các bất phương trình sau:
a) $\dfrac{2x - 1}{3} \lt \dfrac{x + 6}{2}$ b) $\dfrac{5(x - 1)}{6} - 1 \ge \dfrac{2(x + 1)}{3}$
c) $2 + \dfrac{3(x + 1)}{8} \le 3 - \dfrac{x - 1}{4}$ d) $\dfrac{3x + 5}{2} - 1 \le \dfrac{x + 2}{3} + x$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 4: quy đồng và khử mẫu (mẫu dương nên giữ chiều), rồi giải như bậc nhất.a) Nhân hai vế với $6 \gt 0$: $2(2x - 1) \lt 3(x + 6) \iff 4x - 2 \lt 3x + 18$
$\iff x \lt 20$. Vậy $x \lt 20$.
b) Nhân hai vế với $6$: $5(x - 1) - 6 \ge 4(x + 1) \iff 5x - 11 \ge 4x + 4$
$\iff x \ge 15$. Vậy $x \ge 15$.
c) Nhân hai vế với $8$: $16 + 3(x + 1) \le 24 - 2(x - 1)$
$\iff 3x + 19 \le 26 - 2x \iff 5x \le 7 \iff$ $x \le \dfrac{7}{5}$.
d) Nhân hai vế với $6$: $3(3x + 5) - 6 \le 2(x + 2) + 6x$
$\iff 9x + 9 \le 8x + 4 \iff x \le -5$. Vậy $x \le -5$.
3 Dạng 3 — Đưa về bậc nhất (khai triển tích, bình phương)
Giải các bất phương trình sau:
a) $(2x + 3)(2x - 1) \gt 4x(x + 2)$ b) $5(x - 1) - x(7 - x) \lt x^{2}$
c) $(x - 1)^{2} + (x - 3)^{2} \gt x^{2} + (x + 1)^{2}$ d) $\dfrac{(2x - 1)^{2}}{8} \lt \dfrac{(3 - x)^{2}}{2}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 4: khai triển hai vế; các hạng tử $x^2$ sẽ triệt tiêu, đưa về bậc nhất.a) $4x^{2} + 4x - 3 \gt 4x^{2} + 8x \iff 4x - 3 \gt 8x \iff -4x \gt 3$
Chia cho $-4$ (đổi chiều): $x \lt -\dfrac{3}{4}$.
b) $5x - 5 - 7x + x^{2} \lt x^{2} \iff x^{2} - 2x - 5 \lt x^{2} \iff -2x - 5 \lt 0$
$\iff -2x \lt 5$. Chia cho $-2$ (đổi chiều): $x \gt -\dfrac{5}{2}$.
c) Vế trái $= 2x^{2} - 8x + 10$; vế phải $= 2x^{2} + 2x + 1$.
$2x^{2} - 8x + 10 \gt 2x^{2} + 2x + 1 \iff -8x + 10 \gt 2x + 1 \iff -10x \gt -9$
Chia cho $-10$ (đổi chiều): $x \lt \dfrac{9}{10}$.
d) Nhân hai vế với $8 \gt 0$: $(2x - 1)^{2} \lt 4(3 - x)^{2}$
$\iff 4x^{2} - 4x + 1 \lt 4x^{2} - 24x + 36 \iff -4x + 1 \lt -24x + 36$
$\iff 20x \lt 35 \iff$ $x \lt \dfrac{7}{4}$.
4 Dạng 4 — So sánh giá trị của hai biểu thức
Với những giá trị nào của $x$ thì:
a) Giá trị của $7 - 3(x + 1)$ không nhỏ hơn giá trị của $2(x - 3) - 4$.
b) Giá trị của $\dfrac{x + 2}{3} - x + 1$ lớn hơn giá trị của $x + 3$.
c) Giá trị của $(x + 1)^{2} - 4$ không lớn hơn giá trị của $(x - 3)^{2}$.
d) Giá trị của $5(3x - 2) - 7x$ lớn hơn giá trị của $6(x - 3) + 2$.
🔑 Lời giải
a) $7 - 3(x + 1) \ge 2(x - 3) - 4 \iff 4 - 3x \ge 2x - 10$
$\iff -5x \ge -14$. Chia cho $-5$ (đổi chiều): $x \le \dfrac{14}{5}$.
b) $\dfrac{x + 2}{3} - x + 1 \gt x + 3$. Nhân hai vế với $3$:
$(x + 2) - 3x + 3 \gt 3x + 9 \iff -2x + 5 \gt 3x + 9 \iff -5x \gt 4$
Chia cho $-5$ (đổi chiều): $x \lt -\dfrac{4}{5}$.
c) $(x + 1)^{2} - 4 \le (x - 3)^{2} \iff x^{2} + 2x - 3 \le x^{2} - 6x + 9$
$\iff 2x - 3 \le -6x + 9 \iff 8x \le 12 \iff$ $x \le \dfrac{3}{2}$.
d) $5(3x - 2) - 7x \gt 6(x - 3) + 2 \iff 8x - 10 \gt 6x - 16$
$\iff 2x \gt -6 \iff$ $x \gt -3$.
5 Dạng 5 — Bất phương trình biến đổi đặc biệt
Giải các bất phương trình sau:
a) $\dfrac{x + 1987}{2002} + \dfrac{x + 1988}{2003} \gt \dfrac{x + 1989}{2004} + \dfrac{x + 1990}{2005}$
b) $\dfrac{x - 1}{99} + \dfrac{x - 3}{97} + \dfrac{x - 5}{95} \lt \dfrac{x - 2}{98} + \dfrac{x - 4}{96} + \dfrac{x - 6}{94}$
🔑 Lời giải
Mẹo — bớt 1 ở mỗi phân thức: trừ $1$ vào mỗi hạng tử (tổng cộng trừ cùng một số ở mỗi vế nên giữ chiều), để xuất hiện tử chung.a) Trừ $1$ vào từng phân thức (mỗi vế có $2$ hạng tử, trừ tổng cộng $2$ ở mỗi vế — giữ chiều). Mỗi tử trở thành $x - 15$:
$(x - 15)\!\left(\dfrac{1}{2002} + \dfrac{1}{2003} - \dfrac{1}{2004} - \dfrac{1}{2005}\right) \gt 0$.
Vì $\dfrac{1}{2002} \gt \dfrac{1}{2004}$ và $\dfrac{1}{2003} \gt \dfrac{1}{2005}$ nên ngoặc là số dương. Chia cho số dương đó (giữ chiều): $x - 15 \gt 0$.
Vậy $x \gt 15$.
b) Trừ $1$ vào từng phân thức (mỗi vế $3$ hạng tử — giữ chiều). Mỗi tử trở thành $x - 100$:
$(x - 100)\!\left(\dfrac{1}{99} + \dfrac{1}{97} + \dfrac{1}{95} - \dfrac{1}{98} - \dfrac{1}{96} - \dfrac{1}{94}\right) \lt 0$.
Vì $\dfrac{1}{99} \lt \dfrac{1}{98}$, $\dfrac{1}{97} \lt \dfrac{1}{96}$, $\dfrac{1}{95} \lt \dfrac{1}{94}$ nên ngoặc là số âm. Chia cho số âm (đổi chiều): $x - 100 \gt 0$.
Vậy $x \gt 100$.
6 Dạng 6 — Ứng dụng thực tế
a) Một hãng taxi có giá mở cửa là $15$ nghìn đồng và $12$ nghìn đồng cho mỗi kilômét tiếp theo. Với $200$ nghìn đồng thì đi được tối đa bao nhiêu kilômét (làm tròn đến hàng đơn vị)?
b) Một ngân hàng áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn $1$ tháng là $0{,}4\%$. Muốn có tiền lãi hằng tháng ít nhất $3$ triệu đồng thì số tiền gửi ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: gọi ẩn, đặt điều kiện, lập bất phương trình từ dữ kiện "tối đa / ít nhất".a) Gọi $x$ là số kilômét đi được $(x \gt 0)$. Tổng tiền phải trả là $15 + 12x$ (nghìn đồng), không vượt quá $200$:
$15 + 12x \le 200 \iff 12x \le 185 \iff x \le \dfrac{185}{12} \approx 15{,}42$.
Vì $x$ là số kilômét nguyên lớn nhất thỏa mãn nên hành khách đi được tối đa $15$ km.
b) Gọi $x$ là số tiền gửi (triệu đồng, $x \gt 0$). Tiền lãi mỗi tháng là $0{,}4\% \cdot x = 0{,}004x$, cần ít nhất $3$ triệu:
$0{,}004x \ge 3 \iff x \ge \dfrac{3}{0{,}004} = 750$.
Vậy phải gửi ít nhất $750$ triệu đồng.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Quy tắc chuyển vế: chuyển hạng tử qua vế kia phải đổi dấu, không đổi chiều bất phương trình.
- Quy tắc nhân/chia: với số dương giữ chiều, với số âm phải đổi chiều — bẫy lớn nhất, đặc biệt ở bước chia cho hệ số $a \lt 0$.
- Chứa mẫu: mẫu là số dương nên khử mẫu không đổi chiều; tích/bình phương: khai triển để $x^2$ triệt tiêu, đưa về bậc nhất.
- So sánh biểu thức: dịch đúng từ ngữ — "không nhỏ hơn" $=\ge$, "không lớn hơn" $=\le$, "lớn hơn" $=\gt$.
- Bài toán thực tế: luôn đặt điều kiện cho ẩn, dịch "tối đa / nhiều nhất" $\to \le$, "ít nhất / tối thiểu" $\to \ge$, rồi đối chiếu nghiệm với thực tế (làm tròn cho hợp lí).