Ôn tập chương II
Phương trình tích & chứa ẩn ở mẫu · Lập phương trình · Bất đẳng thức · Bất phương trình · Bài toán thực tế
Phương trình tích & phương trình chứa ẩn ở mẫu
- Phương trình tích: $A \cdot B = 0 \iff A = 0$ hoặc $B = 0$ — giải lần lượt từng nhân tử rồi gộp nghiệm.
- Phương trình chứa ẩn ở mẫu: bắt buộc đặt điều kiện xác định (mẫu khác $0$), quy đồng khử mẫu, giải rồi loại nghiệm vi phạm điều kiện.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
- Gọi ẩn (kèm điều kiện và đơn vị) → biểu diễn các đại lượng theo ẩn → lập phương trình → giải → đối chiếu điều kiện và kết luận.
- Với bài phần trăm: "tăng $p\%$" của giá trị $V$ nghĩa là tăng thêm $\dfrac{p}{100}\cdot V$.
Bất đẳng thức — tính chất & tổng bình phương
- Cộng cùng một số vào hai vế: giữ chiều. Nhân/chia với số dương: giữ chiều; với số âm: đổi chiều. Bắc cầu: $a \gt b,\ b \gt c \Rightarrow a \gt c$.
- Chứng minh $M \ge 0$: biến đổi $M$ về tổng các bình phương, vì $(\,\cdot\,)^2 \ge 0$ với mọi giá trị.
Bất phương trình bậc nhất một ẩn
- Dùng quy tắc chuyển vế (đổi dấu) và quy tắc nhân/chia để đưa về dạng $x \gt m$, $x \lt m$, $x \ge m$, $x \le m$.
- Bất phương trình chứa mẫu: mẫu là số dương nên khử mẫu giữ chiều; chia cho hệ số âm của $x$ thì đổi chiều.
1 Dạng 1 — Giải phương trình (tích, chứa ẩn ở mẫu)
Giải các phương trình sau:
a) $(x - 3)(2x + 1) = 0$ b) $x^{2} + 7x + 12 = 0$
c) $\dfrac{2x - 5}{x + 5} = 3$ d) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x - 2} = 0$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: tích bằng 0 ⇔ một nhân tử bằng 0; phương trình chứa mẫu phải đặt điều kiện.a) $(x - 3)(2x + 1) = 0 \iff x - 3 = 0$ hoặc $2x + 1 = 0$.
Vậy $x = 3$ hoặc $x = -\dfrac{1}{2}$.
b) $x^{2} + 7x + 12 = 0 \iff (x + 3)(x + 4) = 0$ (vì $3 + 4 = 7,\ 3\cdot 4 = 12$).
Vậy $x = -3$ hoặc $x = -4$.
c) Điều kiện: $x \neq -5$. Khi đó:
$\dfrac{2x - 5}{x + 5} = 3 \Rightarrow 2x - 5 = 3(x + 5) \iff 2x - 5 = 3x + 15 \iff x = -20$.
$x = -20$ thỏa điều kiện. Vậy $x = -20$.
d) Điều kiện: $x \neq 0$ và $x \neq 2$. Quy đồng (nhân hai vế với $x(x - 2)$):
$(x - 2) + 2x = 0 \iff 3x - 2 = 0 \iff x = \dfrac{2}{3}$.
$x = \dfrac{2}{3}$ thỏa điều kiện. Vậy $x = \dfrac{2}{3}$.
2 Dạng 2 — Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A và B là $4$ triệu người. Năm nay dân số tỉnh A tăng $1{,}2\%$, tỉnh B tăng $1{,}1\%$; tổng số dân cả hai tỉnh năm nay là $4\,045\,000$ người. Tính số dân mỗi tỉnh năm ngoái.
📊 Tóm tắt bài toán bằng bảng
Gọi $x$ là số dân tỉnh A năm ngoái (người), $0 \lt x \lt 4\,000\,000$. Khi đó dân tỉnh B năm ngoái là $4\,000\,000 - x$.
| Tỉnh | Năm ngoái (người) | Tỉ lệ tăng | Tăng thêm (người) |
|---|---|---|---|
| Tỉnh A | $x$ | $1{,}2\%$ | $0{,}012\,x$ |
| Tỉnh B | $4\,000\,000 - x$ | $1{,}1\%$ | $0{,}011\,(4\,000\,000 - x)$ |
| Tổng tăng | — | — | $45\,000$ |
Vì tổng số dân năm nay $4\,045\,000$ hơn năm ngoái $4\,000\,000$ là $45\,000$ người nên cột "Tăng thêm" cho ta phương trình.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: "tăng $p\%$" $=$ tăng thêm $\dfrac{p}{100}$ lần số dân năm ngoái; lập phương trình theo phần tăng.Phần tăng của hai tỉnh bằng $4\,045\,000 - 4\,000\,000 = 45\,000$:
$$0{,}012\,x + 0{,}011\,(4\,000\,000 - x) = 45\,000$$
$\iff 0{,}012x + 44\,000 - 0{,}011x = 45\,000 \iff 0{,}001x = 1\,000 \iff x = 1\,000\,000$.
$x = 1\,000\,000$ thỏa điều kiện. Vậy năm ngoái tỉnh A có $1\,000\,000$ người, tỉnh B có $3\,000\,000$ người.
Kiểm tra: $1\,000\,000 \cdot 1{,}2\% = 12\,000$; $3\,000\,000 \cdot 1{,}1\% = 33\,000$; tổng tăng $= 45\,000$ ✓.
3 Dạng 3 — Chứng minh, so sánh bất đẳng thức
a) Cho $a \gt b$. Chứng tỏ $5a + 4 \gt 5b + 2$.
b) Cho $x \gt y$. Chứng tỏ $7 - 6x \lt 9 - 6y$.
c) Với $x, y$ bất kì, chứng minh $x^{2} + y^{2} + 9 \ge 6y$.
d) Với $x, y$ bất kì, chứng minh $x^{2} + y^{2} + 5 \ge 4x - 2y$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: a, b dùng tính chất cộng/nhân + bắc cầu; c, d đưa về tổng bình phương.a) Từ $a \gt b$, nhân hai vế với $5 \gt 0$: $5a \gt 5b$, cộng $4$: $5a + 4 \gt 5b + 4$. (1)
Mà $5b + 4 \gt 5b + 2$ (vì $4 \gt 2$). (2)
Bắc cầu (1), (2): $5a + 4 \gt 5b + 4 \gt 5b + 2 \Rightarrow 5a + 4 \gt 5b + 2$ (đpcm).
b) Từ $x \gt y$, nhân hai vế với $-6$ (đổi chiều): $-6x \lt -6y$, cộng $7$: $7 - 6x \lt 7 - 6y$. (1)
Mà $7 - 6y \lt 9 - 6y$ (vì $7 \lt 9$). (2)
Bắc cầu (1), (2): $7 - 6x \lt 7 - 6y \lt 9 - 6y \Rightarrow 7 - 6x \lt 9 - 6y$ (đpcm).
c) Xét hiệu: $x^{2} + y^{2} + 9 - 6y = x^{2} + (y^{2} - 6y + 9) = x^{2} + (y - 3)^{2} \ge 0$.
Vậy $x^{2} + y^{2} + 9 \ge 6y$ (đpcm). Dấu "$=$" khi $x = 0,\ y = 3$.
d) Xét hiệu: $x^{2} + y^{2} + 5 - 4x + 2y = (x^{2} - 4x + 4) + (y^{2} + 2y + 1) = (x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} \ge 0$.
Vậy $x^{2} + y^{2} + 5 \ge 4x - 2y$ (đpcm). Dấu "$=$" khi $x = 2,\ y = -1$.
4 Dạng 4 — Giải bất phương trình
Giải các bất phương trình sau:
a) $5(3x - 2) - 7x \gt 6(x - 3) + 2$ b) $9x + 2(x - 5) \gt 15x - 2$
c) $\dfrac{2x - 3}{3} - \dfrac{2 - 4x}{5} \ge \dfrac{2x - 1}{15}$ d) $\dfrac{3x - 5}{4} + \dfrac{x - 1}{-3} \le \dfrac{2x + 1}{6}$
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 4: khử mẫu (mẫu dương, giữ chiều), chuyển vế đổi dấu, chia số âm thì đổi chiều.a) $15x - 10 - 7x \gt 6x - 18 + 2 \iff 8x - 10 \gt 6x - 16 \iff 2x \gt -6$
$\iff$ $x \gt -3$.
b) $9x + 2x - 10 \gt 15x - 2 \iff 11x - 10 \gt 15x - 2 \iff -4x \gt 8$
Chia cho $-4$ (đổi chiều): $x \lt -2$.
c) Nhân hai vế với $15 \gt 0$: $5(2x - 3) - 3(2 - 4x) \ge 2x - 1$
$\iff 10x - 15 - 6 + 12x \ge 2x - 1 \iff 22x - 21 \ge 2x - 1 \iff 20x \ge 20 \iff$ $x \ge 1$.
d) Lưu ý $\dfrac{x - 1}{-3} = -\dfrac{x - 1}{3}$. Nhân hai vế với $12 \gt 0$:
$3(3x - 5) - 4(x - 1) \le 2(2x + 1) \iff 9x - 15 - 4x + 4 \le 4x + 2$
$\iff 5x - 11 \le 4x + 2 \iff$ $x \le 13$.
Biểu diễn tập nghiệm $x \lt -2$ (câu b) trên trục số
5 Dạng 5 — Bài toán thực tế vận dụng
Chi phí để loại bỏ $x\%$ tảo độc khỏi hồ là $C(x) = \dfrac{50x}{100 - x}$ (triệu đồng), với $0 \le x \lt 100$. Nếu bỏ ra $450$ triệu đồng thì loại bỏ được tối đa bao nhiêu phần trăm tảo độc?
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 4: "bỏ ra $450$ triệu" nghĩa là chi phí không vượt quá $450$, tức $C(x) \le 450$.Với $0 \le x \lt 100$ thì $100 - x \gt 0$. Ta giải:
$\dfrac{50x}{100 - x} \le 450$. Nhân hai vế với $(100 - x) \gt 0$ (giữ chiều):
$50x \le 450(100 - x) \iff 50x \le 45\,000 - 450x \iff 500x \le 45\,000 \iff x \le 90$.
Kết hợp điều kiện $0 \le x \lt 100$, được $0 \le x \le 90$.
Vậy với $450$ triệu đồng, người ta loại bỏ được tối đa $90\%$ loại tảo độc.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Phương trình tích: $A\cdot B = 0 \iff A = 0$ hoặc $B = 0$. Chứa ẩn ở mẫu: luôn đặt điều kiện và loại nghiệm vi phạm.
- Lập phương trình: gọi ẩn kèm điều kiện; "tăng $p\%$" $=$ tăng thêm $\dfrac{p}{100}$ lần giá trị ban đầu.
- Chứng minh BĐT: xét hiệu rồi đưa về tổng các bình phương $(\,\cdot\,)^2 \ge 0$; nêu rõ dấu "$=$" xảy ra khi nào.
- Giải BPT: nhân/chia với số âm phải đổi chiều; mẫu dương thì khử mẫu giữ chiều.
- Bài toán thực tế: dịch "bỏ ra / không quá / tối đa" $\to \le$, "ít nhất / tối thiểu" $\to \ge$, rồi đối chiếu với điều kiện.