Căn bậc hai và căn thức bậc hai
Tìm căn bậc hai số học · So sánh căn bậc hai · Điều kiện xác định của căn thức
✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm
📖 Lý thuyết 1
Căn bậc hai & căn bậc hai số học
- Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ và $-\sqrt{a}$; số $0$ có một căn bậc hai là $0$; số âm không có căn bậc hai.
- Với $a > 0$, số $\sqrt{a}$ (không âm) gọi là căn bậc hai số học của $a$.
🔍 Quy trình: tìm căn bậc hai số học $\sqrt{a}$ trước, rồi suy ra hai căn bậc hai là $\pm\sqrt{a}$.
📖 Lý thuyết 2
So sánh căn bậc hai số học
- Với $a, b \ge 0$: nếu $a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$ (và ngược lại).
🔍 Mẹo: đưa số nguyên về dạng căn ($k = \sqrt{k^{2}}$) hoặc đưa thừa số vào trong căn ($3\sqrt{2} = \sqrt{18}$) để so sánh hai biểu thức dưới cùng một dấu căn.
📖 Lý thuyết 3
Căn thức bậc hai — điều kiện xác định
- $\sqrt{A}$ có nghĩa (xác định) khi và chỉ khi $A \ge 0$.
- Nếu trong $A$ có mẫu thì cần thêm điều kiện mẫu khác $0$; phân thức $\dfrac{m}{N}$ không âm khi $m$ và $N$ cùng dấu.
✍ Bài tập luyện tập
1 Dạng 1 — Tìm căn bậc hai, căn bậc hai số học
Tìm căn bậc hai số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai: a) $81$; b) $0,25$; c) $\dfrac{169}{49}$; d) $2,25$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: tìm $\sqrt{a}$ rồi suy ra hai căn bậc hai $\pm\sqrt{a}$.- a) $\sqrt{81} = 9$ → hai căn bậc hai là $9$ và $-9$.
- b) $\sqrt{0,25} = 0,5$ → hai căn bậc hai là $0,5$ và $-0,5$.
- c) $\sqrt{\dfrac{169}{49}} = \dfrac{13}{7}$ → hai căn bậc hai là $\dfrac{13}{7}$ và $-\dfrac{13}{7}$.
- d) $\sqrt{2,25} = 1,5$ → hai căn bậc hai là $1,5$ và $-1,5$.
2 Dạng 2 — So sánh căn bậc hai số học
So sánh: a) $6$ và $\sqrt{37}$; b) $\sqrt{10}+3$ và $6$; c) $3\sqrt{2}$ và $5$; d) $\sqrt{5}+1$ và $3$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: đưa về cùng dạng căn rồi so sánh số dưới căn.- a) $6 = \sqrt{36}$; vì $36 < 37$ nên $6 < \sqrt{37}$.
- b) $\sqrt{10} > \sqrt{9} = 3$ nên $\sqrt{10} + 3 > 3 + 3 = 6$. Vậy $\sqrt{10} + 3 > 6$.
- c) $3\sqrt{2} = \sqrt{18}$; $5 = \sqrt{25}$; vì $18 < 25$ nên $3\sqrt{2} < 5$.
- d) $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$ nên $\sqrt{5} + 1 > 2 + 1 = 3$. Vậy $\sqrt{5} + 1 > 3$.
3 Dạng 3 — Căn thức bậc hai (điều kiện xác định)
Tìm điều kiện có nghĩa của: a) $\sqrt{72a}$; b) $\sqrt{19+4a}$; c) $\sqrt{\dfrac{15}{x-2}}$; d) $\sqrt{\dfrac{10-30x}{3x^{2}+1}}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: biểu thức dưới căn $\ge 0$ (chú ý điều kiện mẫu $\neq 0$).- a) $72a \ge 0 \iff$ $a \ge 0$.
- b) $19 + 4a \ge 0 \iff 4a \ge -19 \iff$ $a \ge -\dfrac{19}{4}$.
- c) Vì $15 > 0$, cần $\dfrac{15}{x-2} \ge 0$ và $x - 2 \neq 0 \Rightarrow x - 2 > 0 \iff$ $x > 2$.
- d) Mẫu $3x^{2} + 1 > 0$ với mọi $x$, nên chỉ cần tử $10 - 30x \ge 0 \iff$ $x \le \dfrac{1}{3}$.
⚠️ Bẫy: ở câu c) dấu "$=$" của phân thức bị loại vì $x-2$ ở mẫu phải khác $0$ — nên lấy $x > 2$ chứ không phải $x \ge 2$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Căn bậc hai số học luôn không âm; mỗi số dương có hai căn bậc hai đối nhau.
- So sánh: đưa về cùng một dấu căn ($k = \sqrt{k^{2}}$, $m\sqrt{n} = \sqrt{m^{2}n}$) rồi so phần trong căn.
- $\sqrt{A}$ có nghĩa $\iff A \ge 0$; có mẫu thì thêm điều kiện mẫu $\neq 0$ và xét dấu phân thức.