Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia
Căn bậc hai của một bình phương · Khai phương một tích · Khai phương một thương
✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm
📖 Lý thuyết 1
Căn bậc hai của một bình phương
- $\sqrt{A^{2}} = |A|$: bằng $A$ nếu $A \ge 0$, bằng $-A$ nếu $A < 0$.
- Đặc biệt $(\sqrt{A})^{2} = A$ với $A \ge 0$.
📖 Lý thuyết 2
Khai phương một tích
- Với $a, b \ge 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ và $\sqrt{a^{2}b} = |a|\sqrt{b}$.
🔍 Mẹo: với hiệu hai bình phương dưới căn, dùng $\sqrt{m^{2} - n^{2}} = \sqrt{(m-n)(m+n)}$ rồi khai phương.
📖 Lý thuyết 3
Khai phương một thương
- Với $a \ge 0,\ b > 0$: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ và $\sqrt{\dfrac{a}{b^{2}}} = \dfrac{\sqrt{a}}{|b|}$.
✍ Bài tập luyện tập
1 Dạng 1 — Căn bậc hai của một bình phương
Tính: a) $\sqrt{16}$; b) $\sqrt{(-2)^{2}}$; c) $(\sqrt{19})^{2}$; d) $\sqrt{13^{2}}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: $\sqrt{A^{2}} = |A|$ và $(\sqrt{A})^{2} = A$.- a) $\sqrt{16} = \sqrt{4^{2}} = $ $4$.
- b) $\sqrt{(-2)^{2}} = |-2| = $ $2$.
- c) $(\sqrt{19})^{2} = $ $19$.
- d) $\sqrt{13^{2}} = |13| = $ $13$.
⚠️ Bẫy: $\sqrt{(-2)^{2}} = 2$ (lấy giá trị tuyệt đối), không phải $-2$.
2 Dạng 2 — Khai phương một tích
Tính: a) $\sqrt{36 \cdot 0,81}$; b) $\sqrt{5^{4} \cdot (-13)^{2}}$; c) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{80}$; d) $\sqrt{65^{2} - 16^{2}}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\,\sqrt{b}$; với hiệu bình phương phân tích thành tích.- a) $\sqrt{36 \cdot 0,81} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{0,81} = 6 \cdot 0,9 = $ $5,4$.
- b) $\sqrt{5^{4} \cdot (-13)^{2}} = 5^{2} \cdot |-13| = 25 \cdot 13 = $ $325$.
- c) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{80} = \sqrt{400} = $ $20$.
- d) $\sqrt{65^{2} - 16^{2}} = \sqrt{(65-16)(65+16)} = \sqrt{49 \cdot 81} = 7 \cdot 9 = $ $63$.
3 Dạng 3 — Khai phương một thương
Tính: a) $\sqrt{\dfrac{49}{81}}$; b) $\sqrt{0,81 : 0,36}$; c) $\sqrt{\dfrac{170}{1,7}}$; d) $\sqrt{\dfrac{26^{2}-17^{2}}{688}}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$; rút gọn phân số dưới căn trước khi khai phương.- a) $\sqrt{\dfrac{49}{81}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{81}} = $ $\dfrac{7}{9}$.
- b) $\sqrt{0,81 : 0,36} = \sqrt{\dfrac{0,81}{0,36}} = \dfrac{0,9}{0,6} = $ $1,5$.
- c) $\sqrt{\dfrac{170}{1,7}} = \sqrt{100} = $ $10$.
- d) $26^{2} - 17^{2} = (26-17)(26+17) = 9 \cdot 43 = 387$; mà $688 = 16 \cdot 43$ nên $\dfrac{387}{688} = \dfrac{9}{16}$. Vậy $\sqrt{\dfrac{387}{688}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = $ $\dfrac{3}{4}$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- $\sqrt{A^{2}} = |A|$ — luôn kiểm tra dấu của $A$ trước khi bỏ căn.
- Khai phương tích/thương: tách thành tích (thương) các căn rồi rút gọn; ưu tiên rút gọn phân số trước.
- Hiệu hai bình phương: $\sqrt{m^{2} - n^{2}} = \sqrt{(m-n)(m+n)}$ giúp tính nhanh mà không cần bình phương lớn.