Biến đổi đơn giản & rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai
Cộng trừ căn đồng dạng · Trục căn thức ở mẫu
✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm
📖 Lý thuyết 1
Căn đồng dạng
- $m\sqrt{a} \pm n\sqrt{a} = (m \pm n)\sqrt{a}$.
- Trước hết đưa thừa số ra ngoài dấu căn ($\sqrt{a^{2}b} = |a|\sqrt{b}$) để các căn thức cùng phần căn, rồi mới cộng trừ.
📖 Lý thuyết 2
Trục căn thức ở mẫu
- $\dfrac{A}{\sqrt{B}} = \dfrac{A\sqrt{B}}{B}$ (với $B > 0$).
- $\dfrac{C}{\sqrt{A} \pm B} = \dfrac{C(\sqrt{A} \mp B)}{A - B^{2}}$ và $\dfrac{C}{\sqrt{A} \pm \sqrt{B}} = \dfrac{C(\sqrt{A} \mp \sqrt{B})}{A - B}$ — nhân tử & mẫu với biểu thức liên hợp.
✍ Bài tập luyện tập
1 Dạng 1 — Căn đồng dạng
Rút gọn: a) $6\sqrt{12} - 2\sqrt{48} + 5\sqrt{75}$; b) $2\sqrt{5} - 3\sqrt{125} + \sqrt{80}$; c) $3\sqrt{2} - 2\sqrt{8} + \sqrt{50} - 4\sqrt{32}$; d) $\sqrt{128} - 3\sqrt{32} + 2\sqrt{200} - 3\sqrt{98}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: đưa thừa số ra ngoài để mọi căn cùng phần căn, rồi gộp hệ số.- a) $= 6\cdot 2\sqrt{3} - 2\cdot 4\sqrt{3} + 5\cdot 5\sqrt{3} = 12\sqrt{3} - 8\sqrt{3} + 25\sqrt{3} = $ $29\sqrt{3}$.
- b) $= 2\sqrt{5} - 3\cdot 5\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = 2\sqrt{5} - 15\sqrt{5} + 4\sqrt{5} = $ $-9\sqrt{5}$.
- c) $= 3\sqrt{2} - 2\cdot 2\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 4\cdot 4\sqrt{2} = 3\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 5\sqrt{2} - 16\sqrt{2} = $ $-12\sqrt{2}$.
- d) $= 8\sqrt{2} - 3\cdot 4\sqrt{2} + 2\cdot 10\sqrt{2} - 3\cdot 7\sqrt{2} = 8\sqrt{2} - 12\sqrt{2} + 20\sqrt{2} - 21\sqrt{2} = $ $-5\sqrt{2}$.
2 Dạng 2 — Trục căn thức ở mẫu
Trục căn thức: a) $\dfrac{5}{\sqrt{75}}$; b) $\dfrac{-3}{2-\sqrt{10}}$; c) $\dfrac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$; d) $\dfrac{\sqrt{2}+2}{3+\sqrt{2}}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: nhân với biểu thức liên hợp (hoặc với $\sqrt{B}$) để khử căn ở mẫu.- a) $\dfrac{5}{\sqrt{75}} = \dfrac{5}{5\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = $ $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
- b) $\dfrac{-3}{2-\sqrt{10}} = \dfrac{-3(2+\sqrt{10})}{(2-\sqrt{10})(2+\sqrt{10})} = \dfrac{-3(2+\sqrt{10})}{4-10} = \dfrac{-3(2+\sqrt{10})}{-6} = $ $\dfrac{2+\sqrt{10}}{2}$.
- c) $\dfrac{5}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \dfrac{5(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = $ $\dfrac{5(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{2}$.
- d) $\dfrac{\sqrt{2}+2}{3+\sqrt{2}} = \dfrac{(\sqrt{2}+2)(3-\sqrt{2})}{9-2} = \dfrac{3\sqrt{2}-2+6-2\sqrt{2}}{7} = $ $\dfrac{\sqrt{2}+4}{7}$.
⚠️ Bẫy: liên hợp của $a - \sqrt{b}$ là $a + \sqrt{b}$ (đổi dấu căn) — sau khi nhân, mẫu thành $a^{2} - b$, chú ý dấu khi $a^{2} - b < 0$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Luôn đưa thừa số ra ngoài dấu căn trước khi cộng trừ căn đồng dạng.
- Trục căn thức: mẫu một căn thì nhân $\sqrt{B}$; mẫu có tổng/hiệu căn thì nhân liên hợp.
- Sau khi trục, nhớ rút gọn dấu và phân số ở kết quả.