Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Tính căn bậc ba của một số · Rút gọn căn thức bậc ba

✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm

📖 Lý thuyết 1

Căn bậc ba của số thực $a$ là số $x$ thỏa mãn $x^{3} = a$, kí hiệu $\sqrt[3]{a}$.
Mọi số thực $a$ đều có duy nhất một căn bậc ba; căn bậc ba của số âm là số âm.
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{ab}$ và $\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\dfrac{a}{b}}$ ($b \neq 0$).

📖 Lý thuyết 2

$\sqrt[3]{A^{3}} = A$ với mọi biểu thức $A$ (không cần dấu giá trị tuyệt đối như căn bậc hai).

🔍 Hằng đẳng thức: $a^{3} \pm 3a^{2}b + 3ab^{2} \pm b^{3} = (a \pm b)^{3}$ — nhận dạng để đưa biểu thức dưới căn về lập phương.

✍ Bài tập luyện tập

Tính: a) $\sqrt[3]{27}$; b) $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}}$; c) $\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}}$; d) $\dfrac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 1: đưa số dưới căn về lập phương; dùng $\dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{\tfrac{a}{b}}$.

a) $\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^{3}} = $ $3$.
b) $\sqrt[3]{\dfrac{1}{8}} = \sqrt[3]{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}} = $ $\dfrac{1}{2}$.
c) $\sqrt[3]{\dfrac{27}{125}} = \dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}} = $ $\dfrac{3}{5}$.
d) $\dfrac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{\dfrac{16}{2}} = \sqrt[3]{8} = $ $2$.

Rút gọn: a) $A = \sqrt[3]{(x-1)^{3}}$; b) $B = \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+3x-1}$; c) $C = \sqrt[3]{(2x-1)^{3}}$; d) $D = \sqrt[3]{8x^{3}-12x^{2}+6x-1}$.

🔑 Lời giải

Dùng Lý thuyết 2: nhận dạng lập phương rồi dùng $\sqrt[3]{A^{3}} = A$.

⚠️ Lưu ý: khác căn bậc hai, $\sqrt[3]{A^{3}} = A$ không cần dấu giá trị tuyệt đối — kết quả giữ nguyên dấu của $A$.

Mỗi số thực có duy nhất một căn bậc ba; căn bậc ba của số âm là số âm.
$\sqrt[3]{A^{3}} = A$ (không dùng giá trị tuyệt đối).
Nhận dạng nhanh khai triển $(a \pm b)^{3}$ để rút gọn căn thức bậc ba và giải $x^{3} = a \iff x = \sqrt[3]{a}$.