Ôn tập chương III
Rút gọn biểu thức số & chứa biến · Phương trình chứa căn · Bất đẳng thức, cực trị
✨ Phương pháp trọng tâm
📖 Phương pháp 1
Phá căn lồng hai lớp
- Đưa biểu thức dưới căn về bình phương: $m \pm 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^{2}$ với $a + b = m$, rồi dùng $\sqrt{A^{2}} = |A|$.
📖 Phương pháp 2
Đặt ẩn phụ & rút gọn biểu thức chứa biến
- Với căn $\sqrt{x-1}$, đặt $t = \sqrt{x-1} \ge 0 \Rightarrow x = t^{2} + 1$ để đưa về đa thức.
- Biểu thức chứa biến: đặt điều kiện, phân tích nhân tử ($x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$, $x - 9 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$) rồi rút gọn.
📖 Phương pháp 3
Bất đẳng thức & cực trị
- Đưa về tổng bình phương, dùng $(a-b)^{2} \ge 0$; bất đẳng thức Minkowski (vectơ) $|\vec u| + |\vec v| \ge |\vec u + \vec v|$.
- Đánh giá tổng bằng kĩ thuật "làm trội/làm giảm" và khử liên tiếp (telescoping).
✍ Bài tập luyện tập
1 Dạng 1 — Rút gọn, tính biểu thức số chứa căn
a) $3\sqrt{8}-\sqrt{18}+5\sqrt{\tfrac{1}{2}}+\sqrt{50}$; b) $\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$; c) $\sqrt{13+\sqrt{48}}+\sqrt{37-2\sqrt{300}}$; d) $\sqrt{12-6\sqrt{3}}+\sqrt{21-12\sqrt{3}}$.
🔑 Lời giải
a, b dùng đồng dạng & trục căn; c, d dùng Phương pháp 1 (phá căn lồng).- a) $= 6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+\dfrac{5\sqrt{2}}{2}+5\sqrt{2} = \left(6-3+\tfrac{5}{2}+5\right)\sqrt{2} = $ $\dfrac{21\sqrt{2}}{2}$.
- b) $\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$; $\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$; $\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}=\sqrt{3}+1$. Cộng: $\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+1) = $ $2\sqrt{2}-1$.
- c) $13+\sqrt{48}=13+4\sqrt{3}=(2\sqrt{3}+1)^{2}$; $37-2\sqrt{300}=37-20\sqrt{3}=(5-2\sqrt{3})^{2}$. Tổng $=(2\sqrt{3}+1)+(5-2\sqrt{3}) = $ $6$.
- d) $12-6\sqrt{3}=(3-\sqrt{3})^{2}$; $21-12\sqrt{3}=(2\sqrt{3}-3)^{2}$. Tổng $=(3-\sqrt{3})+(2\sqrt{3}-3) = $ $\sqrt{3}$.
⚠️ Bẫy: khi phá $\sqrt{(2\sqrt{3}-3)^{2}}$ phải lấy $|2\sqrt{3}-3| = 2\sqrt{3}-3$ vì $2\sqrt{3}\approx 3,46 > 3$.
2 Dạng 2 — Rút gọn & chứng minh biểu thức chứa biến
a) Rút gọn $A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\dfrac{2\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}$; b) Rút gọn $A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{3x+9}{x-9}$; c) CM $A=\dfrac{9x-6\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}-1}+\dfrac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-4\sqrt{x}+2013$ không đổi; d) CM đẳng thức.
🔑 Lời giải
Dùng Phương pháp 2: phân tích nhân tử rồi rút gọn.- a) $x-\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)$. Quy đồng: $A=\dfrac{x-(2\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}=\dfrac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = $ $\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$.
- b) Tử chung: $\sqrt{x}(\sqrt{x}-3)+2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)-(3x+9)=3\sqrt{x}-9=3(\sqrt{x}-3)$. Vậy $A=\dfrac{3(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = $ $\dfrac{3}{\sqrt{x}+3}$.
- c) $\dfrac{(3\sqrt{x}-1)^{2}}{3\sqrt{x}-1}=3\sqrt{x}-1$; $\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}$. Vậy $A=(3\sqrt{x}-1)+\sqrt{x}-4\sqrt{x}+2013 = $ $2012$ — không phụ thuộc $x$.
- d) Vế trái $=\dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ (vì $x\sqrt{x}+4x+4\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)^{2}$). Đẳng thức được chứng minh.
3 Dạng 3 — Giải phương trình chứa căn
a) $\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=x$; b) $\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=\sqrt{3x-5}$; c) $\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=5$; d) $x^{2}+9x+20=2\sqrt{3x+10}$.
🔑 Lời giải
a, c đặt $t=\sqrt{x-1}\ge 0$; b bình phương có điều kiện; d đưa về tích bình phương.- a) ĐK $x\ge 1$. Đặt $t=\sqrt{x-1}\ge 0,\ x=t^{2}+1$: $x+2\sqrt{x-1}=(t+1)^{2}$, nên PT thành $t+1=t^{2}+1\Rightarrow t^{2}-t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=1$. Vậy $x=1$ hoặc $x=2$ (đều thỏa).
- b) ĐK $x\ge\tfrac{5}{3}$. Chuyển vế: $\sqrt{x+2}=\sqrt{2x-3}+\sqrt{3x-5}$, bình phương $\Rightarrow 5-2x=\sqrt{(2x-3)(3x-5)}$ (cần $x\le\tfrac{5}{2}$), bình phương tiếp $\Rightarrow 2x^{2}+x-10=0\Rightarrow x=2$ hoặc $x=-2,5$ (loại). Thử lại: $x=2$.
- c) ĐK $x\ge 1$. Đặt $t=\sqrt{x-1}\ge 0$: $\sqrt{(t+2)^{2}}+\sqrt{(t-3)^{2}}=(t+2)+|t-3|=5$. Với $0\le t\le 3$ đẳng thức luôn đúng $\Rightarrow$ $1\le x\le 10$.
- d) ĐK $x\ge-\tfrac{10}{3}$. Bình phương: $(x^{2}+9x+20)^{2}=4(3x+10)$, biến đổi thành $(x+3)^{2}(x^{2}+12x+40)=0$. Vì $x^{2}+12x+40=(x+6)^{2}+4>0$ nên $x=-3$ (thử lại đúng).
⚠️ Lưu ý: mỗi lần bình phương đều phải kèm điều kiện vế phải $\ge 0$ và thử lại nghiệm vào phương trình gốc để loại nghiệm ngoại lai.
4 Dạng 4 — Bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất – lớn nhất
a) Min $A=\dfrac{x+3\sqrt{x-1}+1}{x+4\sqrt{x-1}+2}$ ($x\ge 1$); b) Min $B=\dfrac{\sqrt{1+a^{2}}\sqrt{1+b^{2}}}{1+ab}$ ($a,b>0$); c) CM $A=\sum_{k=1}^{2012}\dfrac{1}{\sqrt{k}}>2(\sqrt{2013}-1)$; d) CM $\sqrt{1-x^{2}}+\sqrt{1-y^{2}}+\sqrt{1-z^{2}}\le\sqrt{9-(x+y+z)^{2}}$.
🔑 Lời giải
Dùng Phương pháp 3: đặt ẩn phụ, tổng bình phương, làm trội & Minkowski.- a) Đặt $t=\sqrt{x-1}\ge 0$: tử $=(t+1)(t+2)$, mẫu $=(t+1)(t+3)$, nên $A=\dfrac{t+2}{t+3}=1-\dfrac{1}{t+3}$. Vì $t\ge 0$ nên $A\ge 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$. $\min A=\dfrac{2}{3}$ khi $t=0$, tức $x=1$.
- b) $B^{2}=\dfrac{(1+a^{2})(1+b^{2})}{(1+ab)^{2}}$; mà $(1+a^{2})(1+b^{2})-(1+ab)^{2}=(a-b)^{2}\ge 0$ nên $B^{2}\ge 1\Rightarrow B\ge 1$. $\min B=1$ khi $a=b$.
- c) Làm trội: $\dfrac{1}{\sqrt{k}}>\dfrac{2}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=2(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})$. Cộng $k=1\ldots 2012$ (khử liên tiếp): $A>2(\sqrt{2013}-\sqrt{1})=2(\sqrt{2013}-1)$. Điều phải chứng minh.
- d) Xét ba vectơ đơn vị $\vec u=(x,\sqrt{1-x^{2}}),\ \vec v=(y,\sqrt{1-y^{2}}),\ \vec w=(z,\sqrt{1-z^{2}})$, mỗi vectơ có độ dài $1$. Theo bất đẳng thức Minkowski: $|\vec u|+|\vec v|+|\vec w|\ge|\vec u+\vec v+\vec w|$, tức $3\ge\sqrt{(x+y+z)^{2}+S^{2}}$ với $S$ là vế trái. Suy ra $S^{2}\le 9-(x+y+z)^{2}$. Điều phải chứng minh.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Phá căn lồng: nhận dạng $m\pm 2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^{2}$ rồi lấy $\sqrt{A^{2}}=|A|$.
- Biểu thức chứa biến: đặt điều kiện, phân tích nhân tử, rút gọn; "không phụ thuộc biến" nghĩa là sau rút gọn không còn biến.
- Phương trình chứa căn: đặt điều kiện + ẩn phụ $t=\sqrt{\cdot}\ge 0$, luôn thử lại nghiệm.
- Cực trị/BĐT: tổng bình phương $(a-b)^{2}\ge 0$, làm trội với khử liên tiếp, và Minkowski cho các căn dạng $\sqrt{1-x^{2}}$.