Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Định nghĩa sin · cos · tan · cot · Góc đặc biệt · Hai góc phụ nhau · Máy tính cầm tay · Toán thực tế
✨ Yêu cầu cần đạt — Lý thuyết trọng tâm
📖 Lý thuyết 1
Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Trong tam giác vuông có góc nhọn $\alpha$: $\sin\alpha=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}}$, $\cos\alpha=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}$, $\tan\alpha=\dfrac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}}$, $\cot\alpha=\dfrac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}}$.
- Với $0^\circ<\alpha<90^\circ$: $0<\sin\alpha<1$, $0<\cos\alpha<1$ và $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$.
🔍 Mẹo nhớ: "SIN ĐI HỌC – COS KHÔNG HƯ – TAN ĐOÀN KẾT" (sin = đối/huyền, cos = kề/huyền, tan = đối/kề).
📖 Lý thuyết 2
Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt
| Góc $\alpha$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\dfrac12$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{2}$ | $\dfrac{\sqrt2}{2}$ | $\dfrac12$ |
| $\tan\alpha$ | $\dfrac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
| $\cot\alpha$ | $\sqrt3$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt3}{3}$ |
📖 Lý thuyết 3
Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau
- Hai góc phụ nhau có tổng bằng $90^\circ$. Khi đó: $\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, $\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha$, $\tan(90^\circ-\alpha)=\cot\alpha$, $\cot(90^\circ-\alpha)=\tan\alpha$.
🔍 Ý nghĩa: sin của góc này bằng cos của góc kia; tan của góc này bằng cot của góc kia.
📖 Lý thuyết 4
Dùng máy tính cầm tay
- Để máy ở chế độ DEG (độ). Tính trực tiếp $\sin,\cos,\tan$; còn $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}$.
- Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác: dùng phím nghịch đảo $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$ (với $\cot$ thì lấy $\tan^{-1}\dfrac{1}{\cot\alpha}$).
✍ Bài tập luyện tập
1 Dạng 1 — Nhận dạng & tính tỉ số lượng giác
Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn $A$ trong tam giác vuông $ABC$ ($\widehat{B}=90^\circ$): a) $AB=3,BC=4,AC=5$; b) $BC=1,AB=4,AC=\sqrt{17}$; c) cạnh kề $AB=2$, huyền $CA=3$; d) cạnh kề $AB=\sqrt{10}$, đối $BC=\sqrt{6}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: xác định cạnh đối, cạnh kề của góc $A$ rồi lập tỉ số (cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông $B$).- a) Đối $A$ là $BC=4$, kề $A$ là $AB=3$, huyền $AC=5$: $\sin A=\dfrac{4}{5}=\mathbf{0{,}8}$; $\cos A=\dfrac{3}{5}=\mathbf{0{,}6}$; $\tan A=\dfrac{4}{3}\approx\mathbf{1{,}33}$; $\cot A=\dfrac{3}{4}=\mathbf{0{,}75}$.
- b) Đối $A$ là $BC=1$, kề $AB=4$, huyền $\sqrt{17}$: $\sin A=\dfrac{1}{\sqrt{17}}\approx\mathbf{0{,}24}$; $\cos A=\dfrac{4}{\sqrt{17}}\approx\mathbf{0{,}97}$; $\tan A=\dfrac14=\mathbf{0{,}25}$; $\cot A=\mathbf{4}$.
- c) Huyền $CA=3$, kề $AB=2$ ⟹ đối $BC=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$: $\sin A=\dfrac{\sqrt5}{3}\approx\mathbf{0{,}75}$; $\cos A=\dfrac{2}{3}\approx\mathbf{0{,}67}$; $\tan A=\dfrac{\sqrt5}{2}\approx\mathbf{1{,}12}$; $\cot A=\dfrac{2}{\sqrt5}\approx\mathbf{0{,}89}$.
- d) Huyền $AC=\sqrt{10+6}=\sqrt{16}=4$: $\sin A=\dfrac{\sqrt6}{4}\approx\mathbf{0{,}61}$; $\cos A=\dfrac{\sqrt{10}}{4}\approx\mathbf{0{,}79}$; $\tan A=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\approx\mathbf{0{,}77}$; $\cot A=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\approx\mathbf{1{,}29}$.
⚠️ Bẫy: luôn xác định cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông ($B$), không phải cạnh dài nhất "nhìn thấy". Đối/kề luôn xét theo góc $A$ đang tính.
2 Dạng 2 — Tỉ số lượng giác góc đặc biệt
Tính: a) $P=\dfrac{\sin30^\circ\cos60^\circ}{\tan45^\circ}$; b) $A=\dfrac{2\cos45^\circ}{\sqrt2}+\sqrt3\tan30^\circ$; c) $B=\dfrac{2\sin60^\circ}{\sqrt3}-\cos45^\circ$; d) $C=\dfrac{\tan30^\circ}{\cos45^\circ\cos60^\circ}$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: thay giá trị các góc $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ từ bảng.- a) $P=\dfrac{\frac12\cdot\frac12}{1}=\mathbf{\dfrac14}$.
- b) $A=\dfrac{2\cdot\frac{\sqrt2}{2}}{\sqrt2}+\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}+\dfrac{3}{3}=1+1=\mathbf{2}$.
- c) $B=\dfrac{2\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt3}-\dfrac{\sqrt2}{2}=1-\dfrac{\sqrt2}{2}=\mathbf{\dfrac{2-\sqrt2}{2}}\approx0{,}29$.
- d) $C=\dfrac{\frac{\sqrt3}{3}}{\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12}=\dfrac{\frac{\sqrt3}{3}}{\frac{\sqrt2}{4}}=\dfrac{\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{4}{\sqrt2}=\dfrac{4\sqrt3}{3\sqrt2}=\mathbf{\dfrac{2\sqrt6}{3}}\approx1{,}63$.
3 Dạng 3 — Hai góc phụ nhau
a) So sánh $\sin25^\circ$ và $\cos65^\circ$; b) so sánh $\tan25^\circ$ và $\cot65^\circ$; c) viết $\sin60^\circ,\cos75^\circ$ về góc nhỏ hơn $45^\circ$; d) cho $\sin18^\circ\approx0{,}31$, $\tan18^\circ\approx0{,}32$, tính $\cos72^\circ$ và $\cot72^\circ$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: $25^\circ$ và $65^\circ$ phụ nhau; $18^\circ$ và $72^\circ$ phụ nhau.- a) $\cos65^\circ=\sin(90^\circ-65^\circ)=\sin25^\circ$ ⟹ $\sin25^\circ=\cos65^\circ$.
- b) $\cot65^\circ=\tan(90^\circ-65^\circ)=\tan25^\circ$ ⟹ $\tan25^\circ=\cot65^\circ$.
- c) $\sin60^\circ=\cos30^\circ$; $\cos75^\circ=\sin15^\circ$.
- d) $\cos72^\circ=\sin18^\circ\approx\mathbf{0{,}31}$; $\cot72^\circ=\tan18^\circ\approx\mathbf{0{,}32}$.
⚠️ Lưu ý: chỉ "đổi tên" sin↔cos, tan↔cot khi hai góc phụ nhau ($\alpha+\beta=90^\circ$). Sai nếu áp dụng cho hai góc bất kì.
4 Dạng 4 — Dùng máy tính cầm tay
Tính (làm tròn đến hàng phần nghìn): a) $\sin15^\circ$; b) $\cos64^\circ24'$; c) $\tan20^\circ$; d) $\cot23^\circ$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 4: bật chế độ DEG; $\cot23^\circ=\dfrac{1}{\tan23^\circ}$.- a) $\sin15^\circ\approx\mathbf{0{,}259}$.
- b) $\cos64^\circ24'\approx\mathbf{0{,}432}$.
- c) $\tan20^\circ\approx\mathbf{0{,}364}$.
- d) $\cot23^\circ=\dfrac{1}{\tan23^\circ}\approx\mathbf{2{,}356}$.
5 Dạng 5 — Tìm góc khi biết tỉ số lượng giác
Tìm góc nhọn $\alpha$ (đến độ hoặc phút) biết: a) $\sin\alpha=0{,}72$; b) $\cos\alpha=0{,}6$; c) $\tan\alpha=1{,}6$; d) $\cot\alpha=\dfrac14$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 4: dùng phím $\sin^{-1},\cos^{-1},\tan^{-1}$.- a) $\alpha=\sin^{-1}0{,}72\approx\mathbf{46^\circ3'}$.
- b) $\alpha=\cos^{-1}0{,}6\approx\mathbf{53^\circ8'}$.
- c) $\alpha=\tan^{-1}1{,}6\approx\mathbf{58^\circ}$.
- d) $\cot\alpha=\dfrac14\Rightarrow\tan\alpha=4\Rightarrow\alpha=\tan^{-1}4\approx\mathbf{75^\circ58'}$.
⚠️ Bẫy câu d: $\cot\alpha=\dfrac14$ không phải $\alpha=\cot^{-1}\dfrac14$ trên máy phổ thông; hãy đổi sang $\tan\alpha=\dfrac{1}{\cot\alpha}=4$ rồi bấm $\tan^{-1}$.
6 Dạng 6 — Toán ứng dụng
a) Cột đèn $AB=6\,$m, bóng $AC=3{,}5\,$m; tính góc $\widehat{BCA}$. b) Bóng cột đèn dài $7{,}5\,$m, tia nắng nghiêng $42^\circ$; tính chiều cao. c) Dây diều $AB=100\,$m hợp với phương thẳng đứng $40^\circ$; tính chiều cao diều. d) Thang $12\,$m, chân cách tường $7\,$m; tính góc $\alpha$ giữa thang và tường.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: mỗi tình huống là một tam giác vuông; chọn đúng tỉ số liên hệ cạnh đã biết với cạnh/góc cần tìm.- a) Tam giác vuông tại $A$: $\tan\widehat{BCA}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{3{,}5}\approx1{,}714\Rightarrow\widehat{BCA}\approx\mathbf{59^\circ45'}$.
- b) Chiều cao $=7{,}5\cdot\tan42^\circ\approx\mathbf{6{,}75\,\text{m}}$.
- c) Góc tạo với phương thẳng đứng là $40^\circ$ nên chiều cao $=100\cdot\cos40^\circ\approx\mathbf{76{,}6\,\text{m}}$.
- d) Cạnh đối góc $\alpha$ là khoảng cách chân thang – tường $=7$: $\sin\alpha=\dfrac{7}{12}\approx0{,}583\Rightarrow\alpha\approx\mathbf{35^\circ41'}$.
⚠️ Bẫy câu c: góc cho là góc với phương thẳng đứng, nên chiều cao dùng $\cos$ (không phải $\sin$). Luôn vẽ hình và xác định rõ cạnh đối/kề của góc đã cho.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông; "đối – kề" xét theo đúng góc đang tính.
- Thuộc lòng bảng góc đặc biệt $30^\circ,45^\circ,60^\circ$ để tính nhanh, không cần máy.
- Hai góc phụ nhau: sin ↔ cos, tan ↔ cot. Với máy tính: $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}$.
- Bài thực tế: vẽ tam giác vuông, ghi rõ góc nâng/góc hạ và cạnh đã biết trước khi lập tỉ số.