Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
Tính cạnh và góc · Giải tam giác vuông · Ứng dụng thực tế
Hệ thức giữa cạnh và góc
- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $BC=a$ (huyền), $AC=b$, $AB=c$. Mỗi cạnh góc vuông bằng:
- cạnh huyền $\times$ sin góc đối $=$ cạnh huyền $\times$ cos góc kề: $b=a\sin B=a\cos C$; $c=a\sin C=a\cos B$.
- cạnh góc vuông kia $\times$ tan góc đối $=\times$ cot góc kề: $b=c\tan B=c\cot C$; $c=b\tan C=b\cot B$.
Giải tam giác vuông
- Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và góc còn lại khi biết hai yếu tố (trong đó có ít nhất một cạnh).
- Công cụ: định lí Pythagore $a^2=b^2+c^2$, tổng hai góc nhọn $=90^\circ$, và các hệ thức cạnh–góc ở Lý thuyết 1.
Góc nâng — góc hạ trong bài toán thực tế
- Góc nâng (góc nâng cao): góc giữa tia nhìn lên một vật và phương nằm ngang.
- Góc hạ (góc hạ thấp): góc giữa tia nhìn xuống một vật và phương nằm ngang. Góc hạ bằng góc nâng tại vật (so le trong).
1 Dạng 1 — Tính cạnh và góc của tam giác vuông
a) $\triangle ABC$ vuông tại $A$, $AC=10$, $\widehat{C}=34^\circ$: tính $AB$. b) cạnh huyền $BC=10$, $\widehat{C}=41^\circ$: tính hai cạnh góc vuông. c) $BC=11$, $\widehat{B}=38^\circ$, $\widehat{C}=30^\circ$, $AN\perp BC$: tính $AN$. d) $BC=6$, $\widehat{B}=60^\circ$, $\widehat{C}=40^\circ$: tính $CH$, $AC$, diện tích.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 1: liên hệ cạnh đã biết với cạnh cần tìm qua sin/cos/tan của góc đã cho.- a) $AB$ là cạnh đối $\widehat{C}$, $AC$ là cạnh kề: $AB=AC\tan34^\circ=10\tan34^\circ\approx\mathbf{6{,}75}$.
- b) $AB=BC\sin C=10\sin41^\circ\approx\mathbf{6{,}56}$; $AC=BC\cos C=10\cos41^\circ\approx\mathbf{7{,}55}$.
- c) $AN$ là đường cao; $BN=\dfrac{AN}{\tan B}$, $CN=\dfrac{AN}{\tan C}$ và $BN+CN=BC$ nên $AN(\cot38^\circ+\cot30^\circ)=11\Rightarrow AN=\dfrac{11}{1{,}280+1{,}732}\approx\mathbf{3{,}65}$.
- d) $\widehat{A}=80^\circ$. Đường cao $CH=BC\sin B=6\sin60^\circ\approx\mathbf{5{,}20}$. $AC=\dfrac{BC\sin B}{\sin A}=\dfrac{6\sin60^\circ}{\sin80^\circ}\approx\mathbf{5{,}28}$; $AB=\dfrac{6\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx3{,}92$; $S=\dfrac12\,AB\cdot CH\approx\dfrac12\cdot3{,}92\cdot5{,}20\approx\mathbf{10{,}2}$.
2 Dạng 2 — Giải tam giác vuông
a) $\triangle ABC$ vuông $A$, $AB=5$, $AC=8$. b) $\triangle OPQ$ vuông $O$, $\widehat{P}=36^\circ$, $PQ=7$. c) $\triangle ABC$ vuông $A$, $\widehat{B}=35^\circ$, $BC=40$. d) $\triangle ABC$ vuông $A$, $AB=6$, $BC=7$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 2: Pythagore + tổng hai góc nhọn $=90^\circ$ + hệ thức cạnh–góc.- a) $BC=\sqrt{5^2+8^2}=\sqrt{89}\approx\mathbf{9{,}43}$; $\tan B=\dfrac{8}{5}=1{,}6\Rightarrow\widehat{B}\approx\mathbf{58^\circ}$, $\widehat{C}\approx\mathbf{32^\circ}$.
- b) $\widehat{Q}=54^\circ$; $OQ=PQ\sin P=7\sin36^\circ\approx\mathbf{4{,}11}$; $OP=PQ\cos P=7\cos36^\circ\approx\mathbf{5{,}66}$.
- c) $\widehat{C}=55^\circ$; $AC=BC\sin B=40\sin35^\circ\approx\mathbf{22{,}94}$; $AB=BC\cos B=40\cos35^\circ\approx\mathbf{32{,}77}$.
- d) $AC=\sqrt{7^2-6^2}=\sqrt{13}\approx\mathbf{3{,}61}$; $\cos B=\dfrac{6}{7}\Rightarrow\widehat{B}\approx\mathbf{31^\circ}$, $\widehat{C}\approx\mathbf{59^\circ}$.
3 Dạng 3 — Toán ứng dụng
a) Tay cẩu $AB=16\,$m nghiêng $42^\circ$ so phương ngang; tính $BC$ (dây cáp thẳng đứng từ $B$). b) Người ở độ cao $54\,$m nhìn ô tô với góc hạ $40^\circ$; ô tô cách tòa nhà bao xa? c) Hải đăng cao $75\,$m, hai góc hạ $30^\circ$ và $45^\circ$; thuyền đi được bao nhiêu mét? d) $PQ=300\,$m, $\widehat{BPA}=14^\circ$, $\widehat{BQA}=42^\circ$; tính $h=AB$.
🔑 Lời giải
Dùng Lý thuyết 3: đưa góc hạ về góc trong tam giác vuông; với hai vị trí quan sát, lấy hiệu hai khoảng cách ngang.- a) $B$ cao hơn mặt nước $BC=AB\sin42^\circ=16\sin42^\circ\approx\mathbf{10{,}7\,\text{m}}$.
- b) Khoảng cách ngang $=\dfrac{54}{\tan40^\circ}\approx\mathbf{64\,\text{m}}$.
- c) Khoảng cách ứng với $45^\circ$ là $75$; ứng với $30^\circ$ là $\dfrac{75}{\tan30^\circ}=75\sqrt3$. Quãng đường $=75\sqrt3-75=75(\sqrt3-1)\approx\mathbf{54{,}9\,\text{m}}$.
- d) $BP=\dfrac{h}{\tan14^\circ}$, $BQ=\dfrac{h}{\tan42^\circ}$, $BP-BQ=PQ$: $h(\cot14^\circ-\cot42^\circ)=300\Rightarrow h=\dfrac{300}{4{,}011-1{,}111}\approx\mathbf{103{,}4\,\text{m}}$.
⚠️ Chú ý ghi nhớ
- Cạnh góc vuông $=$ huyền $\times\sin$(góc đối) $=$ huyền $\times\cos$(góc kề).
- Giải tam giác vuông: cần đủ hai yếu tố (ít nhất một cạnh); kiểm tra lại bằng tổng góc $=90^\circ$.
- Tam giác không vuông: hạ đường cao để tạo tam giác vuông rồi mới dùng hệ thức.
- Góc hạ $=$ góc nâng tại vật; bài hai vị trí quan sát thường lấy hiệu hai khoảng cách ngang.